Sch´emas d’approximation du flux

λ_pk∇Φ^~n dA = A_i−1/2λ_p,i−1/2k_i−1/2^{Φi−1− Φi}

∆x_i−1/2 ^{+ Ai+1/2λp,i+1/2ki+1/2}

Φ_i+1− Φ_i ∆x_i+1/2

(2.9) Comme soulign´e dans (Aziz et Settari, 1979), la difficult´e est alors d’´evaluer k_i±1/2. G´en´era-lement, la moyenne harmonique des perm´eabilit´es des deux blocs est utilis´ee :

k_i+1/2 = ^{kiki+1∆xi+1/2}

k_i(x_i+1− x_i+1/2) + k_i+1(x_i+1/2− x_i)

Pour ce qui est des variables du fluide (λ_p, x^pc et ρ_p), il a ´et´e montr´e que l’utilisation d’un sch´ema upstream convergeait vers la solution physique correcte pour un ´ecoulement multipha-sique (Heinemann et Heinemann, 2003). Ceci signifie par exemple que la perm´eabilit´e relative utilis´ee dans la mobilit´e sera ´evalu´ee en fonction de la saturation du bloc dominant :

λ_i+1/2 = (

λi si Φi> Φi+1

λ_i+1 si Φ_i≤ Φ_i+1

2.1.3 Sch´emas d’approximation du flux

Pendant la r´esolution num´erique des ´equations d’´ecoulement, le d´ebit entre deux points de grille est calcul´e. En r´ealit´e, c’est la composante du flux orthogonale aux faces des volumes de contrˆole qui est ´evalu´ee. On distingue deux sch´emas dans la litt´erature pour approximer le flux : (1) un sch´ema `a deux points ou two-point flux approximation (TPFA), et (2) un sch´ema `

a plusieurs points ou multipoint flux approximation (MPFA). Les deux param`etres contrˆolant le choix de l’un ou l’autre sch´ema sont le tenseur de perm´eabilit´e et le type de grille. La Figure 2.5 illustre le fonctionnement de ces deux sch´emas.

Approximation du flux `a deux points

Dans le cas o`u les faces des cellules sont perpendiculaires `a la direction d’´ecoulement, cette approximation est exacte. Par cons´equent, elle sera valide pour des grilles orthogonales si le

q I M q M K J I L N TPFA MPFA

Fig.2.5 – Approximations `a deux ou plusieurs points, d’apr`es Heinemann et Heinemann (2003)

tenseur de perm´eabilit´e est isotrope, et des grilles k-orthogonales si le tenseur de perm´eabilit´e est anisotrope. Pour ce faire, Heinemann et al. (1991) introduisit les grilles PEBI (PErpendicular BIsection). Cependant, la construction du maillage de la grille peut devenir impossible pour des directions d’anisotropie qui varient fortement. Les grilles bas´ees sur les lignes de courant offrent ´egalement une discr´etisation adapt´ee pour ce sch´ema, puisque les cellules sont d´efinies de sorte que leurs faces soient perpendiculaires `a la direction d’´ecoulement (Edwards et al., 1998). Toutefois, en milieu tr`es h´et´erog`ene, avec de forts contrastes de perm´eabilit´e, le trac´e des lignes de courant peut devenir trop complexe.

Pour un ´ecoulement monophasique incompressible, le flux q au travers d’une face A d’un volume de contrˆole (Figure 2.5 gauche) s’´ecrira, selon un sch´ema `a deux points :

q_IM = T_IM(p_M − p_I)

avec T la transmissibilit´e exprim´ee comme (Figure 2.4) :

T_i±1/2 = ^{ki±1/2Ai±1/2} ∆x_i±1/2

On parle ici de la partie g´eom´etrique de la transmissibilit´e. Plus g´en´eralement, la transmis-sibilit´e d´epend aussi des propri´et´es du fluide. En introduisant la transmistransmis-sibilit´e totale Υij dans l’´Equation 2.9, il vient (´Equation 2.10) :

N_f X j=1 I Aij 

λ_pk∇Φ^~n dA = Υ_i+1/2(Φ_i+1− Φ_i) + Υ_i−1/2(Φ_i−1− Φ_i) (2.10)

avec Υ_i±1/2 = λ_p,i±1/2T_i±1/2.

Approximation du flux `a plusieurs points

Quand la grille ne peut ˆetre align´ee avec le tenseur de perm´eabilit´e, il devient alors n´ecessaire d’adopter un sch´ema `a plusieurs points. Une litt´erature tr`es abondante sur la d´etermination de sch´ema MPFA est disponible. Ici, nous nous concentrerons uniquement sur le principe g´en´eral et les probl`emes rencontr´es. Parmi les premiers travaux sur la d´erivation des coefficients de

transmissibilit´e selon un sch´ema MPFA, on trouve (Aavatsmark et al., 1998) pour des grilles polygonales 2D et (Verma et Aziz, 1997) pour des grilles polygonales 3D.

