Les équations de Maxwell
1.5 Les milieux dispersifs
1.5 Les milieux dispersifs
1.5.1 Les mécanismes de polarisation
Parmi les mécanismes de polarisation couramment évoqués, voici en résumé les principaux :
la polarisation électronique due à la distorsion du nuage électronique par rapport à son noyau,
la polarisation ionique due au déplacement des ions à l'intérieur d'un réseau cristallin, la polarisation dipolaire due aux moments dipolaires permanents de certaines molécules, la polarisation interfaciale due à des mouvements d'ensemble de particules chargées dont le
déplacement est bloqué : elles s'accumulent alors sur des interfaces et elles ne participent pas à la conductivité électrique.
Ces diérents phénomènes n'ont pas les mêmes temps de relaxation. Si la variation du champ électrique est beaucoup plus rapide que le temps de relaxation de ce phénomène alors ce dernier ne contribue pas à la susceptibilité totale. Au contraire, les eets de tous les phénomènes dont la fréquence de relaxation est supérieure à celle du champ ~Evont s'additionner, et si cette fréquence est très largement supérieure ils vont contribuer de manière quasiment instantanée à la partie réelle de la permittivité ǫ∞.
On peut donc écrire la permittivité d'un milieu matériel diélectrique sous la forme suivante :
ǫ(ω) = ǫ∞+ ǫ0X α
χα(ω) (1.70)
Avec α, l'indexe des diérents mécanismes et où χα peut-être complexe (Jonscher, 1977). Aux fréquences utilisées en géoradar (10 MHz à 1 GHz), et en l'absence de molécules dipo-laires, ce sont les polarisations ioniques et électroniques qui contrôlent la permittivité. Dans ce cas c'est la composition minéralogique du matériau qui détermine la valeur de ǫ. En présence d'eau, la valeur de la permittivité est fortement perturbée. En eet, c'est un milieu dipolaire dont la fréquence de relaxation est proche des fréquences radar (20 GHz) et sa permittivité est donc très grande (ǫ = 81ǫ0) aux fréquences radar.
Les fréquences de relaxation des polarisations interfaciales étant inférieures à 100 kHz, ces phénomènes n'ont pas d'incidence aux fréquences radar.
1.5.2 Les mécanismes de la conductivité
Elle caractérise les mouvements des charges libres que l'on peut scinder en 2 catégories pour les milieux géologiques :
Chapitre 1. Les équations de Maxwell
1.5.3 Expression générale de ǫe
On a vu que dans le cas général, la permittivité diélectrique eective ǫe s'écrit :
ǫ′e− iǫ”e= µ ǫ′+σ” ω ¶ − i µ ǫ” +σ′ ω ¶ (1.71)
Si on suppose σ” = 0 et que σ(ω) = σDC+ σf(ω). On va considérer que la contribution de σf(ω)est incluse dans χe(ω)et on obtient donc :
ǫe(ω) = ǫ0χe(ω) + ǫ∞− iσDCω (1.72)
Cette expression est commune aux diérents modèles présentés et les diérents paramètres sont :
ǫ∞ [F/m] présentée au 1.5.1,
σDC [S/m] est la conductivité électrique à fréquence nulle,
χeest la susceptibilité eective qui traduit l'eet des mécanismes de polarisation en fonction de la fréquence.
1.5.4 Modèles de propriétés dispersives
Pour décrire la dépendance en fréquence de ǫe, on utilisera un modèle qui suit les observations publiées par Jonscher (Jonscher, 1977). Il a observé pour un grand nombre de solides et sur une large bande de fréquence un comportement fréquentiel qu'il a quali é de 'réponse diélectrique universelle'. Il inclut la contribution de σ dans χe. Il a observé les comportements suivants :
χ′e et χ′′e ∝ ωn−1 (1.73)
σe′ ∝ ωn (1.74)
Avec 0 < n < 1. Il a alors proposé le modèle suivant : χ′′e χ′ e = 1 Qχ = cot ³nπ 2 ´ (1.75)
Or, la relation atténuation-fréquence étant connue, on peut en déduire la vitesse dans ce milieu dispersif via la transformée de Hilbert en utilisant la relation (Aki et Richards, 1980) :
1 c(ω) = 1 c∞ + H µ α(ω) ω ¶ (1.76)
Où c∞ est la vitesse quand ω → ∞.
