Estimation des paramètres diélectriques et inversion des données
5.2 Retournement du temps
5.2 Retournement du temps
5.2.1 Principe
Nous constatons chaque jour l'irréversibilité du temps, "une vague se brise sur des rochers et devient écume...". L'idée que la vague puisse se reformer à partir de toutes ces gouttelettes est contraire à l'expérience de chacun (Tourin et al., 2000).
Pour un système de particules isolées, ce phénomène est tout à fait irréversible. Dans le cas d'une explosion par exemple, il faudrait connaître la dynamique du système de particules (po-sitions et vitesses) avec une in nie précision sur une surface fermée autour de la source, et les particules seraient renvoyées avec une vitesse de même module mais d'orientation opposée.
En physique des ondes, une quantité nie d'informations permet de décrire complètement un champ ondulatoire. En eet, les uctuations les plus rapides sont de l'ordre des plus petites longueurs d'ondes du rayonnement émis. Un échantillonnage d'une demi longueur d'onde sur une telle surface ré échissante est su sant.
En pratique, la réalisation d'une cavité fermée à retournement temporel est di cile, c'est pourquoi on se restreint à une portion de cette surface : miroir à retournement temporel (MRT) (Fink et al..)
Considérons les équations de Maxwell dans un milieu sans source (ni électrique ni magnétique, σe= 0 et σm = 0), les éq. 1.10 et 1.12 deviennent : ~ rot ~E + ∂ ~B ∂t = ~0 (5.31) ~ rot ~H − ∂ ~∂tD = ~0 (5.32)
En dérivant ces équations par rapport au temps et en considérant des milieux isotropes linéaires, en introduisant les éq. 1.22 et 1.23 pour des milieux non dispersifs, ǫ et µ sont des scalaires, nous obtenons : ~ rot∂ ∂t à ~D ǫ ! +∂ 2B~ ∂t2 = ~0 (5.33) ~ rot∂ ∂t à ~B µ ! −∂ 2D~ ∂t2 = ~0 (5.34)
Si nous insérons les éq. 5.31 et 5.32, nous obtenons nalement que les champs électriques et magnétiques sont alors solutions des deux équations ci-dessous :
~ rotµ 1 ǫrot ~~ H ¶ + ∂ 2 ∂t2 ³ µ ~H´= ~0 (5.35)
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Ces équations sont invariantes par renversement du temps car elles ne font intervenir que des dérivées temporelles du deuxième ordre. En présence d'un milieu dissipatif, la présence de dérivées d'ordre un briserait l'invariance. Ce principe reste vrai quelle que soit la complexité du trajet : ré exions, transmissions, diractions...
Des expériences de retournement temporel ont ainsi été menées avec des ondes acoustiques à travers une forêt de tiges métalliques qui sont autant de points diractants (Tourin et al., 2000). La focalisation obtenue est même meilleure en présence d'un milieu fortement hétérogène qu'un milieu homogène.
5.2.2 Modélisation
Nous avons modélisé en 2D (mode TEz) une onde qui est émise à partir d'une source ponc-tuelle. Cette propagation est illustrée par la g. 5.12. L'onde rencontre une interface puis la partie qui a traversé va continuer de se propager jusqu'à atteindre puis dépasser une ligne de récepteurs (MRT symbolisé par des cercles).
La deuxième étape va consister à transformer les récepteurs précédents en sources ponctuelles qui vont émettre le signal qu'elles ont enregistré mais en sens inverse : nous eectuons ainsi un retournement temporel sur l'onde. Il est important de noter que l'on utilise le même code de modélisation pour propager et rétro-propager l'onde.
La g. 5.13 illustre les diérentes étapes de la "rétro-propagation". Nous avons représenté l'énergie dans chaque cellule. Le front d'onde d'origine se reforme et se focalise sur le point source initial. Évidemment, le même front d'onde est créé de part et d'autre de la ligne de récepteurs. De plus, comme on se place dans un milieu ouvert, seule une partie de l'énergie émise initialement a atteint les récepteurs et lors du retour, seule une fraction de cette énergie va retourner au point source initial.
Pour qu'un front d'onde cohérent se reforme lorsque les récepteurs deviennent sources, il faut que le milieu soit le même que celui qui a servi lors de la propagation initiale. Sinon, au lieu d'être constructives, les interférences entre les diérentes sources sont destructives et le front d'onde disparaît.
La géométrie d'acquisition utilisé ici serait techniquement réalisable : par exemple, nous pou-vons mettre la source dans un puits de forage et enregistrer le champ électrique en surface avec une antenne de surface. De même que dans le modèle présenté nous n'avons pas utilisé des récep-teurs continus, une acquisition su samment serrée su rait. On pourrait alors développer une technique d'inversion progressive qui réajusterait les propriétés du modèle au fur et à mesure que le front d'onde se propage : un mauvais modèle détruisant rapidement le front d'onde. Une application serait d'atténuer les eets de la diraction multiple (Leparoux, 1997) de l'onde dans des milieux fortement hétérogènes en utilisant un MRT.
Nous observons sur la g. 5.14 qu'un plus grand nombre de capteurs, donc une plus grande longueur du miroir à retournement temporel permet de mieux focaliser l'énergie sur la source initiale. En eet, la longueur du front d'onde reconstitué est plus grande à l'origine, et l'eet de bord dû aux extrémités du miroir est atténué.
5.2. Retournement du temps
Chapitre 5. Estimation des paramètres diélectriques et inversion des données
5.2. Retournement du temps
Fig. 5.14 Focalisation avec 8,16 et 24 capteurs dans un milieu homogène
Fig. 5.15 Rétro-propagation en présence d'une interface
Nous avons répété l'opération de retournement du temps en présence d'une interface, et nous observons que la focalisation est meilleure que dans un milieu homogène. Cela s'explique par le fait que l'interface tient le même rôle qu'une lentille convergente en optique.
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