Demarche experimentale

Delimitation manuelle

On designe manuellement des zones de declivite nulle, de facon a rendre compte de l'existence d'une eventuelle relation entre la valeur

I

o determinee precedemment

et l'une des mesures statistiques de ces zones. Cette extraction est assez delicate, au sens ou certaines regions de l'image veriant la condition de declivite nulle sont

Fig. 7.4 { Evolution des mesures sta-

tistiques (maximum, moyenne, et ecart type) de la carte d'altitude restituee par simple integration, en fonction de l'inten- site consideree pour le sol plat.

Fig.7.5 { Relief resultant de la restitution

par simple integration, pour une inten- site de sol plat (4232) rendant son altitude

moyenne minimale. Cette carte d'altitude de la montagne Marie-Hilaire en Guyane ne presente aucun basculement apparent.

o= o 1 oui o I + non si <H_{1 2}> alors I = I o I - o sinon 2 I > > <H δIo _I o δ I __ 2 I_o δ >ε = Condition 2 δIo o I 2 o= o δ o o I 1 I I Image SAR Statistique Restitution Restitution Statistique Condition 1

dicilement reperables et exploitables. C'est par exemple le cas des cr^etes de mon- tagnes. De ce fait, l'extraction est realisee uniquement dans des zones vastes telles que les vallees ou plateaux. La gure (Fig 7.7) illustre la position des zones delimitees dans l'image ERS-1 de la montagne guyanaise Marie-Hilaire, ainsi que leur contenu respectif par la gure (Fig 7.8) et certaines caracteristiques propres a chacune d'elles. A partir de ces zones delimitees, on estime les mesures statistiques usuelles, en am- plitude et en intensite (Tab 7.2). A la vue de celles-ci, nous remarquons tout d'abord que le domaine radiometrique de chaque zone, par le minimum et le maximum, est assez vaste, et de ce fait, indicatif de l'eet du speckle permettant d'importantes variations radiometriques intra-zone. Parmi les trois autres mesures statistiques es- timees: la moyenne en amplitude et en intensite, et la mediane, une seule correspond bien a la valeur obtenue par la precedente methode (Fig 7.9). Il s'agit de la moyenne en intensite. Mais, tout comme les deux autres, cette mesure presente d'importantes variations d'une zone a l'autre. Cette instabilite demande donc a verier si la taille des zones est susamment grande pour l'estimation de cette mesure [GOUI-96b].

Zone

Min Max Moy

A

Med Moy

1=2 I 1 92 967 405.3 395 428.2 2 105 949 411.2 400 432.6 3 71 868 382.0 372 402.2 4 98 1018 412.8 395 435.6 5 118 869 419.4 409 442.9 6 64 1079 428.8 419 451.9 7 88 877 395.7 378 415.5 8 65 856 392.8 373 417.3 9 78 919 411.1 405 432.2 10 89 886 406.5 396 425.9 11 107 943 415.8 411 438.4

Tab. 7.2 { Mesures statistiques des zones delimitees.

Determinons la dimension minimale de l'echantillon pour le calcul de cette mesure statistique [LAUR-89], permettant de construire un intervalle de conance donne. Pour cela, considerons que tous les echantillons possibles de dimension

N

pixels parmi une population innie de pixels soient distribues suivant la loi de Rayleigh. La moyenne pour chaque echantillon, que l'on notera



, suit une loi gaussienne, de variance [KEND-52]:

var

(



) =



2

N

(7.7)

avec



2 le moment d'ordre 2 centre autour de la moyenne, et tel que:



2 =

< X

2

>

;



Fig. 7.7 { Position des zones de declivite nulle delimitees par photo-interpretation

dans l'image radar ERS-1 d'une region de la Guyane (montagne Marie-Hilaire).

Fig. 7.8 { Contenu des zones.

