1.4 Résumé des contributions
2.1.3 Propriétés spectrales des fonctions de type positif
Les propriétés spectrales des fonctions de type positif sont illustrées par le théorème de Bochner. Cette section est consacrée à la présentation de ce théorème et des résultats qui en découlent. Ces propriétés nous permettrons, dans la section suivante, de construire des RKHS vectoriels adaptés à nos objectifs.
Le théorème de Bochner est un résultat concernant les groupes abéliens localement compacts. Il permet de caractériser les fonctions de type positif sur ces ensembles en utilisant la transformation de Fourier (voir [71]). Bien qu’il soit possible d’énoncer ce résultat dans le cas général d’un groupe G, abélien et localement compact, nous allons nous contenter des deux cas particuliers où G = Rd et où G = Td.
Théorème 2.12. (Bochner)
• Supposons que G = Rd. Soit k : Rd→ R une fonction continue en zéros. k est une
fonction de type positif si et seulement si il existe une mesure borélienne positive et bornée µ sur Rd telle que
k(x) = ˆ
Rd
exp (iξ· x) dµ(ξ), ∀x ∈ G.
En d’autres termes, k est la transformée de Fourier de la mesure µ. Ajoutons à cela que si k ∈ L1ÄRdä, alors la mesure µ admet la fonction k/(2π)b d pour densité par
rapport à la mesure de Lebesgue.
• Supposons maintenant que G = Td. Soit k : Td→ R une fonction continue en zéros.
k est une fonction de type positif si et seulement si il existe une suite positive et sommable (cn)n∈Zd telle que
k(x) = X
n∈Zd
cnein·x. ∀x ∈ Td
Dans ce cas, le théorème de Bochner est aussi connu sous le nom de théorème de Herglotz.
Une preuve du théorème général est donnée dans [71]. Une preuve intéressante du cas G = Rd est présentée dans l’annexe A.1
Ce théorème nous permet de préciser la forme d’un RKHS associé à une fonction de type positif. Supposons dans un premiers temps que G = Rd et considérons k : Rd−→ R
continue, de type positif et intégrable. Cette fonction définit un noyau de type positif et donc un RKHS. D’après le théorème, la fonction k est positive. On peut obtenir uneb
Supposons que k(ξ) > 0 pour tout ξb ∈ Rd et considérons la mesure µ :
dµ(ξ) = dξ (2π)dk(ξ)b .
On note L2(µ) le sous-espace de L2(Rd, C, µ) des fonctions qui vérifient f (−ξ) = f(ξ).
C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire hf | giL2(µ)=
ˆ
Rd
f (ξ)g(ξ) dµ(ξ).
Proposition 2.13. Soit k : Rd−→ R une fonction de type positif, continue, intégrable et
telle que bk soit strictement positive. Alors le RKHS V associé au noyau kV(x, y) = k(y−x)
est de la forme :
V =¶f ∈ L2ÄRd, R, λä, telles que fb∈ L2(µ)©.
Le produit scalaire est donné par : hf | giV = 1 (2π)d ˆ Rd ˆ f (ξ)ˆg(ξ) ˆk(ξ)−1dξ
Preuve. Pour cette démonstration, nous allons montrer que l’espace V défini ci-dessus est un RKHS de noyau kV(x, y) = k(y− x). Nous commençons par montrer que V s’injecte
continûment dans l’espace C0 Ä
Rdä(ce qui implique que V est un RKHS). Pour cela, on va voir que les éléments de L2(µ) sont dans L2∩ L1.
Premièrement, les fonctions de L2(µ) sont de carré sommable. En effet, la fonction b
k est bornée car c’est la transformée de Fourier de k ∈ L1. Il existe donc une constante
positive C telle que C/k > 1 et cela implique :b
ˆ Rd| ˆ f (ξ)|2dξ 6 C ˆ Rd| ˆ f (ξ)|2k(ξ)ˆ −1dξ < ∞.
Ensuite, on remarque que kb ∈ L2(µ) car c’est une fonction intégrable (d’après le
théorème de Bochner) et on a :
kˆkk2L2(µ)=
1
(2π)dkˆkkL1 <∞.
Ainsi, si f ∈ L2(µ), on peut effectuer le produit scalaire avec ˆk ce qui nous donne :
kfkL1 = (2π)d
¨
|f| |bk∂L2(µ)<∞, (2.1.4)
et donc f ∈ L1. Finalement, L2(µ) ⊂ L1∩ L2. Ainsi, si f ∈ V , fb ∈ L1 et on sait que
f =F−1(f ) oùb F−1 coïncide avec la formule d’inversion explicite, ce qui signifie que :
f (x) = ˆ
Rd
b
f (ξ) eix·ξdξ, ∀x ∈ Rd. (2.1.5) En conséquence, f admet un représentant continu qui s’annule à l’infini. De plus, en utilisant (2.1.5) puis (2.1.4) et l’inégalité de Cauchy-Schwarz on trouve une constante CV
telle que
(V,h· | ·iV) est donc un RKHS. Pour tout x ∈ Rd, on définit la fonction k
V(x,·) =
k(· − x) qui est un élément V . De plus, pour tout f ∈ V on a hf | kV(x,·)iV = 1 (2π)d ˆ Rd b f (ξ) exp(ix· ξ)k(ξ)b k(ξ)b −1dξ, = 1 (2π)d ˆ Rd b f (ξ) exp(ix· ξ)dξ, = f (x),
en utilisant le théorème d’inversion. C’est donc l’unique RKHS de noyau kV.
