Erreurs dues aux conditions aux limites locales pour le changement d’´echelle 30

d’´echelle

Comme pour les r´eservoirs h´et´erog`enes, l’application de conditions aux limites arbitraires introduit des erreurs dans l’estimation des param`etres ´equivalents. En particulier pour les mi-lieux fractur´es, il apparaˆıt que les valeurs des perm´eabilit´es calcul´ees d´ependent fortement des conditions aux limites choisies. Rijken (2005) d´emontre cet effet en utilisant un jeu de donn´ees caract´eris´e par deux orientations de fractures : l’une Nord-Sud, la seconde Est-Ouest (Figure 1.9 `a gauche). Trois types de conditions aux limites sont appliqu´es pour effectuer le changement d’´echelle : (1) d´ebit constant imposant la direction d’´ecoulement, et pression constante sur les autres faces, (2) pression constante/pas d’´ecoulement, et (3) pseudo-p´eriodique (Figure 1.9). Les types 1 et 3 d´eterminent les bornes des valeurs de perm´eabilit´e, qui varient d’un facteur de 100000 environ. Une distribution bi-modale est g´en´eralement observ´ee pour le type 2, correspondant aux valeurs extrˆemes des deux autres types de conditions. On peut noter cependant que pour les perm´eabilit´es Nord-Sud, les valeurs les plus ´elev´ees s’´ecartent de fa¸con sensible de la borne su-p´erieure des conditions pseudo-p´eriodiques. Ceci s’explique par l’orientation des fractures qui est diff´erente de la direction d’´ecoulement impos´ee par les conditions pression constante/pas d’´ecoulement.

1.9 Conclusion

Les r´eservoirs fractur´es sont des milieux extrˆemement complexes `a mod´eliser de fa¸con pr´ecise. Premi`erement, les donn´ees de fractures sont des donn´ees souvent difficiles `a pr´elever sur le champ, elles sont pour la plupart fortement biais´ees, et il est n´ecessaire de faire un important travail d’analyse et de recoupement entre les diff´erents types de donn´ees disponibles pour caract´eriser le plus correctement possible les fractures. En outre, ces donn´ees sont tr`es localis´ees, au niveau des puits, et les seules donn´ees v´eritablement 3D disponibles, les donn´ees sismiques, n’apportent pas une r´esolution suffisante. Des m´ethodes indirectes de caract´erisation, reposant sur des concepts plus ou moins m´ecaniques, ont donc ´et´e d´evelopp´ees dans la litt´erature pour tenter d’obtenir une

Fig. 1.9 – Effet du type de conditions aux limites sur les valeurs de perm´eabilit´e ´equivalente (modifi´e d’apr`es (Rijken, 2005))

description des param`etres de fractures sur tout le r´eservoir. En raison des fortes incertitudes li´ees `a ces mod`eles, cette description consiste g´en´eralement en des distributions stochastiques des densit´e, orientation et pendage des fractures. `A partir de ces m´ethodes, il est possible de g´en´erer des r´eseaux de fractures discr`etes, toujours par des algorithmes stochastiques. Parce que les mod`eles statiques des r´eservoirs fractur´es sont g´en´er´es stochastiquement, que les fractures constituent des h´et´erog´en´eit´es de quelques centim`etres `a des centaines de m`etres, et que les fractures sont g´en´eralement en tr`es grand nombre, ces mod`eles ne peuvent ˆetre directement utilis´es pour r´ealiser des simulations d’´ecoulement. Des m´ethodes de mise `a une ´echelle plus grossi`ere, sp´ecifiques de ces formations, ont donc ´et´e mises en place.

