Rappels d'electromagnetisme

Si l'on veut regarder de facon ne l'interaction de l'onde avec la vegetation, il est necessaire de rappeler quelques points sur la re exion des ondes. Ils nous permettront de justier certaines conclusions etablies precedemment.

Re exion lo cale:

Nous considerons encore ici que l'onde initialement emise par un capteur SAR peut ^etre approximee par une onde plane, se propageant dans la direction du vecteur d'onde ~

k

i parallele au plan d'incidence (

XO Y) (chapitre 3). Perpendiculaire a ce

vecteur, on trouve le vecteur champ electrique ~ E

i que l'on peut decomposer suivant

deux directions principales, notees V et H:

~ E i = (~ E i )V + ( ~ E i )H

L'indice V est utilise pour la composante du champ emis parallele au plan d'inci- dence ; l'indice H est employe pour la composante du champ perpendiculaire au plan d'incidence. En general, un systeme SAR privilegie toujours une de ces deux direc-

tions: polarisation V pour ERS-1, et H pour les systemes JERS-1 et RADARSAT (chapitre 2).

L'onde ainsi denie se propage dans l'air jusqu'a ce qu'elle rencontre un element diuseur, constituant un changement de milieu. Avant de voir plus en detail l'inter- action qui se produit, il est necessaire de denir un peu mieux la nature du diuseur. Pour nous, ce sera par exemple une feuille d'arbre. Non seulement il est necessaire de conna^tre la forme, et donc les parametres geometriques de ce diuseur, mais il est egalement necessaire de denir ses proprietes physiques, c'est a dire sa permittivite dielectrique  ou encore son indice n, par exemple. Le parametre est dans le cas

general un nombre complexe, et se met sous la forme:

= 0

+j 00

L'indice nest donc egalement un nombre complexe : n=n 0+ jn 00 avec n 0 l'indice de re exion, et n

00 l'indice d'absorption du diuseur considere, tels

que l'on ait:

n 0 = v u u t  0+ p  02+  002 2 ! n 00 = v u u t ; 0+ p  02+  002 2 !

Pour avoir un ordre de grandeur, la permittivite dielectrique des feuilles du mas [ULAB-87] est: 

0 = 28 et 

00 = 5 pour une frequence comprise entre 4 GHz et 11

GHz, ce qui donne pour l'indice n du milieu :n 0= 5

:31 etn 00= 0

:47. Ces indications

numeriques montrent que ces feuilles sont bien plus re echissantes qu'absorbantes. Reste a detailler le processus de re exion a l'interface de ce diuseur. En considerant que

i est l'angle d'incidence entre le vecteur d'onde ~

k

iet la normale a la surface du

diuseur, les lois de Snell-Descartes, valables dans le cas ou la surface est grande par rapport a

2, permettent de reperer geometriquement l'onde re echie et transmise:   i =  r sin i = n 0sin  t avec

rl'angle de re exion repere entre le vecteur d'onde ~ k

ret la normale a la surface

du diuseur,

tl'angle de transmission entre le vecteur d'onde ~ k

tet la normale interne

Mais, ces relations ne susent pas a determiner la portion d'energie re echie (r),

ou au contraire transmise (t). Si nous faisons abstraction des pertes, le principe de

conservation de l'energie propose:

r+t= 1

Dans ce cas, la determination d'un des deux termes est susante pour conna^tre la repartition de l'energie apres interaction avec le diuseur. Pour cela, on introduitr

H

et r

V [LEVI-68] les coecients denissant la quantite d'energie re echie pour une

polarisation horizontale et verticale des ondes. Selon le principe de Fresnel, ces deux coecients ont pour expression :

r H = cos  i ; p n 02 ;sin 2  i cos i+ p n 02 ;sin 2  i (8.1) r V = p n 02 ;sin 2  i ;n 02cos  i p n 02 ;sin 2  i+ n 02cos  i (8.2) La gure (Fig 8.8) illustre le comportement de ces deux coecients, en fonction de l'angle d'incidence 

i, et pour diverses valeurs de l'indice n

0, en supposant que ce

dernier est toujours superieur a l'indice de l'air (n= 1).

Fig. 8.8 { Comportement du coecient de re exion (a gauche: r

H, a droite: r

V)

en fonction de l'angle d'incidence 

i et de l'indice n

0 du diuseur. Notons que le

coecient de re exion sur le graphe en polarisation V (a droite) s'annule pour un certain angle d'incidence. Cet angle est couramment appele \l'angle de Brewster". Pour pouvoir apporter quelques conclusions a cette etude locale, il est necessaire de prendre en compte certaines caracteristiques des capteurs SAR, et plus specique- ment considerer que l'emetteur et le recepteur sont a des positions confondues.

Comment pouvons nous envisager d'utiliser ces proprietes pour rendre compte de la retrodiusion du couvert? Il nous faut choisir un modele de distribution geometrique des feuilles : densite des feuilles, mais aussi orientation, par exemple des feuilles plut^ot \horizontales" ou plut^ot distribuees suivant un c^one et estimer le trajet des rayons: propagations libres, re exions, transmissions. On peut raisonnablement estimer que la traversee d'une feuille ne se traduit que par une attenuation que l'on pourra supposer constante (lame a faces paralleles). Une re exion suivra la loi de Fresnel exactement et un rayon ressortira du couvert avec une orientation donnee dependant des re exions qu'il aura subies et une amplitude dependant des transmissions. On pourra esperer determiner les probabilites de l'orientation et de l'amplitude, peut- ^etre theoriquement pour des modeles simples, plus s^urement par simulation. Il sera alors possible de predire l'energie retrodiusee vers le capteur. Anticipons sur le calcul. Si nous admettons que les arbres possedent une m^eme orientation par rapport a la verticale quelque soit la pente du sol, il semble raisonnable de conclure que des probabilites identiques seront obtenues sur un sol plat ou incline. Le pourcentage d'energie retournevers le capteur sera egal quelque soit l'orientation du sol, ce qui est bien l'hypothese lambertienne. Ce raisonnement n'est valable que si l'onde penetre susamment le couvert pour ^etre peu aectee par l'eet de \coin"1d^u a l'orientation

de la surface exterieure des arbres (et bien s^ur si elle penetre insusamment pour ^etre aectee par la re exion du sol).