Mesures axiomatiques

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Mesurer la pauvreté exige l’adoption au préalable d’un ensemble des propriétés, qui implique une conceptualisation de la pauvreté. Nous présentons dans cette section, les axiomes qui sous-tendent les mesures de la pauvreté et les indices qui en sont dérivées.

1.3.1.1 Les axiomes

Selon Foster (2006), les axiomes de mesure de la pauvreté peuvent être utilement regroupés sous trois catégories : les axiomes d’invariance, les axiomes de dominance12 _{et les}

axiomes dits de sous-groupes. Cette approche axiomatique de mesure de la pauvreté développée progressivement dans la littérature par Sen (1976), Foster, Greer et Thorbecke (1984), Shorrocks (1995), permet à l’utilisateur de mesurer la pauvreté en précisant la signification qu’il donne à la pauvreté et à son évolution. Dans tout ce qui suit nous utiliserons deux fonctions pour donner une illustration mathématique des 13_{notions utilisées.}

Soient les fonctions P (y ; z) et P (x ; z) mesurant les proportions de pauvres pour deux niveaux d’attribut x et y, et z constitue le seuil de pauvreté.

a. Les axiomes d’invariance

Axiome 1 La symétrie : la mesure de pauvreté est inchangée par une permutation des allocations initiales entre deux individus ; mathématiquement cela s’écrit :

P (y ; z) = P (x ; z)

Lorsque

y ∈ D

est dérivé de

x ∈ D

par une permutation.

D

désigne un domaine de définition d’un attribut d’une personne pauvre (par exemple, le revenu).

Axiome 2 l’invariance par réplication : La pauvreté mesurée sur la réunion de deux populations identiques est égale à la pauvreté dans chacune de ces populations séparément.

P (y ; z) = P (x

k

_{; z)}

Lorsque y est déduit de

x

par k- réplications.

12 _{Foster (2006) : La catégorie invariance comprend la symétrie, l’invariance de réplication, l’invariance à l’échelle}

et la continuité. Celle de dominance intègre des différentes versions de monotonicité, de transfert et la sensibilité du transfert

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Axiome 3 l’invariance à l’échelle : cette notion signifie tout simplement que la mesure de la pauvreté est homogène de degré 0 par rapport à

y, x

et

z.

C’est-à-dire que les attributs (les revenus)

y

et

x

évoluent au même facteur d’échelle que le seuil

z.

Axiome 4 la continuité :

P (y ; z) est

une fonction continue sur D pour tout

z,

autrement, l’indice de pauvreté doit varier continuellement avec l’attribut de la personne pauvre. La mesure de pauvreté ne doit pas être très sensible à une variation marginale du seuil de la pauvreté. Le cas contraire peut se traduire par le changement d’état de certains individus dépassant à peine le seuil et qui ne posséderaient pas les moyens nécessaires pour s’intégrer à la société.

b. Les axiomes de dominance

Axiome 5 la monotonicité : Sen (1976) « toute chose égale par ailleurs, la réduction du revenu d’une personne sous le seuil de la pauvreté doit augmenter la mesure de la pauvreté », c’est-à-dire que le niveau global de la pauvreté diminue ou augmente suite à une augmentation ou à une diminution d’un attribut d’une personne pauvre.

On parle d’une forte monotonicité lorsque

y ∈ D

14 _{est déduit de}

x∈ D

_{par une augmentation}

d’un attribut d’une personne pauvre toutes choses égales par ailleurs.

P (y ; z) < P (x ; z)

Alors qu’il y a une faible monotonicité lorsque

y ∈ D

est déduit de

x ∈ D

par une diminution d’un attribut d’une personne pauvre toute choses égales par ailleurs.

