Repr´esentation des termes uniformes avec un multi-

ensemble uniforme : Approche symbolique

Dans certains cas, il est int´eressant de donner `a l’utilisateur la possibilit´e d’exprimer les distances entre les termes de fa¸con qualitative. En effet, il est parfois difficile `a l’expert d’indiquer les positions exactes des termes sur une ´echelle ou les ´ecarts entre les termes de fa¸con num´erique. Dans ce cas, le traitement des termes se fait dans un cadre qualitatif en indiquant les termes les uns par rapport aux autres qualitativement. Par exemple, nous indiquons qu’un terme est trois fois plus pr´ecis ou qu’il est deux fois moins bon qu’un autre.

Nous proposons dans ce qui suit une m´ethode pour la repr´esentation des M termes d’un ensemble non uniforme LM en utilisant les ´ecarts qualitatifs entre eux. Il faut tout d’abord pr´eciser les deux termes extrˆemes, i.e. τ0 et τM−1, de l’ensemble de d´epart. Par la suite, les (M-2) termes restants sont exprim´es les uns par rapport aux autres.

Nous allons nous inspirer du travail d’El-Sayed (2001) afin de proposer une nouvelle approche pour la repr´esentation d’un terme non uniforme avec un terme uniforme. Dans cette proposition, les ´ecarts entre les termes de d´epart sont exprim´es de fa¸con symbolique en utilisant le rapport symbolique de cardinalit´e (D´efinition 9).

La description de l’ensemble de d´epart d´ebute par pr´eciser les deux termes extrˆemes. Par la suite, les termes restants sont exprim´es les uns par rapport aux autres. Ceci sera fait en utilisant l’ensemble de degr´es symboliques de cardinalit´e relative LQ9={ rien-du-tout, moins-d’un-quart, environ-le-quart,

environ-le-tiers, environ-la-moiti´e, environ-les-deux-tiers, environ-les-trois- quarts, `a-peu-pr`es-´egale, ´egale}.

Ainsi, en entr´ee de notre algorithme, pour chaque terme si autre que les deux extˆemes, l’expert doit indiquer le triplet (oi, Qαi, ti) avec :

— oi : l’ordre du terme trait´e dans la comparaison, c’est-`a-dire est ce qu’il est le compar´e (not´e 1) ou le comparant (not´e 2) ;

— Qi : le degr´e symbolique de cardinalit´e relative correspondant `a la comparaison entre les deux termes tels que Qαi ∈ LQ9;

— ti : le num´ero du terme de comparaison

Il est `a noter que la comparaison peut se faire entre :

— Le terme trait´e avec un terme quelconque autre que le terme minimum — Un terme quelconque autre que le terme maximum avec le terme trait´e Afin de proc`eder `a la repr´esentation des termes, il faut tout d’abord d´eterminer la comparaison entre chaque terme avec τM−1 en utilisant les r`egles de propagation de la cardinalit´e, c’est-`a-dire la transitivit´e faible (D´efinition 12) et la r´eduction (D´efinitions 13 et 14). Nous utilisons la pro- pri´et´e de compl´ementarit´e dans le cas o`u la comparaison se fait par rapport au terme τ0.

Une fois tous les termes de l’ensemble de d´epart exprim´es en fonction de

τM−1, nous les repr´esentons avec des degr´es de l’ensemble uniforme propos´e

par El-Sayed (2001) L9={ pas-du-tout, peu, relativement-peu, plutˆot-peu, moyennement-peu, plutˆot, relativement, presque, tout-`a-fait} (Figure 4.7). Ceci se fait en utilisant les valeurs des rapport de cardinalit´e relative Qβ entre le terme trait´e et τM−1.

τ₀′

τ₀′ τ₁′ τ₂′ τ₃′ τ₄′ τ₅′ τ₆′ τ₇′ τ₈′ Figure4.7 – Repr´esentation du multi-ensemble uniforme L9

Ainsi, l’algorithme aura comme entr´ee un ensemble de termes linguistiques non uniformes et pour les termes autres que les termes extrˆemes, un triplet (o, Qαi, ti) est fourni (i ∈ [0−8]). Sa sortie est l’ensemble des couples (τ

′

γi, L9).

