Cette section est consacrée à la description de trois situations dans lesquelles la solution est explicite. Ces exemples permettent notamment de mettre en évidence la convergence de f(t, ·) vers la fonction cible g.
Bien que cela ne corresponde par exactement au cadre précédent, nous considérons maintenant des fonctions f0 et g définies sur R.
• Exemple 1 : g(x) = x et f0(x) = α0x.
Nous supposons que α0 > 1 et donc que f0 est supérieure à g. Dans cette situation, la
solution fait intervenir la fonction W de Lambert ([28]) W : [−e−1, +∞[→ [−1, +∞[,
fonction continue, uniquement déterminée par la relation W (x) eW (x) = x. Nous allons
montrer que la solution de E1(R, g) est donnée par
f (t, x) = α(t) x = x 1 + W Äexp(−t)Ä 1 α0 − 1 ä expÄ 1 α0 − 1 ää.
Pour obtenir ce résultat, on cherche une solution sous la forme f(t, x) = α(t)x. En utilisant l’équation (6.1.1), on voit que α vérifie une EDO :
avec la condition initiale α(0) = α0 > 1. Remarquons que la fonction constante égale à 1
est une solution de cette équation. Ainsi, par unicité, une solution α partant de α0 > 1
reste strictement supérieure à 1 et, en particulier, elle ne s’annule pas. En multipliant par −(1/α2) à gauche et à droite, on arrive à
˙ Ä1 α ä = α− 1. Ensuite on pose u = 1
α et l’équation vérifiée par u est
u
1− u˙u = 1. En intégrant cette équation, on obtient
ˆ t
0
u(s)
1− u(s)˙u(s) ds = t. Soit G(u) = u
1−u. On applique la formule de changement de variable pour obtenir
ˆ u(t)
u(0)
G(u) du = t.
Remarquons que la fonction G(u) = − log(1 − u) − u est une primitive de G. Ainsi, on a G(u(t)) = t + G(u(0)).
Il reste à inverser la fonction G. En utilisant la définition de la fonction de Lambert et après quelques calculs, cela nous mène à
u(t) = 1 + W Ç exp(−t) Ç 1 α0 − 1 å exp Ç 1 α0 − 1 åå et finalement, α(t) = 1 1 + WÄexp(−t)Ä1 α0 − 1 ä expÄα10 − 1ää.
Avec cette formule et comme W (0) = 0, on peut vérifier que la fonction f(t, x) = α(t)x est une solution forte de l’équation et que f(t, ·) −→
t→∞g.
• Exemple 2 : g(x) = 0.
Nous supposons maintenant que la fonction g est nulle. Dans ce cas la formule de Lax-Oleinik (voir le livre [7], section 7.2) va nous permettre d’expliciter la solution f. Nous donnerons deux exemples pour lesquels la solution f vérifie f(t, ·) −→ g quand t tend vers l’infini. À travers ces deux exemples, nous verrons que le mouvement de f(t, ·) vers g peut être conforme à l’intuition, au sens où il existe un flot φt tel que f(t, ·) = f0
Ä
φ−1t (·) ä
, mais aussi que cette relation peut ne pas être respectée.
Dans ce cas, l’équation de Hamilton-Jacobi devient :
∂tf +k∇xfk2f = 0, ∀ (t, x) ∈ (0, T ) × Rd, f (0, x) = f0(x), ∀ x ∈ Rd. (6.3.1) Cette situation ne correspond pas exactement au cadre présenté dans la section précédente car l’ouvert sur lequel les fonctions sont définies n’est pas borné. Ici, les
solutions doivent être recherchées dans l’espace BUC([0, T ] × Rd) des fonctions bornées
uniformément continues sur Rd. Dans cette espace, le principe de comparaison est valable
sous des hypothèses très générales (Théorème 5.2, [8]) et ce principe a encore de nombreuses conséquences. Dans la suite, on considérera comme acquis que pour toute fonction f0 ∈
BU C(Rd) il existe une unique solution de viscosité f ∈ BUC([0, T ] × Rd) pour le système
(6.3.1).
Comme précédemment, on peut effectuer le changement de variable w = (f − g)2 = f2
en prenant garde au signe de f.
Proposition 6.22. Soit f : R+⋆× Rd−→ R une solution de viscosité de
∂tf +k∇xfk2f = 0, ∀ (t, x) ∈ R+⋆× Rd.