P (y ; z) > P (x ; z)

Axiome 6 le transfert15_{: Sen (1976) “ toute chose égale par ailleurs, un transfert net de}

revenu d’une personne sous le seuil de la pauvreté vers d’autres personnes plus riches doit augmenter la mesure de la pauvreté “ ; cette propriété nous montre que la mesure de la pauvreté doit accorder un poids plus important au plus pauvre dans la mesure où l’auteur insiste sur la priorité des personnes qui se trouvent dans une situation de pauvreté plus grave qui va engendrer une modification de la répartition du revenu.

14_{D désigne un domaine de définition d’un attribut d’une personne pauvre (par exemple, le revenu)} 15 _{Cet axiome repose sur les principes de transferts de Pigou-Dalton dans la mesure de l’inégalité.}

20 Axiome 7 la sensibilité du transfert :

P (y ; z) > P (x ; z)

Lorsque

y ∈ D

est déduit de

x∈ D

par un transfert composite : un transfert progressif de revenu

δ

> 0 de

y

i à

y

j et un transfert régressif ρ > 0 de

y

k à

y

1

c. Les axiomes de sous-groupe

Axiome 8 la décomposabilité : la décomposabilité s’applique à des sous-groupes des pauvres, sa mesure permettra d’évaluer la contribution de chaque groupe de la population à la pauvreté globale.

Pour

y = (y’, y’’)∈ D avec n(y) = n (y’) + n (y’’) et

P (y; z) =

( ) _{( )}

( ; ) +

( )_{( )}

( ; )

Chakravarty et al (1998) ont proposé une décomposabilité par attribut pour savoir sur quel attribut doit-on mettre l’effort pour subvenir à un sous-groupe de population pauvre dans le cadre des politiques de lutte contre la pauvreté.

Axiome 9 la cohérence : elle constitue une cohérence entre les évolutions de la pauvreté dans un sous-groupe et la population totale. Autrement, si un sous-groupe faisant partie de la population totale devient plus pauvre alors la population devient également pauvre.

P (y ; z) > P (x ; z)

Lorsque

y = (y’, y’’)∈ D

est dérivé de

x = (x’, x’’) ∈ D

avec

n(y) = n (y’) + n (y’’)

et

P (y’ ; z)

<

P (x’ ; z),P (y’’ ; z)

<

P (x’’ ; z)

1.3.1.2 Les mesures élémentaires

Les mesures élémentaires de la pauvreté sont des indicateurs synthétiques qui permettent d’agréger les situations individuelles de la pauvreté. Nous présentons dans ce paragraphe que les principaux indices élémentaires d’agrégation de la pauvreté qui ont été proposées dans la littérature économique.

21 a. L’incidence de la pauvreté

L’incidence est le premier indice envisageable quand on veut mesurer la pauvreté d’une population donnée. Un indice simple à calculer, il sert à évaluer la fréquence ou l’étendue de la pauvreté, c’est la proportion des personnes pauvres dans l’ensemble de la population étudiée.

On retient les éléments suivant pour le calcul de l’indice :  n : nombre total des personnes

 q : nombre des personnes pauvres

 yi : le revenu de la personne pour le ménage i

 z : le seuil de la pauvreté retenu

Par sa signification en anglais (headcount ratio), l’indice est noté par H.

( , ) =

(1.1)

C’est le rapport du nombre des personnes pauvres par rapport au nombre total des personnes (la population). La limite inférieure de cet indice est égale à 0, c’est- à-dire quand (q = 0), il n’y a pas des personnes pauvres dans la population étudiée. Et atteint sa limite supérieure (q = 1) lorsque toute la population est pauvre. Cependant, l’indice H ne tient pas compte de l’intensité de la pauvreté c’est-à-dire sur l’écart des personnes pauvres par rapport au seuil de pauvreté, par conséquent le gouvernement qui se base exclusivement sur cette indice pour lutter contre la pauvreté ne pourra pas cibler en premier lieu les personnes les plus pauvres. Sen (1984) ajoute que l’indice ne satisfait pas le principe de transfert du revenu entre les personnes pauvres et les personnes riches.

b. L’intensité de la pauvreté :

L’intensité de la pauvreté “poverty gap ratio“ ou “income gap ratio“ en anglais, c’est un indice qui permet d’apprécier à quel point le niveau de vie de la population pauvres est éloigné du seuil de la pauvreté. Ainsi, on détermine cette différence entre le seuil de la pauvreté et le revenu qui détermine dans cette analyse le niveau de vie de personnes. Cette différence sera notée dans tout ce qui suit

g

i

= (z - y

i

) /z.