Parallèlement, cette propriété de facteur de qualité constant a été observé également pour les ondes sismiques. L'énergie perdue par longueur d'onde était constante quelque soit la fréquence. (Kjartansson, 1979) a alors montré qu'on pouvait calculer la fonction de transfert d'un pulse dans un milieu à Q constant en utilisant seulement 2 paramètres (Q, M0). Dans ce milieu, la largeur du pulse est directement proportionnelle au temps de parcours de l'onde.
Turner et Siggins ont alors proposé d'utiliser un facteur Q∗ = 2c1 △ω△α obtenu à partir de la pente du coe cient d'atténuation α dans la bande de fréquence (utilisée aux fréquences radar) 24
1.5. Les milieux dispersifs
où α varie linéairement (Turner et Siggins, 1994). Ils montrent que cette approche est en bonne adéquation avec les mesures en laboratoire. On peut même l'appliquer avec une bonne précision (à un coe cient d'amplitude près) pour une onde se propageant dans l'eau en utilisant Q∗ = 14 alors qu'on sait que les propriétés diélectriques de l'eau sont en très bon accord (Hasted, 1973) avec le modèle de Debye (Debye, 1945) et que ce modèle ne suit pas du tout un facteur de qualité Q constant !
Dans un tel milieu à Q∗ constant, le coe cient d'atténuation α s'écrit :
α = α0+ ω
2cQ∗ (1.77) Dans un tel milieu, on a :
limω→∞Q = Q∗
D'autre part, un milieu où α0 = 0revient à Q = Q∗. En utilisant cette propriété de facteur de qualité Q constant sur une bande de fréquence, Bano a proposé un modèle de permittivité diélectrique ǫ(ω) avec des pertes diélectriques constantes à toutes les fréquences (Bano, 1996) :
ǫ(ω) = ǫr µ iω ωr ¶n−1 (1.78)
Avec ǫr= ǫref erence et ωr= ωref erence.
Il démontre également que l'ajout d'un terme réel constant ǫ∞ donne une relation de disper-sion identique à celle trouvée par Kjartansson :
1 V (ω) = 1 V0 · 1 −πQ1 c lnµ ω ωr ¶¸ (1.79)
Où Qcest constant et relié au modèle à Q constant sans ǫ∞.
Hollender et Tillard ont validé l'emploi d'un modèle à 3 paramètres (ǫ∞,Q,χr) où on néglige l'eet de σDC aux fréquences radar (la contribution restante étant incluse dans χ′′
e)
(Hollender et Tillard, 1998). Pour les milieux rencontrés lors de la prospection avec le géoradar, ils utilisent la loi de dispersion suivante qui englobe tous les modèles précédents :
ǫe(ω) = ǫ0 χrµ ω ωr
¶n−1h
1 − i cot³nπ2 ´i+ ǫ∞ (1.80) Le terme ǫ∞ la valeur asymptotique de ǫ aux très hautes fréquences. Il inclut les mécanismes de polarisation dont la réponse à l'application d'un champ électrique est quasi immédiate. Pour les fréquences radar (f < 1 GHz) les réponses des polarisations atomiques et électriques sont synchrones avec le champ et χ(ω) englobe la somme des susceptibilités associées à tous les mé-canismes dont la réponse n'est pas instantanée aux fréquences utilisées.
Chapitre 1. Les équations de Maxwell
plus de paramètres à dé nir : modèle de Cole-Cole (5 paramètres), modèle de Debye généralisé couplé avec un modèle de Kelvin-Voigt (Carcione, 1996) (4 paramètres minimum).
Nous avons choisi d'utiliser le modèle de Jonscher à 3 paramètres puisqu'il donne des résultats en bon accord avec les mesures et qu'on dispose d'une quantité appréciable de mesures sur des échantillons de roches (Hollender, 1999). L'avantage de ce modèle est que pour un matériau donné, ces 3 paramètres sont valables dans toute la bande de fréquence utilisable avec le géoradar (10 MHz à 1GHz), alors qu'avec un modèle à 2 paramètres, on décrit le comportement observé sur bande de fréquence plus étroite autour d'une fréquence centrale.
