Milieu fortement anisotrope

Jeu de donn´ees

Un mod`ele fortement anisotrope (Figure 4.12) est utilis´e pour d´emontrer le gain d’un chan-gement d’´echelle global compar´e `a un changement d’´echelle local. En effet, les h´et´erog´en´eit´es pr´esentent une direction principale non align´ee avec la grille, cas o`u les m´ethodes locales de changement d’´echelle donneront des r´esultats impr´ecis. Il est donc g´en´eralement recommand´e de r´ealiser un changement d’´echelle par une m´ethode globale. Pour une telle configuration, il est ´egalement souvent n´ecessaire d’opter pour une m´ethode en MPFA. Toutefois, nous illus-trons ici les capacit´es de notre proc´edure globale adaptative, qui permet d’obtenir des r´esultats fiables, sans pr´esenter les inconv´enients d’une m´ethode classique bas´ee MPFA (probl`emes de non-monotonie, robustesse). 0 Injecteur Producteur 100 ft 1500

Fig. 4.12 – Mod`ele h´et´erog`ene 2D `a forte anisotropie

Le mod`ele est de dimension 1000 ft × 1000 ft (305 m × 305 m) et est repr´esent´e par une grille de 10 000 (100 × 100) cellules. La porosit´e est homog`ene (φ = 0.2). Le champ de perm´eabilit´e h´et´erog`ene a une distribution log-normale avec un minimum de 0.3 mD et un maximum de 17

750 mD. Il se caract´erise par une corr´elation d’azimut 35 et par des longueurs de corr´elation de l_x = 500 et l_y = 5. Les densit´es de r´ef´erence de l’eau et de l’huile sont respectivement ρ_w = 62.4 lb/ft³ (1000 kg/m³) et ρo = 49.9 lb/ft³ (800 kg/m³), et leurs viscosit´es dynamiques sont µw = 0.55 cp (5.5 ×10⁻⁴ Pa.s) et µ_o= 1.2 cp (1.2 ×10⁻³ Pa.s). L’eau est inject´ee `a un d´ebit constant de 100 BBL/jour (15.9 m3/jour) depuis le coin inf´erieur gauche. Le producteur est contrˆol´e en pression `a 4000 psia (27 579 kPa) et situ´e au coin sup´erieur droit. Le syst`eme est initialement satur´e en huile.

Trois types de changement d’´echelle sont effectu´es : (1) une m´ethode locale en transmissibi-lit´e, pression constante/pas d’´ecoulement, (2) notre m´ethode globale sur grille structur´ee (non adaptative), et (3) notre m´ethode globale adaptative. La deuxi`eme technique utilise les algo-rithmes de d´ecimation de noeuds et de connexions d´ecrits pr´ec´edemment, mais la s´election des noeuds est telle qu’un noeud du maillage final est situ´e au centre de chaque bloc grossier d’une grille structur´ee, comme pour la m´ethode locale. Un raffinement autour des puits est r´ealis´e pour les deux m´ethodes globales, alors que la m´ethode locale en est d´epourvue.

Le nombre de noeuds est r´eduit de 10 000 `a 100 pour la m´ethode locale et `a 124 et 126 pour les m´ethodes globales (le nombre sup´erieur de noeuds est dˆu au raffinement autour des puits). Les connexions sont r´eduites de 19 800 `a 180 pour la m´ethode locale, et 600 pour les m´ethodes globales (Figure 4.13). L’inflow est utilis´e comme crit`ere de s´election dans la m´ethode adaptative (Figure 4.14). La distribution statistique de la propri´et´e est d´ecrite Figure 4.15. Les param`etres pour la s´election sont rassembl´es dans le Tableau 4.1. La s´election a ´et´e faite de sorte `a davantage s´electionner les valeurs moyennes, entre P20 et P80. Les plus faibles valeurs, inf´erieures au P20, sont moins repr´esent´ees dans le mod`ele simplifi´e (10%). Les proportions des fortes valeurs, sup´erieures au P80 sont conserv´ees.

[a] PipeNetwork fin (10 000 nœuds - 19 800 connexions)

[b] PipeNetwork après décimation des nœuds (126 nœuds - 6 702 connexions)

[c] PipeNetwork après décimation des connexions (126 nœuds - 600 connexions)

faible fort

Fig. 4.13 – Les ´etapes du changement d’´echelle global adaptatif pour le mod`ele 2D anisotrope

´

Ecoulement diphasique incompressible

Un syst`eme eau-huile incompressible est simul´e. Les courbes de production pour les trois types de changement d’´echelle et pour le mod`ele fin, utilis´e comme r´ef´erence, sont montr´ees Figure 4.16. Les erreurs obtenues par les diff´erentes m´ethodes sont rassembl´ees dans le Tableau 4.2. La technique locale introduit de fortes erreurs pour les courbes de production : 33% pour

Quantiles % dans le mod`ele simplifi´e 0 0.1 20 0.35 50 0.35 80 0.2 100

Tab. 4.1 – Param`etres pour la s´election des noeuds selon le crit`ere d’inflow (mod`ele 2D aniso-trope)