Il existe dans la litt´erature trois grands mod`eles conceptuels pour la simulation d’´ecoulement sur r´eservoirs fractur´es : (1) le mod`ele simple continuum ou simple porosit´e, qui pr´esente un ensemble de param`etres ´equivalents par bloc de grille pour d´ecrire le comportement du milieu fin h´et´erog`ene, (2) les mod`eles double continuum, double porosit´e ou double porosit´e/double perm´eabilit´e, qui consid`erent le milieu fractur´e comme deux milieux se recouvrant et interagis-sant, et enfin (3) les mod`eles discrets qui repr´esentent explicitement les fractures dans le mod`ele d’´ecoulement. Alors que le mod`ele simple continuum est le plus simple et le plus rapide, il entraˆıne le plus souvent une approximation importante. Les mod`eles double continuum sont les mod`eles les plus efficaces, permettant de mod´eliser des ph´enom`enes physiques complexes avec pr´ecision. Toutefois, la d´etermination des param`etres ´equivalents (perm´eabilit´es de matrice, fractures et facteur de forme) constitue un point d´elicat qui peut mener `a des r´esultats erron´es. Enfin, les mod`eles discrets sont les plus pr´ecis, mais leurs contraintes de mise en place (g´en´eration de maillage 3D non structur´e) les limitent principalement `a l’estimation, de fa¸con plus pr´ecise, des param`etres ´equivalents des mod`eles par continuum ´equivalent (approche hybride). En outre, ces mod`eles n´ecessitent une description tr`es d´etaill´ee, en g´eom´etrie et en propri´et´es, du r´eseau de fractures.

Avant d’opter pour un mod`ele conceptuel, il est n´ecessaire d’analyser la g´eologie de la roche fractur´ee, de d´eterminer l’´echelle d’int´erˆet, les buts pour lesquels le mod`ele est construit et le niveau de d´etails requis (´ecoulement ou transport). Il est ´egalement int´eressant d’identifier les chemins au sein du r´eseau de fractures et les structures qui pourraient dominer l’´ecoulement, afin de les int´egrer aussi pr´ecis´ement que possible dans le mod`ele d’´ecoulement (approche hi´e-rarchique). Toutefois, il apparaˆıt souvent que les mod`eles par continuum classiquement utilis´es, reposant sur une id´ealisation du milieu ou une description statistique des fractures, peuvent induire de trop grandes approximations. La tendance actuellement observ´ee est donc `a l’utilisa-tion des approches hybrides, en appliquant des m´ethodes de changement d’´echelle locales sur un mod`ele discret du r´eseau de fractures.

Toutefois, pour pouvoir appliquer ces m´ethodes hybrides, il est d’abord n´ecessaire de dis-cr´etiser pr´ecis´ement et efficacement une repr´esentation d´etaill´ee du syst`eme de fractures. Cette probl´ematique constitue le sujet du chapitre suivant (Chapitre 2). Nous y d´etaillons la m´ethode d´evelopp´ee dans nos travaux, qui permet de repr´esenter efficacement et pr´ecis´ement un milieu fractur´e.

En outre, il est important d’estimer au mieux les param`etres ´equivalents `a partir de ces mod`eles, afin d’informer des mod`eles par continuum ´equivalent. Cependant, par leur caract`ere tr`es h´et´erog`ene et la forte anisotropie qui peut ˆetre induite par la pr´esence des fractures, les mi-lieux fractur´es ne sont pas de bons candidats pour un changement d’´echelle sous conditions aux limites locales. Ils n´ecessitent davantage des techniques de changement d’´echelle globales, et/ou des m´ethodes de maillage adaptatives pour mieux capturer les chemins d’´ecoulement cr´e´es par les fractures (voir Chapitre 3). `A notre connaissance cependant, aucune m´ethode de changement d’´echelle autre que locale n’a ´et´e propos´ee sur des milieux fractur´es. Le Chapitre 4 pr´esente les travaux r´ealis´es dans cette th`ese pour adapter une approche globale de changement d’´echelle, coupl´ee `a un maillage adaptatif, pour la construction de mod`eles double porosit´e/double per-m´eabilit´e.