Pour un ´ecoulement monophasique incompressible, le flux au travers de la surface Ai d’un volume de contrˆole, s’´ecrit comme la combinaison des pressions de plusieurs cellules voisines appartenant au domaine influent Γ, pond´er´ees par les coefficients de transmissibilit´e :

q_i =^X

j∈Γ

t_ijp_j

avec P

j∈Γt_ij = 0

Pour le cas isotrope, une formule analytique peut ˆetre d´eriv´ee pour estimer ces coefficients, sous l’hypoth`ese que les gradients de pression ∇p<sub>j</sub> sont constants. Dans le cas g´en´eral de milieu h´et´erog`ene et pour tout type de g´eom´etrie de grille, aucune expression simple ne peut ˆetre d´eriv´ee. Le probl`eme revient `a r´esoudre un syst`eme d’´equations, en ´ecrivant les relations de continuit´e de flux et de pression sur chaque interface. Consid´erons la Figure 2.6, les coefficients de transmissibilit´e sont estim´es en introduisant une pression lin´eaire dans chaque r´egion associ´ee au noeud i et en for¸cant la continuit´e des pressions aux points a, b, c et celle des flux au travers des segments E_a, E_b, E_c.

Fig. 2.6 – Sch´ema pour le calcul des coefficients de transmissibilit´e selon un sch´ema MPFA (Pr´evost, 2003)

Cependant cette formulation pose plusieurs probl`emes. D’une part, les potentiels aux points de grille sont lin´eairement interpol´es pour un triangle, ce qui introduit une approximation puisque les potentiels ne varient pas lin´eairement dans l’espace (Heinemann et Heinemann, 2003). D’autre part, pendant la r´esolution, il est n´ecessaire de d´eterminer le point de grille voisin dans le sens du courant (upstream), ce qui n’est pas ´evident pour ce sch´ema.

La difficult´e majeure r´eside dans les probl`emes de non-monotonie de la solution, qui peut conduire `a des oscillations non physiques allant `a l’encontre du principe du maximum discret (Figure 2.7). Une condition suffisante, bien que non n´ecessaire, souvent utilis´ee dans la litt´erature pour assurer une solution monotone, est que l’inverse de la matrice A du syst`eme lin´eaire Ap = b satisfasse l’in´egalit´e de monotonie (´Equation 2.11), c’est-`a-dire que tous les termes de A⁻¹soient positifs :

Une condition suffisante pour garantir l’´Equation 2.11 est que A soit une M -matrice, c’est-`a-dire qu’elle soit irr´eductible et que ses coefficients a_i,j satisfassent les conditions suivantes :

ai,i> 0 ∀i,

a_i,j60 ∀i, j, i 6= j,

X

j

a_i,j >0 ∀i

(a) Grille parall´el´epip´edique perturb´ee (angle 30˚) (b) Solution de la pression

Fig.2.7 – Solution non physique de la pression pour une grille parall´el´epip´edique perturb´ee en utilisant un sch´ema MPFA O(0), d’apr`es Aavatsmark et al. (2006)

Nordbotten et Aavatsmark (2005) d´eveloppent les crit`eres n´ecessaires au caract`ere monotone des matrices g´en´erales (non M -matrices) pour un sch´ema MPFA en milieu h´et´erog`ene sur grilles parall´el´epip´ediques structur´ees.

Vu la complexit´e de l’´evaluation des coefficients de transmissibilit´e en sch´ema MPFA et les probl`emes associ´es, l’approximation `a deux points est pr´ef´erable d`es lors que l’on se trouve dans une situation o`u elle est valide. Pour cela, de nombreux travaux ont ´et´e r´ealis´es afin de cr´eer un maillage adapt´e. Mais ces maillages sont complexes `a g´en´erer, notamment dans des configurations tr`es anisotropes. Malgr´e les approximations entraˆın´ees par ce type de sch´ema `

a deux points pour des grilles non align´ees avec les perm´eabilit´es, la plupart des simulateurs d’´ecoulement l’utilisent actuellement pour calculer les transmissibilit´es. Dans ce cas, une erreur d’ordre ◦(1) est introduite. Si le tenseur de perm´eabilit´e est anisotrope, alors soit les termes non diagonaux sont simplement ignor´es, soit, mais de fa¸con plus rare, des calculs sont effectu´es pour d´eterminer les valeurs des directions principales du tenseur de perm´eabilit´e dans le rep`ere de la grille.