Deux institutions sont concernées quant à la présence du problème de la résolution des équations diophantiennes linéaires dans les documents qu’elles ont publiés : le GEPS et l’IREM de Montpellier ; nous débutons avec le document du GEPS.
I.1 Document du GEPS
L’étude des équations diophantiennes linéaires est initialement « plongée » dans le cadre géométrique, les coefficients en jeu n’étant pas considérés exclusivement dans le champ des entiers : On pourra motiver l’étude de cette équation par la recherche des points à coordonnées entières situés sur une droite dont la pente et l’ordonnée à l’origine sont des nombres rationnels.
[Document accompagnement programmes, 2002]
La résolution des équations linéaires est présentée en trois temps par le groupe d’experts auteur du document étudié : avec un premier exemple, 8x+5y=1, le cas où une solution particulière évidente existe est envisagé, avec un second exemple, 47x+35y=1, deux méthodes sont exposées pour trouver une solution particulière (l’obtention de la solution générale n’est pas abordée) et, dans un dernier temps, une étude du cas général est menée.
Nous reproduisons ci-après le texte correspondant au premier temps : a) Un exemple :
Si on connaît une solution, on sait trouver les autres, selon la méthode illustrée ci-dessous.
L’équation 8x+5y=1 a au moins une solution dans Z² : x0=2, y0= – 3 (point M0 sur le dessin ci-contre). Par suite (x,y) est solution de l’équation si : 8(x – x0)+5(y – y0)=0. D’où une relation de proportionnalité entre x – x0 d’une part et y – y0 d’autre part. Ce qui conduit à :
x=2+5k et y= – 3 – 8k, k∈Z.
A, B, C représentés ci-contre correspondent respectivement à k=1, -1, -2.
[Document accompagnement programmes, 2002]
On retrouve la méthode enseignée en terminale S pour obtenir les solutions à partir d’une solution particulière. Mais deux choses sont frappantes :
• Le passage crucial entre l’égalité 8(x – x0)+5(y – y0)=0 et l’obtention des expressions de x et y en fonction de l’entier k est relativement flou avec une part d’implicite très importante. En particulier, le théorème de Gauss, élément opératoire essentiel, n’est pas cité. A la place, c’est la notion de relation de proportionnalité qui est mentionnée, sans doute sous l’influence du
cadre géométrique privilégié ici (remarquons que le dessin accompagnant le texte fait apparaître une droite passant par l’origine « au premier coup d’œil »33).
• Le problème de la réciproque n’est pas explicitement traité.
Le fait que l’on s’adresse à des enseignants et non à des élèves explique peut-être ces phénomènes et il sera intéressant d’étudier si l’on retrouve de telles caractéristiques dans la suite de ce document ou dans les autres documents étudiés.
Dans un second temps, deux méthodes sont mentionnées pour déterminer une solution particulière de l’équation 47x+35y=1. La première, dite « par balayage », est la suivante :
Par balayage. Prenons l’exemple numérique suivant : 47x+35y=1.
On peut écrire y = – 47/35x + 1/35, essayer toutes les valeurs de x de 0 à 34 jusqu’à trouver une valeur entière de y. On peut démontrer que si l’on n’en trouve pas entre 0 et 34, alors l’équation n’a pas de solution. Cela conduit à un algorithme simple à mettre en place mais peu performant car induisant des temps de calcul importants lorsque l’entier b est grand.
[Document accompagnement programmes, 2002]
On retrouve le changement d’écriture algébrique faisant intervenir non plus des entiers seulement mais aussi des rationnels, comme cela était le cas dans le premier temps avec l’explicitation de la pente et de l’ordonnée à l’origine de l’objet droite associé à l’équation que l’on cherche à résoudre. Il s’agit ici de mener une recherche exhaustive au sens large ; la justification de la limitation de la recherche à l’intervalle [0, 34] est laissée à la charge du lecteur. Le texte s’arrête sans que cette méthode ne soit mise en œuvre, la justification étant son faible intérêt d’un point de vue algorithmique.
