4.3 L'approche markovienne
4.3.2 Restauration markovienne
Nous proposons d'exprimer la qualite d'une solution trouvee comme la somme de deux termes. L'un mesurera la capacite de la surface obtenue a fournir une in- tensite proche de celle observee dans l'image. Ce terme est appele terme d'attache aux donnees dans la litterature des champs markoviens. L'autre mesurera la qualite de continuite de la surface. Ce terme est appele terme de regularisation. Ces deux termes s'exprimeront comme des energies et l'on cherchera a minimiser l'energie globale par une technique de modi cation iterative de la solution. A n de resoudre ce dicile probleme d'optimisation, nous nous placerons dans l'hypothese marko- vienne : l'energie en un point ne depend que d'un petit voisinage autour de ce point, et l'energie globale est la somme des energies en un point.
L'energie en un pixel a la ki
eme iteration peut alors s'ecrire:
U (k)( x) =U (k) I (x) +U (k) v (x): (4.20)
avec un parametre de ponderation entre U (k)
v l'energie de regularisation et U (k)
I
l'energie d'attachement aux donnees.
U (k)
I est egale a:
1:24 Modeles Numeriques de Terrain de region du continent americain (Honolulu, etats du Colorado, de Californie, de Virginie, etc) ont ete recuperes via ftp du site //spec- trum.xeros.com/pub/map/dem/. Leur resolution au sol est de 30 metres30 metres, la precision est de 1 metre sur l'altitude. La surface de ces regions cartographiees tourne autour de 144 km2, ce qui represente 160.000 points sur le MNT
a b
Fig. 4.3 { Histogrammes des di erences d'altitude inter-pixel determinees suivant
l'axe en site (;;) et suivant l'axe en azimut ( ::: ), en a: a partir du MNT de la
region d'Aix en Provence (France), et en b: a partir de la carte d'altitude (Fig 4.2) obtenue par simple approximation sur l'angle azimutal.
Fig.4.4 { Ecart type des di erences d'altitude estimees pour divers modeles nume-
U (k) I (x) = 8 > > > > < > > > > : 2 si jI(x);I( ; k; k)j I( ;0;0) > jI(x);I( ; k; k)j I( ;0;0) 2 sinon avec I( ; k; k) =KsoA( ; k; k)cos 2 (; k)cos 2 k (4.21)
I(x) est l'intensite du pixel x donnee par l'image radar. I( ;0;0) represente la va-
leur de l'intensite du sol plat, que l'on suppose connue. Sa determination sera plus amplement traitee au cours du chapitre 7. k et k sont les ki
eme estimations des
angles et ; leurs expressions exactes sont etablies dans la partie 4.3.3.U (k)
I (x) est
essentiellement une energie quadratique en fonction de l'erreur de reconstruction de l'intensite I par changement d'orientation de la facette. Cette energie a pour e et
de faire evoluer l'orientation de la surface reconstruite de facon que la di erence
I(x);I( ; k; k) soit nulle. Mais, a n de tenir compte d'un bruit de speckle possi-
blement tres fort, nous limitons la penalite a la valeur
2 pour des ecarts superieurs
a (Fig 4.5). Ainsi, un pixel a ecte d'un tres fort bruit de speckle ne degradera pas
la totalite de la surface. U(I,dI) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 I(x)-I’(x) I(x)
Fig. 4.5 { Comportement de l'energie d'attache aux donnees en fonction de I(x):
intensite de l'image radar, et de I(x);I 0(
x), ou I 0(
x) est l'intensite estimee par la
relation de base de nos travaux. Et, U
(k)
v correspond au terme contextuel, ce qui contraint le terrain a ^etre continu
et regulier: U (k) v = X xc (H (k) (xc);H (k) (x)) 2
avecxc les pixels voisins a x en 8-connexite.
Apres avoir pose la contribution en energie de chaque pixel, considerons alors le fonctionnement de l'optimisation. C'est une methode iterative; chaque iteration va consister a traiter tous les pixels de l'image, tires dans un ordre aleatoire, et a modi- er l'orientation de la facette qu'ils recouvrent. C'est une methode de recuit simule, c'est a dire que l'on changera l'orientation d'un pixel, non seulement si la nouvelle orientation fournit une energie (Eq 4.20) plus faible que l'orientation courante, mais aussi parfois si elle degrade cette energie. Cette strategie expliquee ci-dessous, per- met de trouver l'optimum global de l'energie et non pas seulement un optimum local dependant de la solution initiale I
(0)
x .
Supposons que l'iterationksoit terminee, ayant permis d'obtenir la carte d'altitude
noteeHk, et de calculer, pour chaque pixel de l'image, les angles k et k, l'intensite I( ; k; k), et l'energieU (k) = U (k) I +U (k)
v . Cette iterationka utilise une variable T
(
k) appelee \temperature" dont nous expliciterons l'usage plus loin.
Realisons alors le traitement de l'iteration suivante k+ 1. Nous commencons tout
d'abord par calculer une temperatureT
(k+1). Puis, nous allons traiter successivement
tous les pixels en les visitant l'un apres l'autre dans un ordre aleatoire. Considerons plus particulierement ici, le traitement d'un pixel de position (i;j) dans l'image
(avec i et j, respectivement la ligne et la colonne de l'image). Pour ce pixel, nous
proposons une nouvelle altitudeH
(k+1), etablie par la relation:
H (k+1) (i;j) = H (k) (i;j)+ H
avec H une variable aleatoire de loi uniforme comprise entre;et. La determi-
nation de la valeur prend en compte les considerations suivantes:
{ utiliser une valeur tres forte, de l'ordre de l'altitude maximale du relief, de- mandera de tres nombreuses iterations, et donc un temps de calcul important, pour obtenir la convergence de l'algorithme, puisque la probabilite de tomber sur la valeur exacte sera tres faible.
{ utiliser une faible valeur de l'ordre du metre, voire plus petite, permettra d'avoir des altitudes avec une tres grande precision. Mais, tout comme pre- cedemment, ce choix necessitera egalement un nombre important d'iterations, pour assurer la convergence de l'algorithme.
Nous e ectuons alors les calculs suivants:
le calcul des angles k +1 et
k
+1 a partir de H
(k+1), par les formules 4.22 et
4.23 ci-dessous.
le calcul de l'intensiteI( ; k +1
; k
+1) par la formule 4.21, le calcul de la contribution en energieU
(k+1) = U (k+1) I +U (k+1) v .
A partir des deux energiesU (k) et
U
(k+1), nous avons le choix pour chaque pixel
de l'image, de conserver la valeur de l'altitude H
(k), ou de la remplacer par H
(k+1).
Cette decision est realisee par recuit simule [GEMA-84], [SIGE-93], faisant intervenir la di erence d'energie U:
U =U (k+1)
;U (k)
Suivant le signe et la valeur de cette di erence d'energie, plusieurs con gurations sont possibles :
si U <0, alors on remplace la valeurH (k) par
H (k+1),
si U >0, alors deux cas de con guration sont encore possibles :
On calcule : = ;l og(), avec variable aleatoire de loi uniforme, comprise
entre 0 et 1,
. si > U
T(k +1), alors on remplace la valeur H
(k) par H
(k+1), . sinon on conserve la valeur d'altitudeH
(k).
Ce processus fait intervenir la temperatureT
(k)que nous faisons decro^tre a chaque
iteration. La loi de T
(k) qui garantit l'optimum global devrait ^etre logarithmique,
neanmoins nous suivons l'exemple de [GEMA-84] et choisissons une decroissance plus rapide de la forme:
T
(k+1)= 0 :98T
(k)