Discr´etisation des r´eservoirs

fractur´es

Sommaire

2.1 Grille r´eservoir et discr´etisation . . . . 34

2.2 Approches pour la repr´esentation d’une grille r´eservoir . . . . 42

2.3 M´ethodes de discr´etisation des r´eservoirs fractur´es : ´etat de l’art . 44

2.4 Le PipeNetwork : une discr´etisation conjointe de la matrice et des

fractures discr`etes . . . . 57

2.5 Validation du PipeNetwork par comparaison avec une discr´etisation

volumes finis . . . . 70 2.6 Conclusion . . . . 76

Avant de transmettre les donn´ees du sous-sol `a tout simulateur d’´ecoulement, il est n´ecessaire de proc´eder `a une discr´etisation. Cette discr´etisation s’effectue en deux ´etapes : (1) la discr´e-tisation spatiale ou construction d’une grille r´eservoir, puis (2) la discr´ediscr´e-tisation des ´equations ou mise en forme des ´equations alg´ebriques. La grille r´eservoir sert de support calculatoire au simulateur d’´ecoulement et l’informe en g´eom´etrie et propri´et´es du domaine `a mod´eliser. Ac-tuellement, les maillages utilis´es pour la simulation d’´ecoulement sont g´en´eralement des grilles 3D structur´ees irr´eguli`eres (Figure 2.1a), et plus occasionnellement des grilles 2,5D non struc-tur´ees, aussi appel´ees grilles extrud´ees (Figure 2.1b), ou 3D non structur´ees (Figure 2.1c), qui repr´esentent explicitement les volumes de contrˆole par des blocs. Une nouvelle g´en´eration de simulateurs d’´ecoulement accepte ´egalement en entr´ee un deuxi`eme type de maillage, bas´e sur la repr´esentation explicite des connectivit´es entre ´el´ements de la grille.

Dans le cadre de la mod´elisation et de la simulation des r´eservoirs fractur´es, une premi`ere ´etape importante et d´elicate est la discr´etisation spatiale du domaine d’´etude. En effet, la com-plexit´e de la g´eom´etrie de ces syst`emes rend la tˆache de construction de maillage int´egrant des fractures difficile. Or il est important pour une bonne pr´ediction des capacit´es de production et une optimisation des strat´egies d’exploitation de disposer d’un mod`ele aussi g´eom´etriquement pr´ecis que possible. Il est alors n´ecessaire de d´evelopper des techniques efficaces de discr´eti-sation `a partir de repr´esentations haute r´esolution du milieu fractur´e. En outre, le support de

discr´etisation doit permettre de transf´erer les donn´ees directement `a un simulateur d’´ecoulement.

Ce chapitre s’attache tout d’abord `a rappeler comment sont effectu´ees la discr´etisation spa-tiale et la discr´etisation des ´equations, afin de d´efinir les donn´ees strictement n´ecessaires `a un simulateur d’´ecoulement. Il en r´esulte les deux grands types de repr´esentation possibles pour une grille r´eservoir (par blocs ou connectivit´es). Apr`es une introduction sur ces deux approches, et une discussion de leurs avantages et inconv´enients respectifs, le cas sp´ecifique des r´eservoirs fractur´es est d´evelopp´e. Des m´ethodes pour la discr´etisation des r´eservoirs fractur´es propos´ees dans la litt´erature sont pr´esent´ees et compar´ees. Enfin, une nouvelle approche est d´evelopp´ee en d´etail dans cette th`ese, et une comparaison avec une m´ethode de la litt´erature est propos´ee.

[a] Grille 3D structurée irrégulière (Modèle Total)

[b] Grille 2,5D non structurée (Modèle Total)

[c] Grille 3D non structurée (Lepage, 2003)

Fig.2.1 – Les diff´erents types de maillage pour la simulation d’´ecoulement

2.1 Grille r´eservoir et discr´etisation

Une discr´etisation efficace doit r´epondre aux trois points principaux suivants (Heinemann et Heinemann, 2003) :

– La solution discr`ete doit ˆetre une bonne approximation de la solution exacte.

– L’´echantillonnage de la grille (nombre de cellules ou points) doit ˆetre aussi faible que possible.

– La structure de la matrice issue du syst`eme d’´equations doit permettre d’obtenir la solution aussi rapidement que possible.