L’intensité de la pauvreté notée par I, est la moyenne de cet écart au seuil de pauvreté :

22

( , ) = ∑

(1.2)

( , ) =

∑ ( − )

(1.3)

( , ) 1

p

( , )

I y z

 

y z

(1.4)

où



_p

( , )y z

est le revenu moyen des pauvres.

Contrairement à l’indice H, l’indice I augmente si le niveau de vie d’une personne pauvre diminue car cela fait augmenter l’écart moyen au seuil. La critique portée sur cet indice, est qu’il est insensible au nombre des pauvres mais aussi au transfert, du moment que le transfert entre les pauvres ne permet pas à faire sortir certaines personnes de la pauvreté. La formule nous donne aussi le prix pour éradiquer la pauvreté dans un pays donné qui est de

( , )

c’est-à-dire la quantité théorique des transferts de liquidités destinés aux personnes pauvres pour leur permettre de sortir de la pauvreté.

c. Les écarts moyens au seuil de la pauvreté

Sen (1976) décrit deux étapes principales pour mesurer la pauvreté dans un cadre unidimensionnel, l’identification des individus pauvres dans la population totale et l’agrégation qui consiste à construire une mesure numérique synthétique. En suivant le concept de Sen et afin d’identifier les pauvres dans un cadre unidimensionnel, Alkire et Foster (2011) proposent le calcul d’un ensemble des paramètres inspirés de la traditionnelle mesure unidimensionnelle de Foster Greer and Thorbecke (FGT) qui sera développée dans le paragraphe suivant.

Considérons d’abord les vecteurs suivants à partir d’une seule dimension, le revenu

y

et un seuil de pauvreté

z

correspondant au niveau minimum sous lequel une personne est considérée pauvre, ce seuil est souvent supposé être absolu.

23

 Le vecteur

g

o (vecteur de privation) remplace chaque revenu en dessous du seuil par 1 et par 0 chaque revenu au-dessus du seuil.

 Le vecteur

g

1 (vecteur d’écart moyen) remplace chaque revenu des pauvres

y

i par l’écart :

(z – y

i

) /z

et assigne 0 dans le reste.

 Le vecteur

g

2 (vecteur d’écart quadratique) remplace chaque revenu des pauvres par l’écart moyen quadratique

[(z – y

i

) /z]

2et assigne 0 dans le reste.

Alors tout simplement le taux de la pauvreté à calculer sera mesuré par le paramètre.

P

o

= µ(g

o

)

qui n’est autre que la moyenne du vecteur de privation, cela revient à diviser le nombre des personnes pauvres par le nombre total des personnes. Ce paramètre ne respectant pas le principe de la “monotonicité“ indiqué ci-dessus dans la mesure quand le nombre de privation augmente pour une personne l’indice

P

o ne change pas, ou autrement quand le niveau de ressources d’une personne baisse le taux de la pauvreté n’évolue pas dans le même sens. C'est-à-dire qu’il ne tient pas compte de la décomposition, pour cela nous aurons besoin d’autres mesures.

Le paramètre

P

1 =

µ(g

1

)

mesure l’intensité ou la profondeur moyenne de la pauvreté à travers la population étudiée dans son ensemble. Cette mesure permet de pallier le critique de la mesure précédente, car si le nombre de privation augmente pour une personne pauvre alors

P

1 augmente aussi. Néanmoins, cet indice ne répond pas au principe de « transfert » c’est-à-dire si deux niveaux de ressources pauvres sont rapprochés par un progressif transfert entre eux, alors la pauvreté devrait diminuer. L’indice qui satisfait les deux principes de “monoticité“ et de “transfert“ est

P

2 =

µ(g

2

) ;

en outre, il met en relief l’inégalité entre les pauvres.