La deuxième méthode est celle utilisant l’algorithme d’Euclide. Celle-ci est exposée sur l’exemple mentionné précédemment, puis les algorithmes associés (d’Euclide et « avec remontée ») sont donnés de façon décontextualisée, prêts à être implémentés en machine (sans traduction dans un langage précis). A noter que le lien est fait avec la détermination des coefficients de l’identité de Bézout. On perçoit là le souci des auteurs de mettre en jeu la dimension algorithmique de l’arithmétique, conformément à l’esprit des nouveaux programmes, et de présenter de façon détaillée deux algorithmes-clefs pour ce programme.
Dans une dernière partie, le cas général est traité. Les implicites que nous avons pointés précédemment ne se retrouvent pas ici : le théorème de Gauss est cité dans le développement opératoire et la réciproque est mentionnée (« (Réciproque évidente) »). Néanmoins, l’étape opératoire
33 L’ordonnée à l’origine est ici égal à 5
consistant à obtenir l’expression de y n’apparaît pas ; dans le texte, le théorème de Gauss n’est explicitement utilisé qu’une seule fois : on peut penser que les auteurs privilégient donc la méthode où l’on utilise l’expression de x pour obtenir celle de y (ce qui a l’avantage de ne faire intervenir qu’un entier (k) au lieu de deux comme c’est le cas avec deux utilisations du théorème de Gauss).
Soulignons le contrat institutionnel relatif à cette généralisation, bien précisé dans ce document, montrant clairement son statut :
L’étude systématique suivante pourra être envisagée mais aucun résultat n’est exigible.
[Document accompagnement programmes, 2002]
I.2 Brochures de l’IREM de Montpellier
Nous constatons tout d’abord que cette tâche de résolution d’équations diophantiennes linéaires n’apparaît pas dans la brochure de l’IREM de Montpellier publiée avant que l’arithmétique ne soit réintroduite. Dans la deuxième, les auteurs soulignent sa forte présence dans les manuels : Tous les manuels traitent cette équation de façon systématique, mais tous ne donnent pas l’interprétation en termes de points à coordonnées entières d’une droite qui cependant est une des méthodes utilisées pour résoudre des équations de degré supérieur.
[Bernard, Briant, Faure, Fontana, Nogues & Trouche, 1999]
Et c’est sans doute parce que les manuels en font déjà une étude systématique que ce type d’équations diophantiennes n’est pas non plus envisagé, en tant que tel, dans la nouvelle brochure, les auteurs préférant ouvrir le champ d’étude à d’autres équations diophantiennes.
La tâche emblématique est cependant présente dans la brochure, à travers la donnée de sujets d’épreuves d’entraînement au baccalauréat session 1999 ainsi que celui du baccalauréat 1999 ([France, Juin 1999] où cette tâche intervient ; cf. chapitre 5), ce qui ne peut nous étonner. La particularité des 5
sujets d’entraînement fournis est que leur conception n’a pu être influencée par les épreuves nationales des années précédentes puisque le programme d’arithmétique n’était pas en vigueur à l’épreuve du baccalauréat 1998.
Parmi les cinq sujets d’entraînement, deux mettent en scène la tâche emblématique ; voici les énoncés correspondants :
1.a. Montrer qu’il existe au moins un entier relatif x et un entier relatif y tels que : 661x – 991y =1. Déterminer une valeur de x et une valeur de y.
b. Résoudre dans Z×Z l’équation 661x – 991y =1. c. Résoudre dans Z×Z l’équation 3305x – 4955y =10.
2. On considère deux suites arithmétiques (un) et (vn) définies par : u0=3, v0=2, et pour tout entier naturel n, u = u+991 et v = v+661.
Déterminer tous les couples (p,q) de N×N tels que p≤2000, q≤2000 et up=vq.
[Bernard, Briant, Faure, Fontana, Nogues & Trouche, 1999]
On considère les équations (E) et (E’) suivantes où x et y sont deux entiers relatifs. (E) : 138x – 55y=5 (E’) : 138x – 55y=1
1. Calculer le PGCD de 138 et 55.
2. Démontrer que si un couple (x,y) est solution de (E) alors 5 divise x.
3. a) Par l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution (x0,y0) de l’équation (E’). En déduire une solution (x1,y1) de l’équation (E).
b) Démontrer que si un couple (x,y) est solution de (E) alors 138(x1 – x) – 55(y – y1)=0. Déterminer alors toutes les autres solutions de (E).