0 3500

[a] PipeNetwork fin (10 000 nœuds) [b] 126 nœuds sélectionnés selon le débit

Fig.4.14 – S´election des noeuds par la propri´et´e d’inflow pour le mod`ele 2D anisotrope

Centiles 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Valeurs 0 39.6 82.31 125.56 174.85 229.51 292.58 401.22 614.04 1090.43 26328.5 Débit entrant (×103) F ré q u e n ce

Fig. 4.15 – Param`etres statistiques de la propri´et´e d’inflow pour le mod`ele 2D anisotrope

l’huile cumul´ee et 12% pour la proportion d’eau au puits producteur. La m´ethode globale sur grille structur´ee donne une premi`ere am´elioration significative par rapport `a la m´ethode locale, pour les deux courbes de production. On peut cependant noter que le temps d’apparition de l’eau au puits producteur est mieux reproduit par la m´ethode locale que par la m´ethode globale, qui tend `a le sous-estimer. On mesure une erreur de 6% pour l’huile cumul´ee et 2% pour la

proportion d’eau. Par la proc´edure adaptative, les r´esultats du changement d’´echelle global sont am´elior´es, et une reproduction presque parfaite des courbes de production est obtenue, except´e `a nouveau pour le temps d’apparition de l’eau au puits producteur. L’erreur est alors r´eduite `a 2% pour l’huile cumul´ee et 1% pour la proportion d’eau.

Fig. 4.16 – Comparaison des courbes de production pour le mod`ele fin (r´ef´erence) et les trois types de changement d’´echelle (local, global structur´e, et global adaptatif) pour le mod`ele 2D anisotrope (syst`eme eau-huile incompressible)

Les distributions de pression `a 2.8 volumes poreux d’eau inject´ee, pour les trois m´ethodes de changement d’´echelle, sont trac´ees en fonction des pressions du mod`ele fin (Figure 4.17). Alors que la m´ethode locale ne permet pas de reproduire la pression (erreur de 7%), la m´ethode globale sur grille structur´ee donne une bonne approximation (on observe que les points sont globalement align´es avec la bissectrice, l’erreur est de 0.005%), et la m´ethode globale adaptative respecte bien les pressions dans tout le r´eservoir (les points sont parfaitement align´es avec la bissectrice, mais les valeurs des pressions sont l´eg`erement surestim´ees de 1 psia, ceci explique la l´eg`ere augmentation d’erreur `a 0.029%).

L’algorithme de d´ecimation des connexions donne un r´esultat tr`es proche du mod`ele obtenu apr`es d´ecimation des noeuds (Figure 4.18a), avec une erreur de 0.5% pour l’huile cumul´ee et la proportion d’eau. De mˆeme, l’erreur de pression introduite par l’algorithme de d´ecimation des connexions compar´e au mod`ele apr`es d´ecimation des noeuds est tr`es faible (Figure 4.18b), de 0.27%.

y = x+296 Erreur L₂= 0.07 Erreur L₂= 5.07×10-5 y = x+1.1 Erreur L₂= 2.9×10-4 4130 4130 4130 4145 4145 4145 4145 4145 4429.5 4428.5

Pression référence moyennée Pression référence moyennée Pression référence

P re ssi o n m o d è le g ro ssi e r P re ssi o n m o d è le g ro ssi e r P re ssi o n m o d è le si m p lif ié

[a] Méthode locale [b] Méthode globale [c] Méthode globale adaptative

Fig.4.17 – Diagramme de dispersion des pressions sur les mod`eles grossiers en fonction de celles du mod`ele fin pour les trois types de changement d’´echelle (local, global et global adaptatif) (mod`ele 2D anisotrope en syst`eme eau-huile incompressible, `a 2.8 volumes poreux d’eau inject´ee)

Local Global Global adaptatif

Huile cumul´ee (L1) 33% 6% 2%

Proportion d’eau (L1) 12% 2% 1%

Pression (L2) 7% 0.005% 0.029%

Tab.4.2 – Erreurs des courbes de production et de la pression pour les trois types de changement d’´echelle (local, global et global adaptatif) pour le mod`ele 2D anisotrope (syst`eme eau-huile incompressible)

La simulation d’´ecoulement sur le mod`ele fin n´ecessite 58.53 secondes. La simulation sur le mod`ele apr`es changement d’´echelle local requiert un temps total de 0.41 secondes (53.7% pour le changement d’´echelle et 46.3% pour la simulation d’´ecoulement). La proc´edure globale adaptative n´ecessite au total 14.34 secondes (63.4% pour la d´ecimation des noeuds, 33.7% pour la d´ecimation des connexions, et 2.9% pour la simulation d’´ecoulement). Tous les temps indiqu´es dans ce chapitre ont ´et´e obtenus sur une station de travail avec un processeur AMD Opt´eron 2.8 GHz, et 8 GB de m´emoire vive. Bien que la proc´edure globale n´ecessite consid´erablement plus de temps que la m´ethode locale, elle apporte une r´eduction de temps significative par rapport au temps n´ecessaire pour effectuer la simulation directement sur le mod`ele fin (r´eduction d’un facteur 4). De plus, pour de nouvelles simulations d’´ecoulement, le temps est r´eduit d’un facteur 140, le changement d’´echelle n’´etant plus `a effectuer.