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Ao usar um aparato, como o mostrado na Figura 3.19, o qual é constituído por um gerador de frequência, acoplado a um alto falante que está preso por um arame até uma corda tensionada, e atribuir uma determinada frequência, a corda irá vibrar.

Figura 3.19 – Um aparato experimental para o estudo de ondas estacionárias.

Fonte: O autor.

A corda do aparato é presa em uma extremidade e tensionada por uma massa presa à outra extremidade. Como a corda está tocando uma roldana próximo à extremidade em que está posta a massa, esta se comporta como uma corda com as extremidades fixas, como visto na seção 3.5.

A vibração proporciona pulsos na corda com uma velocidade dada por

𝑣 = √𝜏

𝜇 , (3.7)

e ao chegar à outra extremidade, sofrem reflexão, retornando em direção à fonte de oscilação, refletindo novamente. Ou seja, o pulso que está confinado em duas extremidades fixas irá sofrer múltiplas reflexões nestas extremidades. Porém, quando o pulso que está retornando (pulso refletido), encontra outro pulso gerado pela fonte de oscilação (pulso incidente), eles irão sofrer interferência, de acordo com o princípio da superposição, visto na Seção 3.5 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).

Existem frequências específicas onde estas interferências geram um padrão de ondas, denominadas ondas estacionárias, também chamadas de modos de oscilação, onde os deslocamentos máximos sofridos pela corda são

denominados antinós ou ventres, em que se tem interferência construtiva entre os pulsos incidente e refletido, e nós, onde existe interferência destrutiva. A Figura 3.20 apresenta um padrão de ondas estacionárias, onde são apresentados os nós e ventres para aquela frequência específica gerada (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).

Figura 3.20 – Um padrão de ondas estacionárias, apresentado se nó e ventres.

Fonte: O autor

À frequência responsável por um padrão de ondas estacionárias, como o apresentado na Figura 3.20 é denominada frequência de ressonância, e esta depende da densidade linear da corda, do seu comprimento e da tensão aplicada. A cada frequência de ressonância que produz ondas estacionárias dá-se o nome de modo de oscilação e à menor frequência de ressonância denomina-se frequência fundamental, representado por f1. A frequência

fundamental produz o padrão mostrado na Figura 3.21(a), que é chamado de modo fundamental de vibração ou de primeiro harmônico. A Figura 3.21(b) representa a segunda menor frequência de ressonância. Este modo de oscilação tem o dobro da frequência fundamental, o qual é representado por f2,

e também chamado de segundo harmônico. Em 3.21(c) tem-se a terceira menor frequência, a qual é três vezes maior que a frequência fundamental, representada por f3, e também chamado de terceiro harmônico. A mesma ideia

pode ser estendida para o quarto, quinto harmônico, etc.. (YOUNG; FREEDMAN, 2003; HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).

A todo o conjunto de frequências de ressonância de uma determinada corda, que produzem seus respectivos modos de oscilação, é denominado espectro de ressonância da corda (YOUNG; FREEDMAN, 2003).

Figura 3.21 – Um instantâneo de uma onda nos três primeiros harmônicos.

Fonte: O autor.

Ao analisar o segundo harmônico de uma onda estacionária, representada pela Figura 3.21 (b) é possível observar que este harmônico corresponte a um comprimento de onda inteiro específico.

Desta forma, lembrando que a corda do experimento tem comprimento fixo de valor L, o primeiro harmônico a corda de comprimento L contém apenas metade de um certo comprimento de onda específico, o que pode ser expresso como (λ1/2), representado pela linha em amarelo da Figura 3.21 (a).

Seguindo esta ideia, fazendo-se a mesma observação para os outros dois harmônicos representados na Figura 3.21, percebe-se que no segundo harmônico a corda de comprimento L contém duas metades de um certo comprimento de onda, o que pode ser expresso como (2λ2/2) e no terceiro

harmônico a corda de comprimento L contém três metades de um certo comprimento de onda específico (3λ3/2).

Desta forma, para uma corda com comprimento L qualquer, uma onda estacionária somente poderá existir se satisfazer à equação 3.8 (YOUNG; FREEDMAN, 2003),

𝐿 = 𝑛λ𝑛

Para o experimento apresentado na Figura 3.19, existem ondas na corda que não possuem os comprimentos de ondas representados pela equação 3.8, portanto, tais ondas não podem formar ondas estacionárias com nós e ventres. A equação 3.8 ilustra as ondas estacionárias formadas pelo experimento da Figura 3.19, onde a corda tem um comprimento L fixo e há a formação de ondas com certos comprimentos de onda específicos correspondentes aos n = 1, 2 e 3, respectivamente, observadas na Figura 3.21 (YOUNG; FREEDMAN, 2003).

A velocidade de propagação da onda na corda, além da forma vista na equação 3.7, pode ser expressa em termos do comprimento de onda e respectiva frequência (𝑣 = λf ), onde o módulo da velocidade de propagação da onda na corda é fixa e constante. Isso pode ser admitido porque a densidade linear da corda não se modifica, ou seja, é a mesma corda, e também porque se escolhe uma tração fixa. Assim, pode-se reescrever a equação expressa como

𝑓 = 𝑣 λ .

Para uma série harmônica produzida em uma corda com uma velocidade de propagação fixa, como na Figura 3.21, em que se usou uma corda de densidade linear específica e uma tração devido à força peso foi possível observar vários modos de oscilação, estes correspondendo a uma série de valores possíveis de λn e uma série de respectivas frequências fn, e que pode

ser generalizado por

𝑓_𝑛 = 𝑣

λ𝑛 (n = 1, 2, 3, ...) . (3.9)

O comprimento de onda, λn, da equação 3.9 pode ser escrito a partir da

equação 3.8 e, portando, dado por

λ_𝑛 =2L

Considerando a equação 3.9, pode-se determinar a menor frequência, f1,

n = 1 dada pela equação 3.11,

f₁ = 𝑣

2𝐿 , (3.11)

e que corresponde ao maior comprimento de onda, λ₁ = 2L, este determinado pela equação 3.10.

O valor obtido a partir da equação 3.11 é denominado frequência fundamental, porque corresponde ao menor n admitido na equação 3.8, ou seja, L igual à metade do respectivo comprimento de onda, ou seja, λ1. As

demais frequências das ondas estacionárias, então, podem ser expressas da forma mostrada nas equações 3.12 e 3.13:

𝑓₂ = 2𝑣 2𝐿= 2 ( 𝑣 2𝐿) ; n = 2 (3.12) 𝑓₃ = 3𝑣 2𝐿 = 3 ( 𝑣 2𝐿) ; n = 3 . (3.13)

Assim, é possível verificar que os valores apresentados são múltiplos inteiros da frequência fundamental f1, tais como 2f1, 3f1, 4f1, ...

Generalizando as observações feitas anteriormente, chega-se à equação 3.14,

𝑓_𝑛 = 𝑛 𝑣

2𝐿 (n=1, 2, 3, ...) , (3.14)

ou simplesmente, à expressão da equação 3.15,

𝑓_𝑛 = 𝑛𝑓₁ (n=1,2,3). (3.15)

As frequências obtidas a partir das equações 3.14 e 3.15 são denominadas harmônicos, e a série que contém todos os valores de frequências para uma corda é chamada série harmônica (YOUNG; FREEDMAN, 2003; HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).