4.4 Description de la procédure numérique
4.4.1 Schéma numérique pour l’équation de transport
En pratique, il s’agit de décrire et de résoudre une version discrétisée de ce système d’équations. Pour cela, nous allons partager ce système en trois parties que nous traiterons indépendamment dans chacune des trois sous-sections suivantes. La première partie corres- pond à la discrétisation de la première ligne du système. La deuxième partie correspond à la discrétisation des deuxième et troisième lignes du système. Nous y aborderons le choix des deux noyaux kV et kW et le calcul des convolutions. Enfin, la troisième partie sera
consacrée à la ligne 4, c’est à dire à l’initialisation de l’algorithme. Nous y présenterons la méthode de recalage rigide que nous utilisons pour initialiser l’algorithme et améliorer la qualité de l’appariement.
4.4.1 Schéma numérique pour l’équation de transport.
Nous présentons la méthode utilisée pour discrétiser l’équation de transport en première ligne du système 4.4.1. Pour cela, nous devons décrire la discrétisation des deux opérateurs différentiels ∂t et ∇x = (∂x1, ∂x2, . . . , ∂xd).
En pratique, les images source et cible sont données sur une grille discrète et cartésienne G. Pour les besoins du calcul on supposera de plus que G est périodique et on aura typique- ment G = 1
N (Z/N Z)
d. La méthode que nous allons présenter repose sur l’approximation
des opérateurs ∂t et ∇x par le calcul de différences finies. Concernant la discrétisation
de l’opérateur ∇x, les dérivées partiels ∂x1, ∂x2, . . . , ∂xd, sont traitées indépendamment et
de manière strictement identique. Nous pouvons donc, sans perdre de généralité, nous ramener au cas de la dimension 1 en remplaçant ∇x par ∂x et en travaillant sur une grille
G = 1
N (Z/N Z).
La discrétisation de l’opérateur ∂t est effectuée selon un schéma de Runge-Kutta
d’ordre 3 et celle de ∂x utilise un schéma WENO (weighted essentially non-oscillatory)
d’ordre 5. Ces deux méthodes sont décrites précisément dans le livre [65] aux chapitres 3.4 et 3.5. Le résultat de cette combinaison est un schéma numérique très précis dans
les zones où l’image transportée est régulière. Il permet également de transporter les discontinuités de l’image sans générer d’oscillations artificielles (le schéma WENO n’est pas dispersif). En contrepartie, ce schéma s’accompagne d’un phénomène de diffusion et l’image transportée va subir une régularisation au niveau des discontinuités. Ce phénomène pourra être observé dans la plupart des expériences numériques du chapitre 5. Il sera illustré plus particulièrement par les figures 5.11 et5.12 de ce chapitre.
Le schéma WENO est un raffinement du schéma ENO, lui même basé sur la méthode upwind pour discrétiser l’opérateur ∂x. Nous renvoyons au livre [65] pour une description
détailler de ENO et WENO et nous faisons une présentation simplifiée de la méthode numérique en utilisant un schéma d’Euler explicite d’ordre 1 en temps et la discrétisation upwind en espace.
Considérons l’équation de transport en dimension un
∂tf + v ∂xf = 0, (4.4.2)
et supposons que la solution f soit connue pour un certain temps tn ∈ (0, T ). On utilise
la notation fn = f (t
n,·) et aussi vn = v(tn,·). Pour un accroissement du temps ∆t, on
souhaite mettre à jour fn et calculer sa valeur fn+1 au temps t
n+1 = tn+ ∆t. En suivant
le schéma d’Euler explicite nous définissons fn+1 par la formule
fn+1− fn
∆t + v
n∂
xfn = 0.
Dans cette équation, il faut considérer que la vitesse vn est connue sur la grille G. Le calcul
de cette vitesse sera expliqué dans la section suivante. Par contre, la notation ∂xfn n’a
pas encore de sens précis et nous devons expliquer quel opérateur discret va remplacer ∂x.
Comme il s’agit d’une équation de transport, le signe de vn nous indique si la valeur
de fn va se déplacer sur la gauche ou sur la droite. En effet, au moins intuitivement, on
peut considérer que la solution f est constante de long des courbes caractéristiques. C’est l’idée contenue dans la proposition 4.1. Choisissons un point spécifique xi ∈ G et notons
fn i = fn(xi), vin= vn(xi) et (∂xfn)i = ∂xfn(xi). Au point xi on a encore fin+1− fn i ∆t + v n i · (∂xfn)i = 0. Si vn
i > 0, les valeurs de f se déplacent de gauche à droite et la méthode consiste à
construire la valeur fn+1
i en utilisant l’information située à gauche de xi. Pour cela, la
dérivée (∂xfn)i est approchée en utilisant l’expression
(∂xfn)−i =
fn
i − fi−1n
∆x .
Au contraire, si vn
i < 0, la méthode des caractéristiques nous dit de regarder sur la droite
et la dérivée (∂xfn)i va être approchée par
(∂xfn)+i =
fn
i+1− fin
∆x .
Enfin, si vn
i = 0, le produit vni (∂xfn)i s’annule et il n’est pas nécessaire d’approcher
(∂xfn)i. Pour résumé, introduisons les notations
v+= max(v, 0), v−= min(v, 0).
Le schéma upwind s’écrit
fin+1 = fin− ∆tî(vni)+(∂xfn)−i + (vni)−(∂xfn)+i ó
La stabilité de ce schéma est assurée par la vérification de la condition CFL (Cou- rant–Friedrichs–Lewy) qui s’énonce de la manière suivante :
c = vn i∆t ∆x < 1.
Numériquement, cette condition est forcée en choisissant le pas ∆t de manière adaptative. Plus précisément, la n-ième itération de l’algorithme, pour laquelle on calcul fn+1 à partir
de fn, utilise un pas de temps ∆t tel que
∆t = α ∆x kvn
· k∞
,
où α ∈ (0, 1) est généralement choisi égal à 0.9. De plus, avec une interprétation lagran- gienne (voir section 4.1.1), nous avons vu que l’algorithme sous-optimal est un algorithme de descente de gradient. Selon ce point de vue, la suite βn = 12dW(fn, g)2 associée au
critère d’appariement (section 4.2) doit être décroissante pour un pas de temps ∆t assez petit. Cette décroissance peut être vérifiée avec la formule 3.3.2 et on peut être amené à choisir un paramètre α plus petit.
Le schéma Hamilton Jacobi ENO (section 3.3 de [65]), procède de la même manière en sélectionnant (∂xfn)−i ou (∂xfn)+i en fonction du signe de vin. Cependant, ces deux
quantités sont approchées de manière plus précise en utilisant des polynômes d’interpolation (de degré 3) et en dérivant ces polynômes. Il en resulte un schéma d’ordre trois pour l’approximation des dérivées spatiales. Le schéma Hamilton Jacobi WENO que nous utilisons en pratique (section 3.4 de [65]) est une version pondérée du schéma ENO et permet d’obtenir une précision d’ordre 5 dans les zone ou les données sont régulières.