24 1.3.1.3 Les indices axiomatiques

a. L’indice de Foster Greer et Thorbecke (FGT)

L’indice FGT est composé d’une classe des mesures de la pauvreté décomposable ; il est basé sur l'écart moyen

g

i

= (z - y

i

) / z

d'une personne pauvre i, qui est l'insuffisance des recettes exprimées en pourcentage par rapport au seuil de pauvreté. Cet indice, introduit par Foster-Greer et Thorbeck en 1984, est représentée par la formule suivante :

( , ) = 1

(

−

)

> 0

(1.5)

Où

z

est le seuil de pauvreté

y

i est le revenu du iième personne, n est la population total,

q

le nombre des personnes identifiées pauvre. La limite inférieure de la mesure FGT est égale à 0, cela signifie qu’il y a aucune personne en dessous du seuil de la pauvreté. Autrement, quand tous les revenus sont égaux au seuil, les écarts moyens sont tous nuls. La limite supérieure de la mesure FGT est donc égale à H (l’incidence de la pauvreté), car si tous les revenus des personnes pauvres est nul (extrême pauvreté) les écarts moyens

= 1 et

il ne reste que l’incidence de la pauvreté H.

L’indice FGT satisfait le principe d’invariance à l’échelle, car si tous les revenus et le seuil possèdent le même facteur d’échelle, les écarts moyens restent inchangés. FGT satisfait aussi le principe de transfert, sa valeur diminue avec les transferts progressifs et augmente avec les transferts régressifs. Par contre, l’indice FGT n’est pas invariant à la translation.

La procédure du calcul de FGT consiste à trier dans une première étape la distribution du revenu de la population étudiée par niveau de revenu, ensuite définir le seuil de pauvreté et enfin choisir le niveau de

α

selon l’aversion au pauvreté. La notion d’aversion à la pauvreté est représentée ici par le terme

α

qui signifie l’élasticité de la pauvreté d’un individu à l’égard de l’écart normalisé

g

i

= (z - y

i

) / z

, de sorte qu’une augmentation de 1% de cet écart d’une personne pauvre entraine une augmentation de

α

% dans le niveau de la pauvreté de l’individu. Si

α

= 0, le calcul du FGT renvoie tout simplement à l’incidence ou au ratio de la pauvreté

25

= =H

(1.6)

Pour un α= 1 on se référant toujours à l’écart moyen afin de distinguer les pauvres et les non pauvres, la mesure de la pauvreté moyenne devient :

= ( ) =

(1.7)

est l’écart moyen ou le produit de l’incidence et de l’intensité de la pauvreté. Mais, les travaux empiriques effectuent souvent un

α

= 2 pour mesurer la dispersion du revenu entre les personnes pauvres, qui tient compte du poids de l’écart moyen représenté par l’indice :

=

( )

(1.8)

Sen16 _{a fait valoir que la pauvreté devrait comporter un volet privation absolue (telle}

que représentée par l'écart moyen

g

i ; et une composante de la privation relative (donnée par le poids). Par conséquent, on pourrait faire valoir que est également composé d'éléments absolus et relatifs.

= [ (1 − )

]

(1.9)

Où est le carré du coefficient de variation chez les pauvres (une mesure de l'inégalité décomposable de la classe d'entropie généralisée). Lorsque H et I sont maintenus constants, varie en fonction de selon cette expression. Cette formule intuitive et les autres justifications en parallèle de Sen ont contribué à l'interprétation de la nouvelle mesure et lui ont donné une certaine crédibilité. Cependant, les propriétés vérifiées par et le reste

16 _{The Foster-Greer-Thorbecke Poverty Measures: par James Foster (2010), The George Washington University}

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de la classe FGT qui le distinguent de son prédécesseur et lui ont donné une plus large applicabilité.