Le cas périodique se traite de la même manière. Supposons que G = Td et considérons
une fonction k : Td−→ R continue et de type positif. Cette fonction définit un noyau de
type positif et donc un RKHS. La suite des coefficients de Fourier de k est notée (cn)n∈Zd.
Supposons que cn > 0 pour tout n ∈ Zd et introduisons l’espace ℓ2(1c) des suites de
nombres complexes (an)n∈Zd vérifiant a−n= an et telles que X n∈Zd |an|2 1 cn < +∞. C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
ha | biℓ2(1 c) = X n∈Zd anbn cn .
Mise à part la fonction k, dont le n-ième coefficient de Fourier est noté cn, le n-ième
coefficient de Fourier d’une fonction f sera noté fbn. On a donc, pour f ∈ L1ÄTdä b fn= 1 (2π)d ˆ [−π,π]d f (x)e−in·xdx, ∀ n ∈ Zd.
Proposition 2.14. Soit k : Td−→ R, une fonction de type positif et continue. Si la suite
(cn)n∈Zd des coefficients de Fourier de k est strictement positive alors le RKHS V associé
au noyau kV(x, y) = k(y− x) est de la forme :
V =¶f ∈ L2(Td, R), telles que f =b Äfb n ä n∈ ℓ 2(1 c) © . Le produit scalaire est donné par :
hf | giV = ¨ b f|gb∂ ℓ2(1 c) .
Preuve. Montrons que l’espace V ci-dessus est un RKHS de noyau kV tel que kV(x, y) =
k(y− x). L’espace V est un espace de Hilbert ( car il est en isométrie avec ℓ2(1
c) ). Pour
voir que c’est un RKHS, nous allons montrer qu’il s’injecte continûment dans l’espace CÄTdä. En d’autres termes, il faut montrer que tout élément f ∈ V admet un représentant continu et qu’il existe une constante positive CV telle que :
kfk∞≤ CVkfkV, ∀ f ∈ V.
Remarquons d’abord que la suite c = (cn)n∈Zd est dans l’espace ℓ2(1c). En effet, elle est
sommable (Bochner) et on a :
kck2ℓ2(1
c) =kckℓ
Pour une suite a ∈ ℓ2(1
c), on peut effectuer le produit scalaire avec c∈ ℓ 2(1 c) ce qui nous donne : kakℓ1 =ha | ci ℓ2(1 c) <∞, (2.1.6)
donc a ∈ ℓ1 et on a montré que ℓ2(1 c) ⊂ ℓ
1. Ainsi, si f ∈ V sa suite de coefficients de
Fourier est sommable et f admet un représentant continu donné par la formule : f (x) = X
n∈Zd
ˆ
fnein·x, ∀x ∈ Td. (2.1.7)
En utilisant (2.1.7) puis (2.1.6) et l’inégalité de Cauchy-Schwarz on trouve la constante CV =kckℓ2(1 c) telle que kfk∞≤ kfbkℓ1 ≤ kckℓ2(1 c)k b fkℓ2(1 c) = CVkfkV.
Ainsi, (V, h· | ·iV) est un espace de Hilbert et c’est un RKHS car il s’injecte dans l’espace
des fonctions continues. Pour tout x ∈ Rd, on définit la fonction k
V(x,·) = k(· − x) et
on constate que toutes les fonctions ainsi construites sont dans V . En effet, si on pose f = kV(x,·), les coefficients de Fourier de la fonction f sont donnés par
b fn= e−in·xcn, ∀n ∈ Zd. Par suite, kfbkℓ2(1 c)= X n∈Zd |e−in·xc n|2 cn = X n∈Zd cn <∞.
et donc f = kV(x,·) ∈ V . De plus, pour tout g ∈ V on a
hg | kV(x,·)iV = X n∈Zd b gn(ein·xcn) cn = X n∈Zd b gnein·x = g(x).
en utilisant le théorème d’inversion. V est donc l’unique RKHS de noyau kV.
Pour terminer cette section, on donne deux exemples classiques de RKHS pouvant s’interpréter de cette manière. Dans les deux cas, s est un réel strictement positif.
Interprétation avec les espaces de Sobolev Hs(Rd).
L’espace Hs(Rd) admet une définition spectrale donnée par
Hs(Rd) = ® u∈ L2(Rd) | ˆ Rd (1 +|ξ|2)s|u(ξ)b |2dξ <∞ ´ ,
Les inégalités de Sobolev impliquent que Hs(Rd) s’injecte continûment dans l’espace de
BanachÄC0 Ä
Rdä,k · k
∞ ä
dès que s > d/2. En particulier, Hs(Rd) est un RKHS si s > d/2
et son noyau est associé à la fonction de type positif donnée par F−1Ä(1 +|ξ|2
)−sä.
Interprétation avec les espaces de Sobolev Hs(Td).
Il s’agit typiquement des espaces que nous utiliserons en pratique. L’espace HsÄTdä
admet la définition la suivante : HsÄTdä= u∈ L 2(Td, R) tels que kuk2Hs = X n∈Zd Ä 1 +|n|2äs|ubn|2 < +∞ . (2.1.8)
Le produit scalaire est donné par la formule hu | viHs = X n∈Zd Ä 1 +|n|2äsubnvbn.
Les injections de Sobolev nous permettent de contrôler la régularité des éléments de Hs.
Proposition 2.15. Soit p∈ N, on considère (Cp,k k
p,∞) l’espace de Banach des fonctions
p−fois continûment différentiables sur le tore Td. Si le réel s vérifie
s > d/2 + p,
alors l’espace Hs(Td) est dans Cp et l’injection est continue.