Quand il s’agit de r´esoudre le probl`eme de la diffraction ´electromagn´etique, un grand nombre de m´ethodes avec plusieurs variantes sont disponibles. Chaque m´ethode exhibe des avantages et des inconv´enients. Diff´e- rents ´el´ements peuvent ˆetre pris en compte pour s´electionner la plus ad´equate pour une application sp´ecifique. La pr´ecision de calcul, le temps de convergence, l’utilisation de l’espace m´emoire, l’applicabilit´e aux conditions physiques du probl`eme, sont des aspects `a analyser avant de s´electionner une m´ethode sp´ecifique.
Trois familles de m´ethodes existent. D’abord, les m´ethodes analytiques, qui utilisent des expressions d´eterministes de la g´eom´etrie des objets et de la distribution de courants, sont les plus pr´ecises. Elles servent `a d´eterminer les champs `a partir de la solution analytique des ´equations de Maxwell et des ´equations int´egrales. La deuxi`eme famille est constitu´ee par des m´ethodes rigoureuses. Ces m´ethodes sont g´en´eralement employ´ees pour cerner le domaine de validit´e des m´ethodes approximatives mais aussi pour la r´esolution pr´ecise des probl`emes `a fr´equences mod´er´ees. Dˆu au niveau de pr´ecision, elles sont g´en´eralement appliqu´ees aux probl`emes de petite taille ´electrique, comme la conception d’antennes, car ces m´ethodes demandent g´en´eralement beaucoup de ressources informatiques. Elles n’introduisent pas d’approximations implicites au-del`a de la discr´etisation du probl`eme.
La derni`ere famille est form´ee par les m´ethodes approximatives, aussi appel´ees m´ethodes haute fr´equence ou asymptotiques, car elles introduisent plusieurs approximations dans le probl`eme de base afin de garantir sa r´esolution rapide. Bien entendu, ces m´ethodes sont limit´ees en pr´ecision mais leur point fort r´eside dans leur rapidit´e. De plus, elles doivent ˆetre appliqu´ees dans leur domaine de validit´e.
1.4.1
M´ethodes analytiques
Comme le nom l’indique, ces m´ethodes donnent la r´eponse exacte du probl`eme de diffraction ´electro- magn´etique car les ´equations des champs sont r´esolues de fa¸con analytique. Par contre elles sont tr`es limit´ees quant `a leur applicabilit´e. Il est n´ecessaire de connaˆıtre les expressions analytiques des distributions des courants sur la surface, ce qui est impossible pour la plupart des cas. Mˆeme si dans le contexte de la diffraction d’ondes par des surfaces rugueuses son applicabilit´e est nulle, son utilisation peut ˆetre envisag´ee afin de valider la pr´ecision d’autres m´ethodes num´eriques sur des g´eom´etries canoniques. Leur applicabilit´e est limit´ee `a quelques probl`emes canoniques comme le cylindre de longueur infinie et la sph`ere, qui constituent les mod`eles de r´ef´erence canoniques en 2D et 3D respectivement.
1.4. M ´ETHODES DE CALCUL EN ´ELECTROMAGN ´ETISME 47
1.4.2
M´ethodes asymptotiques
La r´esolution de probl`emes de diffraction ´electromagn´etique sur des g´eom´etries complexes est difficile ou impossible par une m´ethode analytique. Des approximations sont alors introduites pour r´esoudre le probl`eme. Cela donne lieu `a diff´erents types de m´ethodes qui peuvent ˆetre regroup´ees dans deux sous-familles : celles qui ´etablissent un d´eveloppement asymptotique du champ rayonn´e `a grande distance et celles qui se basent sur un d´eveloppement asymptotique du courant induit sur la surface de la cible.
Parmi les m´ethodes orient´ees “rayon” se trouvent la Th´eorie G´eom´etrique de la Diffraction, l’Optique G´eom´etrique et la Th´eorie Uniforme de la Diffraction. Ces techniques se basent sur une description optique du champ `a partir de l’hypoth`ese que la taille de l’objet consid´er´e est tr`es grande par rapport `a la longueur d’onde. Les techniques orient´ees courant comptent pour leur part l’Optique Physique, la Th´eorie Physique de la Diffraction et la M´ethode des Courants ´Equivalents. Pour la nature de ce travail de recherche, dont la pr´ecision de la m´ethode est le principal besoin, les m´ethodes asymptotiques sont ´ecart´ees.
1.4.3
M´ethodes num´eriques
Aussi connues par le terme de m´ethodes rigoureuses ou exactes, dˆu au fait qu’elles n’introduisent pas de simplifications sur les ´equations, ces m´ethodes se basent sur une num´erisation du probl`eme. Ces types de m´ethodes ont ´et´e traditionnellement limit´es `a la r´esolution de probl`emes de petite taille ´electrique, normale- ment quelques longueurs d’onde pour de g´eom´etries ne n´ecessitant d’un maillage, mais avec le d´eveloppement des capacit´es des calculateurs les limitations commencent `a reculer. Ce constat est `a l’origine de ce travail de th`ese.
La premi`ere m´ethode analys´ee est celle des Diff´erences Finies ou FDM. L’application de cette m´ethode est tr`es simple. Elle consiste `a discr´etiser le domaine de solution avec des grilles rectangulaires, ou courbes dans le cas de certaines variations de la m´ethode, tr`es uniformes. Dans chaque case de la grille, les op´erateurs diff´erentiels des ´equations de Maxwell sont approxim´es par une s´erie de Taylor. Ses principaux avantages sont la prise en compte de milieux non lin´eaires et non homog`enes et qu’aucune matrice imp´edance ne doit ˆetre sauvegard´ee, ce qui permet la r´esolution de syst`emes assez larges. Par contre cette m´ethode a besoin d’un maillage volumique du probl`eme ce qui est inutilement volumineux pour les probl`emes de diffraction par des objets parfaitement conducteurs. La caract´erisation du domaine de solution avec un maillage r´egulier a comme r´esultat un manque de pr´ecision de la m´ethode pour l’application `a des g´eom´etries pr´esentant de grandes courbures. Pour finir il faut mentionner qu’elle souffre des probl`emes de dispersion num´erique et du besoin de tronquer le domaine de calcul [85].
La deuxi`eme m´ethode dans ce groupe des m´ethodes num´eriques est celle des ´El´ements Finies ou FEM. Elle est utilis´ee pour r´esoudre des probl`emes ´electromagn´etiques sous forme diff´erentielle [3]. `A la diff´erence de la FDM, le maillage est mieux adapt´e pour des g´eom´etries complexes et en plus elle ne pr´esente pas de probl`emes de dispersion num´erique. En revanche cette m´ethode demande beaucoup de temps de calcul et d’espace m´emoire. Ses principales limitations, concernant l’utilisation dans des probl`emes de diffraction, sont le besoin d’un maillage volumique comme la FDM et le besoin de tronquer ´egalement le domaine de calcul.
La M´ethode des Moments ou MdM, quant `a elle, compte dans ses avantages de pouvoir r´esoudre des probl`emes volumiques ou surfaciques. La libert´e de choix des fonctions de base et de test la rend tr`es appro- pri´ee pour les g´eom´etries complexes. Parmi ses points faibles se trouve le besoin ´elev´e d’espace m´emoire et de possibles probl`emes de convergence si les singularit´es pr´esentes dans les ´equations int´egrales ne sont pas bien trait´ees. Parmi les m´ethodes exactes, la MdM est la plus appropri´ee pour les probl`emes de diffraction et de rayonnement en pr´esence de milieux homog`enes.