Chapitre 3 : Mesure multidimensionnelle de la pauvreté à Djibouti : application de l’approche
3.2 Cadre méthodologique
3.2.3 Robustesse des indices et Inférence statistique
Les indices de mesure de la pauvreté multidimensionnelle construits ci-dessus restent sensibles à plusieurs paramètres à savoir, le seuil d’indicateur (z) ; le seuil de pauvreté (k) et le poids de dimensions (w). En effet, la quête de précision des indices calculés sur la pauvreté multidimensionnelle, nous ramène à étudier la sensibilité de l’indice et à son inférence statistique sur l’ensemble de la population. Ainsi, pour un paramètre tel que k, on s’intéresse à la dominance des relations sous différentes niveau de k, pour appréhender soit une comparaison dimensionnelle entre les différentes dimensions considérées ; soit une comparaison spatiale entre les régions étudiées ; voir une comparaison dynamique (l’évolution de la pauvreté dans le temps). Pour se faire, nous avons recours à un outil mathématique, la dominance stochastique de premier ordre. Ceci nous permet de comparer des distributions entre elles. Les concepts de dominance stochastique sont utilisés dans différents domaines, en particulier en fiabilité pour comparer des fonctions de survie, et en théorie de la décision pour comparer les risques. Dans le domaine économique, la dominance stochastique a été utilisée par Atkinson (1970) pour comparer les fonctions de bien-être.
Tout jugement basé sur un seul seuil de pauvreté est susceptible d'être arbitraire, étant donné que le classement peut être inversé à un seuil alternatif. Cette difficulté particulière ne peut, cependant, être surmontée en faisant des comparaisons à différents seuils de pauvreté (Foster et Shorrocks 1988). Le principe de la dominance stochastique de premier ordre implique donc la comparaison des fonctions de distribution cumulative de l'indicateur de la pauvreté, pour chacune des valeurs de
k
. Ce qui fait intervenir dans l’analyse, des distributions continues. Pour formaliser, nous considérons donc deux fonctions de répartition dans un cadre de distributions continues, qu’on les note: F(x) ( ).La première distribution F(x) domine stochastiquement en premier ordre la seconde distribution G(x) si et seulement si :
( ) ( )
( ) ( )
b b
a
u x dF x
a
u x dG x
(3.19)
Cette définition signifie que la probabilité d’obtenir x est plus grande avec F(.) qu’avec G(.) quelle que soit la valeur dex.
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Afin de statuer sur une éventuelle dominance entre les distributions, nous effectuons par la suite une analyse graphique sur les différentes courbes de dominance de premier ordre générées sur l’indice estimé à différents seuils. Il suffit de vérifier si les courbes se croissent. Dans un intervalle donné
k k
1 2;
de seuil de pauvreté, la dominance est ambiguë si les courbes se croisent et donc des tests de dominance de second ordre sont nécessaires afin d'évaluer pleinement la robustesse de l’indice à travers le milieu géographique. Les tests de dominance de second ordre les plus communes sont les tests de Spearman et de Kendal.Ces tests permettent aussi de déterminer si les conclusions établies sur la pauvreté sont robustes à un changement de seuil. Néanmoins, l’analyse de la dominance pour tous les seuils de pauvreté possibles peut être une exigence trop rigoureuse. Alkire et Foster (2015) utilisent le test de dominance restreinte pour une comparaison par rapport à une variation limitée du seuil de la pauvreté.
L’analyse de la robustesse d’un indice mesuré sur un échantillon nous permet de fixer le seuil de la pauvreté qui convient au mieux de départager les pauvres et les non pauvres sur cet échantillon. Toutefois, il faudra déduire des conclusions sur la population globale. Ceci est le but d’étude de l’inférence statistique, en calculant une mesure de confiance des indices estimés sur l’échantillon.
Alkire et al. (2015) prônent que les erreurs type sont la clé pour les tests d'hypothèses et pour la construction des intervalles de confiance, afin de tirer des conclusions politiques. Ainsi, l’erreur type quantifie précisément la vraie moyenne de la population. Il prend en compte à la fois la valeur de l’écart-type et la taille de l'échantillon. Ainsi, nous calculons l’erreur type de l’incidence de la pauvreté multidimensionnel H, pour un échantillon aléatoire simple, soit :
( ; ) = 1
(3.20) Sachant que l’indicateur H, représente la proportion de personnes pauvres sur l’échantillon étudié, nous supposons que chacun des N observations sont indépendamment et identiquement distribuées. Dans ce cas, la valeur espérée de H sera
106
[ ( ; )] = 1 [ ] = =
(3.21)
Pour calculer l’écart-type de H nous devons d’abord calculer sa variance qui est égale à
[ − ]² = 1² ² = 1² L'estimateur sans biais de ² est alors
= 1− 1 [ − ] ~ (1 − )
(3.22)
Ainsi la variance estimée de H est : = Et finalement l’erreur-type de l’indice H n’est autre que la racine carrée de la variance estimée : ( ) = =
Le calcul des erreurs types pour les indices de la classe des mesures FGT ajustés M
suit la même procédure, sauf pour le cas de l’erreur type de l’intensité A. Nous serons amenés à calculer l’erreur type asymptotique car A est un ratio. = . En supposant une distribution normale33 des observations, avec une moyenne de 0 et un écart type de 1, on peut établir un
intervalle de confiance sur les indices estimés afin d'étendre les résultats à l'ensemble de la population. Par exemple, l’inférence de l’indice M0 sur l’ensemble de la population se calcule
comme suit :
− ⁄ ∗ ( ) ; + ⁄ ∗ ( )
Où ⁄ est la valeur critique avec un degré de confiance (95% ou 99% selon la précision
voulue).
33 Alkire (2015), par le théorème central limite, nous pouvons dire que la différence entre le paramètre de la population et la
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3.3 Construction d’un indice de pauvreté multidimensionnelle (IPM) pour Djibouti