Approches originales pour la discr´etisation de syst`emes fractur´es

En raison des limites des approches traditionnelles bas´ees sur la triangulation contrainte d’un mod`ele fractur´e (matrice + fractures), des auteurs se sont concentr´es sur l’´elaboration de

techniques originales pour g´en´erer le plus efficacement possible une discr´etisation.

Maillage par traitement d’image

Dans (Sarda et al., 2001), un algorithme int´eressant pour cr´eer un maillage autour de frac-tures est propos´e. L’id´ee premi`ere est de discr´etiser le r´eseau de fracfrac-tures avec un nombre optimal d’inconnues pour une meilleure performance des calculs d’´ecoulement. L’´el´ement le plus innovant de leur technique est la fa¸con dont les volumes de contrˆole de matrice sont d´etermin´es, bas´ee sur un algorithme de traitement d’image. Le r´eseau de fractures d’abord g´en´er´e est constitu´e de fractures d´ecompos´ees en ´el´ements rectangulaires, d´efinis pour chaque couche par ses pro-pri´et´es d’orientation, ouverture, longueur, etc., qui sont ensuite verticalement connect´es entre les diff´erentes couches pour former une fracture compl`ete. Ensuite, un noeud est cr´e´e `a chaque intersection entre fractures et `a chaque extr´emit´e de fracture. Il est verticalement positionn´e au milieu de chaque couche et d´efinit le centre des cellules de fracture. Les limites des volumes de contrˆole de fracture sont alors dispos´ees au milieu de chaque segment reliant deux noeuds (Figure 2.18). L’id´ee suivante est d’associer `a chaque ´el´ement de fracture le volume de matrice le plus proche. La proc´edure est effectu´ee en 2D, couche par couche, et consiste en une extension d’un maillage Vorono¨ı autour d’un segment (Figures 2.18 et 2.19). Pour ce faire, les auteurs ont d´evelopp´e un algorithme de traitement d’image : le r´eseau initial est converti en image d’une r´esolution de plusieurs millions de pixels, puis l’algorithme calcule pour chaque pixel la distance `

a la fracture la plus proche. Le volume d’un bloc de matrice est finalement ´evalu´e comme le nombre de pixels assign´es `a une cellule de fracture, multipli´e par le volume d’un pixel, et mul-tipli´e par l’´epaisseur de la couche. L’int´erˆet d’un tel algorithme est sa rapidit´e : une seconde en temps CPU par million de pixels sur une station de travail r´ecente, d’apr`es les auteurs.

Fig. 2.18 – Discr´etisation d’un r´eseau de fractures 2D : volumes de contrˆole de fractures et matrice (Sarda et al., 2001)

Les transmissibilit´es entre les diff´erents ´el´ements sont ensuite d´etermin´ees. Entre deux frac-tures s´ecantes, la formule suivante est appliqu´ee :

T_{f f} =^X

i

C_i· l_i

Fig.2.19 – Maillage 2D d’un milieu fractur´e par un algorithme de traitement d’image : [a] r´eseau de fractures discr`etes, [b] grille pixel de la matrice, [c] maillage polygonal de la matrice (Sarda et al., 2001)

avec C_i la conductivit´e de la fracture i, l_i la longueur de la trace `a l’intersection entre les deux fractures, et L la distance entre les noeuds de fracture.

Pour ce qui est de la transmissibilit´e entre une fracture et un bloc de matrice cependant, le calcul est moins ´evident en raison de la forme irr´eguli`ere des ´el´ements de matrice. D’abord, la pression au sein d’un ´el´ement de fracture est consid´er´ee constante, et celle au sein du volume de matrice est consid´er´ee comme variant lin´eairement depuis la fracture vers les limites du bloc. Par cons´equent les courbes pression au sein d’un bloc de matrice seront les courbes d’iso-distance depuis la fracture. Il vient alors la formule suivante :

Tmf = ^2.l₁ ^f.H.km

N

PN

i=1d_i ^(2.19)

avec l_f la longueur de la fracture (doubl´ee pour les deux surfaces d´elimitant un volume de fracture), H l’´epaisseur de la couche, k_m la perm´eabilit´e de la matrice, N le nombre de pixels repr´esentant le volume de matrice, et d_i la distance entre le pixel i et la fracture.

La mˆeme difficult´e apparaˆıt pour l’estimation des transmissibilit´es entre les blocs de matrice. Deux cas sont distingu´es : (1) quand la limite entre deux blocs de matrice recoupe une fracture (´Equation 2.20), et (2) quand elle ne recoupe pas de fracture (´Equation 2.21). En supposant que l’´ecoulement s’effectue perpendiculairement aux limites des blocs de matrice, et que la pression est constante le long des fractures dans les blocs de matrice, les transmissibilit´es peuvent alors ˆetre estim´ees d’apr`es les formules suivantes :

T_mm = k_mH ^l

L_AB ^(2.20)

avec l la longueur de la limite entre les blocs de matrice, et L_AB la longueur de la cellule fracture recoup´ee par la limite des blocs de matrice.