Quand

α→ ∞,

l’indice FGT ne prend en compte que les très faibles revenus de ce fait, le paramètre

α ≥ 0

joue le rôle d’aversion à la pauvreté. Plus

α

est élevé, plus l’aversion à la pauvreté est grande. La dernière étape consiste à définir la différence entre le seuil de pauvreté et le revenu de chaque individu pauvre, puis à diviser par le seuil et de l’élever à la puissance

α

et donner le total.

La classe de mesure FGT a connu un impressionnant développement depuis son introduction dans la mesure de la pauvreté. Ainsi, une approche de dominance de la pauvreté a été élaborée par Foster et Shorrocks (1988a,b) pour comprendre quand les comparaisons dans la pauvreté vont de même sur une gamme de seuils de pauvreté établis. D’ailleurs, dans le cadre multidimensionnel, Chakravarty, Mukherjee, et Ranade (1998) proposent une extension multidimensionnelle de la classe FGT et spécifient un ensemble d'axiomes appropriés. Il s’en suit qu’Alkire et Foster (2007) présentent une méthodologie compréhensive qui combine une nouvelle méthode d’identification des pauvres (double seuils) et une extension multidimensionnelle de la FGT.

b. La mesure S de Sen

Sen (1976) a intégré deux indices simples de la pauvreté, le taux de pauvreté et l’écart de pauvreté, au sein d’un nouvel indice de pauvreté S dont l’expression est la suivante :

S =

[

+ (1 −

) ]

(1.10)

S =

[ 1 − + 1 − 1 +

]

(1.11)

S =

[ 1 − + (1 − )]

(1.12)

Sen le décrit comme la combinaison de trois caractéristiques :  Le taux de pauvreté HC ;

27

 Le coefficient de Gini GP, une mesure de la distribution des revenus entre individus

pauvres. Du fait de cette propriété, on dit que l’indice de Sen comprend les trois « I » de la pauvreté : Incidence, Intensité et Inégalité. Il faut plusieurs éléments pour le calculer sous sa forme à l'extrême droite de [1] : a) le taux de pauvreté, b) le ratio entre le revenu moyen des personnes pauvres et le seuil de pauvreté (qui fait partie de l’indicateur d’écart de pauvreté), c) l’indice de Gini des revenus des personnes pauvres, à mesurer en ne tenant compte que de la distribution des revenus au sein de la population pauvre.

c. L’indice de Kakwani

Kakwani (1980) généralise l’indice de Sen et montre qu’on peut réécrire l’indice de Sen sous la forme suivante :

=

_{( + 1)} 2

( − )( + 1 − i)

(1.13)

Les symboles ont la signification habituelle. On peut interpréter le dernier terme comme le coefficient de pondération de l’écart de pauvreté. Où i est la position de l’individu dans la distribution donnée des revenus. Pour chaque individu i sous le seuil de pauvreté, il existe exactement P+1-i individus dont le niveau de revenu est au moins aussi élevé que celui du ième _individu.

En général l’indice de Kakwani (KA) prend la forme suivante :

=

_∑

( − )( + 1 − )

(1.14)

d. L’indice de Thon

L’indice de Thon (1983) suit la même logique que l’indice de Kakwani. En ce sens, il est lui aussi dérivé de l'indice de Sen. La principale différence tient à ce que le coefficient de pondération de l'écart de pauvreté est mesuré ici en tenant compte du nombre total d’individus et non simplement du nombre d’individus pauvres. En d’autres termes, au lieu

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d’avoir

(P+1-i)

, l’indice de Thon pose l’hypothèse que

(N+1-i).

La normalisation de cet indice peut donner :

TH = −_{( + 1)} 2

( − )( + 1 − i)

(1.15)

Où les symboles ont la signification habituelle. La principale différence avec l’indice de Sen est que l’indice de Thon tient compte du nombre total d’individus

N

au lieu du nombre d’individus pauvres

P

.

Dans le document Analyse multidimensionnelle de la pauvreté : le cas de Djibouti (Page 33-44)