1.5.5 Réponses temporelles et fréquentielles des modèles
La modélisation des signaux radars sera eectuée en domaine temporel (diérences nies) et en domaine fréquentiel. Il nous faut donc connaître l'expression des fonctions causales χe(t) et de χe(ω)pour les diérents modèles de propriétés dispersives.
Modèle de type Debye En domaine fréquentiel :
ǫ(ω) = ǫ∞+ ǫs− ǫ∞
1 + iωt0 − iσω (1.81)
= ǫ∞+ ǫ0χe(ω) − iσω (1.82)
On notera qu'on a inclu le coe cient ǫ0 dans χ. En domaine temporel, la susceptibilité électrique s'écrit : χe(t) = 1 ǫ0 ǫs− ǫ∞ t0 e −t t0u(t) (1.83)
Où u(t) est la fonction seuil.
Modèle de type Jonscher En domaine fréquentiel : ǫ(ω) = ǫ∞+ ǫ0χr µ iω ωr ¶q−1 − iσω (1.84) = ǫ∞+ ǫ0χe(ω) − iσω (1.85) En domaine temporel : χe(t) = χr Γ(1 − q)t0 µ t t0 ¶−q = ˜χrµ t t0 ¶−q (1.86) Avec 0 < q < 1 : q = 2 π ArctgQχ (1.87)
Voir l'annexe A pour le détail du calcul. 26
1.5. Les milieux dispersifs
Modèle de Cole-Davidson
Cette généralisation du modèle de Debye s'écrit, en domaine fréquentiel, avec 0 < β < 1 :
χe(ω) = 1 ǫ0
ǫs− ǫ∞
(1 + iωt0)β (1.88)
En domaine temporel, pour t>0 :
χe(t) = ǫs− ǫ∞ ǫ0t0Γ(β) µ t t0 ¶β−1 e−t0t (1.89) Modèle de Cole-Cole
Ce modèle est reconnu pour présenter une bonne corrélation avec les mesures s'exprime comme suit, pour 0 < α < 1 :
χe(ω) = 1 ǫ0
ǫs− ǫ∞
1 + (iωt0)1−α (1.90)
Ce modèle n'a cependant pas d'expression temporelle simple !
1.5.6 Paramètres de quelques matériaux
Voici pour quelques matériaux géologiques les 3 paramètres du modèle de Jonscher et un terme de conductivité constant, ajustés sur les mesures de ǫe à 3 fréquences : 20, 60 et 200 MHz (Hollender, 1999). Ces 3 mesures sur chaque échantillon des parties réelles et imaginaires de ǫe nous permettent d'ajuster les 4 paramètres en utilisant un algorithme de minimisation d'erreur. Nous avons utilisé la méthode simplex pour minimiser la fonction erreur à 4 variables Ferreur(ǫ∞,χr,q,σ) : Ferreur(ǫ∞, χr, q, σ) =X mes ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ǫ∞+ ǫ0χr µ iωmes ωr ¶q−1 − iωσ mes − ǫmes ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 (1.91) Milieu ǫe(20 M Hz) ǫe(60 M Hz) ǫe(200 M Hz) ǫ∞ χr q σ(S/m)
granite 6.2-0.3i 6.2-0.15i 6-0.1i 5.00 1.10 0.938 0.00019
calcaire 20-6.1i 19-2.7i 18-2.7i 1.2e-6 18.5 0.945 0.0048
schiste 31-18i 23-8.6i 20-7.2i 10.2 13.6 0.662 0.0064
Nous avons utilisé pour tous les matériaux, une fréquence de référence : ωr/2π= 100 MHz. La convergence est très rapide, et des algorithmes plus simples (utilisation de gradients) peuvent être utilisés.
Nous présentons la variation en fréquence de la permittivité diélectrique ǫ et les propriétés (vitesse, atténuation, facteur de qualité) qui en résultent pour ces 3 milieux : granite ( g. 1.6), calcaire ( g. 1.7), schiste ( g. 1.8).
Chapitre 1. Les équations de Maxwell