On définit les fonctions wp et wm par
wp(t, x) = max{f(t, x), 0}2, wm(t, x) = − (min {f(t, x), 0})2
wp est solution de viscosité de l’équation
∂twp + k∇x
wpk2
2 = 0
et wm est solution de viscosité de l’équation
∂twm − k∇x
wmk2
2 = 0.
Preuve. Pour la partie positive wp on utilise à l’identique la méthode de la preuve de
la proposition 6.14. Pour la partie négative, on remarque que si f est une solution de viscosité de l’équation (6.3.1), il en est de même de la fonction −f (c’est une conséquence
du lemme 6.3). D’après ce que nous venons de voir pour la partie positive, on sait que la fonction wp(−f) telle que
wp(−f)(x) = max {−f(x), 0}2,
est solution de
∂tw + k∇ xwk2
2 = 0.
En utilisant à nouveau le lemme 6.3, on en déduit que la fonction −wp(−f) est solution
de l’équation
∂tw − k∇ xwk2
2 = 0.
Pour conclure, on remarque que −wp(−f) = − min {f, 0}2 = wm.
L’avantage de ce changement de variable est qu’on peut décrire précisément les solutions de ces deux dernières équations. Cette description est donnée par la formule de Lax-Oleinik, dont une preuve est donnée au début de la section 7.2 de [7].
Proposition 6.23. Soit w0 une fonction bornée et uniformément continue de R. Consi-
dérons l’équation ∂tw +k∇xwk 2 2 = 0, ∀ (t, x) ∈ (0, T ) × R d, w(0, x) = w0(x), ∀ x ∈ Rd.
L’unique solution de viscosité de cette équation est donnée par w(t, x) = inf y∈R ( w(0, y) + |x − y| 2 2t ) . (6.3.2)
Si on considère plutôt le problème
∂tw− k∇xwk 2 2 = 0, ∀ (t, x) ∈ (0, T ) × R d, w(0, x) = w0(x), ∀ x ∈ Rd.
alors l’unique solution est donnée par w(t, x) = sup y∈R ( w(0, y)− |x − y| 2 2t ) . (6.3.3)
Finalement, si on considère la première équation (6.3.1), on voit que la solution est donnée par
f = f++ f− = √wp−√−wm
où wp est donnée par la formule (6.3.2) avec wp(0,·) = Ä f0+ä2 et wm par la formule (6.3.3) avec wm(0,·) = − Ä f0− ä2 .
Si il existe au moins un x tel que f0(x) = 0, ces formules nous montre que la solution
de viscosité converge uniformément sur tout compact vers la fonction cible (la fonction nulle). De plus, pour certains choix de f0, on obtient une formule totalement explicite.
• Exemple 2.1 : g = 0 et f0(x) =|x|.
Dans cette situation, la solution reste toujours positive et on a f = f+ =√w où la
fonction w est donnée par
w(t, x) = inf y∈R ( w0(y) + |x − y| 2 2t ) .
avec w0(y) = y2. En utilisant cette formule et les conditions du premier ordre vérifiées par
tout minimiseur, on montre que
w(t, x) = x 2 1 + 2t, et finalement f (t, x) = √|x| 1 + 2t. (6.3.4)
f converge uniformément sur tout compact vers g = 0. De plus, on peut définir le flot de difféomorphismes φ(t, x) = √1 + 2t x (engendré par les champs de vecteurs v(t, x) = 1+2tx ) et on a
f (t, x) = f0◦ φ(t, x)−1.
• Exemple 2.2 : g = 0 et f0(x) = (1− |x|) 1[−1,1].
Ici encore, la solution reste positive et on a f = f+= √w où la fonction w est donnée
par w(t, x) = inf y∈R ( w0(y) + |x − y| 2 2t ) ,
avec w0 = (1− |x|)21[−1,1]. On peut montrer que la solution de ce problème de minimisation
est donnée par
w(t, x) = w0(x) Ç
1 2t + 1
å
On peut aussi utiliser cette expression et calculer ∂tw et ∇xw (sauf en x = 0) pour
constater que l’équation
∂tw + k∇x
wk2
2 = 0
est bien vérifiée. Ici, la fonction f est donnée par f (t, x) = (1− |x|) 1[−1,1]×
s
1
2t + 1. (6.3.5)
On retrouve bien la convergence de la solution vers g = 0, mais il est impossible de définir cette évolution comme le transport de la fonction f0 par un flot de difféomorphismes.