T_mm = k_mH Z

l

ds

d(s) ^(2.21)

avec l la longueur de la limite entre les blocs de matrice, et d(s) la distance entre la limite et chacune des fractures contenues dans les blocs de matrice.

Malgr´e la performance et la flexibilit´e de l’algorithme de cr´eation du maillage de la matrice, il reste n´eanmoins des limites `a cette m´ethode. Premi`erement, le maillage est v´eritablement 2D et n’est qu’extrapol´e en 3D lors du calcul des transmissibilit´es. Bien que les auteurs indiquent que leur m´ethode est valable pour tout type de pendage de fractures, la technique de maillage propos´ee ici traite implicitement les fractures comme ´etant verticales dans le syst`eme de la grille : – Une seule image du milieu est extraite par couche. Si des fractures, au pendage non vertical, se recoupent en-dessous ou au-dessus de la section consid´er´ee, aucune intersection ne sera effectivement prise en compte. Par cons´equent, la topologie du r´eseau est alt´er´ee.

– Le calcul mˆeme des transmissibilit´es matrice-matrices et matrice-fracture supposent que les fractures sont verticales puisque l’´epaisseur H de la couche est prise en compte pour calculer le volume des ´el´ements.

Deuxi`emement, la m´ethode impose que les fractures soient born´ees aux limites de couche (stratabound ). Ceci n´ecessite ´egalement l’introduction de noeuds de fracture virtuels pour assurer la r´egularit´e de la discr´etisation d’un plan de fracture : pour chaque noeud initial, de nouveaux noeuds sont plac´es au sein des couches sup´erieure et inf´erieure le long de la ligne d’intersection entre fractures. Enfin, en raison de la g´eom´etrie complexe, le calcul des transmissibilit´es constitue un tˆache d´elicate. En particulier pour les transmissibilit´es matrice-fracture et matrice-matrice, les auteurs supposent que la pression varie lin´eairement au sein du volume de matrice depuis une fracture, et que l’´ecoulement s’effectue perpendiculairement aux limites des blocs de matrice.

Maillage par d´eveloppement de r´egions

La technique de discr´etisation pr´esent´ee dans (Karimi-Fard, 2004) repose sur la repr´esen-tation du maillage par une structure de donn´ees d’arbre binaire. L’espace entre les fractures correspondant `a la matrice est d’abord rempli par une technique de d´eveloppement de r´egions contrˆol´e par les fractures environnantes et la convexit´e des r´egions. Initialement, une unique boˆıte englobant le mod`ele est consid´er´ee, puis r´ecursivement subdivis´ee le long de la plus grande direction, jusqu’`a ce que la boˆıte courante soit uniforme ou qu’une taille minimale soit atteinte (Figure 2.20). Ensuite, les r´egions d´elimit´ees par des fractures ou des failles sont individualis´ees et les connectivit´es entre les r´egions sont d´etermin´ees (Figure 2.21). Enfin, une grille est extraite de ces r´egions en approximant chaque ensemble de blocs connect´es d´efinissant une r´egion par un poly`edre (Figure 2.21), selon la d´efinition topologique d’une grille : un ensemble de volume de contrˆole (les poly`edres extraits des r´egions) connect´es (connectivit´es entre r´egions).

Comme pour la m´ethode bas´ee sur un traitement d’image, une telle technique pr´esente comme int´erˆet majeur sa flexibilit´e. Toutefois certains probl`emes non discut´es peuvent ˆetre relev´es :

– La forme des blocs g´en´er´es est tr`es variable : quel sch´ema d’approximation du flux faut-il adopter ?

– Les volumes des blocs g´en´er´es sont tr`es variables comme le montre la Figure 2.21, et ceci peut conduire `a des instabilit´es num´eriques lors de la r´esolution du probl`eme d’´ecoulement. – Comment les propri´et´es du mod`ele g´eologique sont-elles estim´ees pour chaque bloc g´en´er´e ? On peut ´egalement s’interroger sur le coˆut du temps d’extraction, et surtout le coˆut m´emoire de la structure d’arbre binaire. Enfin, il est `a regretter que son utilisation pour la simulation

Fig. 2.20 – Exemple 3D de la structure de donn´ees d’arbre binaire pour la discr´etisation de mod`eles fractur´es (Karimi-Fard, 2004)

Fig. 2.21 – Maillage construit `a partir des r´egions extraites d’un mod`ele fractur´e 3D (Karimi-Fard, 2004)

d’´ecoulement n’ait pas ´et´e ´etudi´ee dans les travaux pr´esent´es.