Numero Position Angle Nb.pixels

1 20 21.94 2163 2 47 21.97 1677 3 117 22.03 1792 4 166 22.07 769 5 176 22.08 953 6 202 22.11 1121 7 267 22.16 1326 8 352 22.24 1071 9 484 22.36 1954 10 527 22.40 1280 11 630 22.49 858

Caracteristiques des zones

Fig. 7.9 { Representation des mesures statistiques de chaque zone delimitee

Pour la distribution de Rayleigh,

< X

r

>

se met sous la forme:

< X

r

>

=



r

;(1 +

r

₂₎ (7.9)

avec



le parametre d'echelle de la distribution de Rayleigh, et ; la fonction Gamma. En considerant les relations (Eq 7.8) et (Eq 7.9), la variance de la moyenne s'ecrit:

var

(



) =



2

N

 1 ;2(3

=

2) ;1 

L'intervalle de conance de la moyenne estimeeM est alors donne par:



;

a

s 1

N

 1 ;2(3

=

2) ;1 

<

M

< 

+

a

s 1

N

 1 ;2(3

=

2) ;1 

avec

a

la largeur relative de l'intervalle de conance1.

L'estimation de l'erreur relative E

r

de la moyenne est donc: E

r

=

a

s 1

N

 1 ;2(3

=

2) ;1  '

a

r 0

:

2732

N

Par exemple, pour une erreur relative de 6%, la taille de l'echantillon verie:

N

= 75

:

8

a

2

ce qui permet de tracer la courbe donnant le nombre de pixels en fonction du seuil de conance considere.

Les resultats pour une erreur relative de 3% et de 6% sont illustres par la gure (Fig 7.10). Comme attendu une erreur relative plus faible demande a considerer des echantillons de taille plus importante.

Relions ces resultats a notre application. Les zones de declivite nulle extraites de l'image radar sont des echantillons de taille allant de 850 pixels a plus de 2100 pixels. Or, selon la gure (Fig 7.10), et pour calculer la moyenne avec seulement3%

d'erreur admissible, la taille de ces zones correspond a un seuil de conance depassant les 90%. Ce dernier chire permet ainsi de conclure que les zones considerees sont statistiquement signicatives.

Par ailleurs, nous pouvons egalement valider le calcul mathematique precedent par un test simple sur les zones delimitees. Pour chacunes d'elles, le test consiste a

1:La valeur as'obtient simplement gr^ace a la table de la loi normale. Exemple : pour 80% de seuil de conance, on aa= 1:28.

calculer la moyenne sur des echantillons dont on augmente progressivement la taille. Les deux gures (Fig 7.11) illustrent les resultats obtenus par ce test sur deux des zones delimitees. Sur celles-ci, nous avons represente trois droites, l'une d'elles correspondant a la valeur radiometrique du sol plat determinee par la methode decrite aux7.1.1, et de part et d'autre de cette derniere, deux autres droites indiquant

les bornes a 3% de cette valeur. Par cette indication graphique, nous constatons

que les courbes de la moyenne semblent se stabiliser dans cet intervalle, montrant ainsi que la taille des zones delimitees est largement susante, et d'autre part que la moyenne en intensite sur de telles zones permet d'avoir une bonne estimation de

I

o.

Pour nir, remarquons que le fait de considerer la totalitedes zones delimitees permet d'avoir un echantillon important et statistiquement tres representatifs, soit en tout 14964 pixels. Dans ce dernier cas, la moyenne en intensite est de (429

:

3)2, ce qui

diminue considerablement l'erreur relative sur la radiometrie du sol plat qui atteint les1

:

3%. Ce dernier point montre donc que plus la zone (ou les zones) selectionnee

est grande, plus on diminue l'erreur relative sur sa moyenne, mesure qui tend a estimer correctement la radiometrie de sol plat, puisque identique a celle obtenue par la methode precedente (x7.1.1). Cependant, comme indique en introduction de cette

partie, cette methode repose sur la selection souvent dicile de zones de declivite nulle, dicile dans le sens ou certains types de terrain montagneux ne se pr^etent guere a cette extraction (trop peu de pixels de declivite nulle).

Dans le document Restitution du relief à partir d'images radar par radarclinométrie (Page 135-140)