4. Soit d le PGCD de deux nombres x et y formant un couple (x,y) solution de (E). Quelles sont les valeurs possibles de d ? Quelles sont les solutions de (E) telles que x et y soient premiers entre eux ?
[Bernard, Briant, Faure, Fontana, Nogues & Trouche, 1999]
Analysons ces sujets en développant la méthodologie suivie pour les sujets du baccalauréat dans le chapitre précédent ; on se place initialement au niveau de la résolution des équations en jeu pour ensuite analyser ces sujets du point de vue de la mise en scène de la tâche emblématique.
Dans les deux sujets, deux couples d’équations sont en jeu mais la situation n’est pas exactement la même. Dans le premier, la résolution de la deuxième équation se ramène, par division par 5, à celle de l’équation ayant même premier membre que la première et un second membre est égal à 2 au lieu de 1 ; l’utilisation de la résolution de la première équation pour résoudre la seconde est entièrement à la charge de l’élève. De plus, dans la suite de l’énoncé, la deuxième équation n’intervient plus. Dans le second, (E’) apparaît clairement comme outil de résolution de (E) (obtention d’une solution particulière).
Pour la recherche d’une solution particulière de l’équation dont le second membre est égal à 1, rien n’est indiqué dans le premier sujet tandis que, dans le second, il est indiqué d’utiliser l’algorithme d’Euclide. Soulignons que, comme dans 5 sujets parmi les 29 étudiés dans le chapitre précédent, le théorème de Bézout est attendu pour justifier préalablement l’existence d’une telle solution dans le premier sujet. On retrouve le balisage habituel avec les deux étapes suivantes : obtention d’une solution particulière puis obtention de toutes les solutions à partir de celle-ci. Dans le premier sujet, aucune connexion n’est faite. Dans le second, un élément de nature opératoire est donné. Dans les deux cas, la réciproque reste à la charge de l’élève.
Concernant la mise en scène de la tâche emblématique, le premier sujet correspond au cas où c’est elle qui, en tant qu’objet, est essentiellement travaillée et où elle est accompagnée d’une
application directe (pour l’équation 661x – 991y =1 uniquement). Il s’agit ici de la détermination des rangs pour lesquels les membres de deux suites arithmétiques sont égaux avec une réduction de l’ensemble des solutions recherchées à un ensemble fini, comme cela a été identifié dans plusieurs sujets du baccalauréat. Finalement, cet énoncé est caractéristique des sujets du baccalauréat (tant au niveau de la résolution que de la mise en scène).
Dans le second sujet, la tâche emblématique peut être vue comme faisant partie de la résolution proposée par les concepteurs du système défini par l’équation (E) et l’égalité PGCD(x,y)=1. Cet énoncé est quelque peu en marge par rapport aux sujets du baccalauréat du point de vue de la mise en scène de la tâche emblématique parce que l’organisation relative à l’investissement de la résolution de (E) est en grande partie sous la responsabilité de l’élève. En effet, c’est à lui de découvrir et justifier, à partir des quelques indices donnés (question 2, isolée dans l’énoncé, et question 4), la condition nécessaire et suffisante pour que (x,y) soit solution de (E) avec x et y premiers entre eux (entier k intervenant dans les expressions de x et y dans la résolution de (E) non multiple de 5). D’ailleurs, on peut associer ce problème à l’épreuve d’entraînement analysée dans le chapitre suivant où le problème général en jeu est la résolution du système
= = − 5 ) , ( 5 11 17 y x PGCD y x .
Précisons le contenu des trois autres sujets d’entraînement. Deux d’entre eux sont à rattacher au regroupement que nous avions fait autour de la notion de divisibilité lors de l’analyse des sujets du baccalauréat (cf. chapitre 5) ; tous deux font intervenir simultanément les notions de PGCD et PPCM.
Le troisième sujet, quant à lui, renvoie à la représentation des entiers dans des bases autres que la base 10.