Quant `a son d´eroulement, il est pr´esent´e au niveau de l’algorithme 3.

1. Il s’agit d’un fonction qui renvoie le r´esultat de l’application de la transitivit´e faible permetant de ramener la comparaison entre deux termes `a une comparaison avec τM−1

2. Il s’agit d’un fonction qui renvoie le r´esultat de l’application de la r´eduction `a gauche permetant de ramener la comparaison entre deux termes `a une comparaison avec τM−1

Algorithme 3 : Algorithme UnbalancedToUniformSymbolic Entr´ees :

Les M termes linguistiques si non uniformes (M-2) triplets(oi, Qαi, ti)

Sorties : L’ensemble des couples ci avec ci=(τ_γ′_i, L9) d´ebut pour i = 1 `a M-2 faire si oi = 1 alors si ti=M-1 alors ci← (τ ′ αi−1, L9) sinon

Qβ ← transitivite faible1 (i, ti, Qαi)

ci← (τ ′ β−1, L9) sinon si ti=0 alors ci← (τ ′ αi−1, L9) sinon

Qβ ← reduction gauche2 (i, ti, Qαi)

ci← (τ ′ β−1, L9) c0← (τ ′ 0, L9) cM−1← (τ₈′, L9)

Pour illustrer cette approche, nous prenons comme exemple 6 degr´es d´ecrivant l’odeur d’une substance. Ces degr´es sont not´es A, B, C, D, E et F ; avec A le terme minimum τ0 et F le terme maximum τ5. Les autres termes sont r´epartis non uniformement entre τ0 et τ5.

Nous consid´erons les relations entre termes suivantes : — B est environ-les-deux-tiers de F ;

— C est environ-la-moiti´e de B ; — C est environ-les-trois-quarts de D ; — A est environ-le-quart de E.

En utilisant les d´efinitions de la transitivit´e faible (D´efinition 12), de la r´eduction `a droite (D´efinition 13) et `a gauche (D´efinition 14), nous pouvons exprimer l’´ecart entre chaque terme et le terme maximum en utilisant une valeur de rapport de cardinalit´e, not´e Qβ, comme suit :

— B est environ-les-deux-tiers de F : B⊴6F vu que environ-les-deux-tiers correspond `a τ6 dans LQ9

— C est environ-la-moiti´e de B : C⊴5B

En appliquant la transitivit´e faible (D´efinition 12) avec C ⊴5 B et B ⊴6 F, nous obtenons C ⊴3F vu que I(Q5, Q6) = Q3 (Table 2.2) — C est environ-les-trois-quarts de D : C ⊴7D

En appliquant la r´eduction `a gauche (D´efinition 13) sur C ⊴7 D et C⊴3F, nous obtenons D ⊴4 F vu que C(Q7, Q3) = {Q4} (Table 2.3) — A est environ-le-quart de E : A ⊴3E

Vu que les termes A et F sont les termes extrˆemes de notre ensemble, nous pouvons consid´erer que le rapport de cardinalit´e d’un terme par rapport `a celle de A est le compl´ementaire du rapport de car- dinalit´e du mˆeme terme `a celle de F. En appliquant la propri´et´e de compl´ementarit´e : DL(QM, Q3) = QM−3+1= Q7⇒ E ⊴7F

Ainsi, nous avons exprim´e, en ayant recours aux propositions d’El-Sayed (2001) concernant la propagation des cardinalit´es relatives, la relation entre chaque terme de l’ensemble de d´epart et le terme maximum τ5. Ceci est fait avec Qβ parmi les degr`es de l’ensemble LQ9.

Les termes seront donc exprim´es dans l’ensemble linguistique L9 tels que chaque terme correspond `a τ_k′; k = β− 1. Pour l’exemple de l’odeur d’une substance, les termes seront repr´esent´es comme suit (Figure 4.8) :

— A :(τ₀′, L9) — B :(τ₅′, L9) — C : (τ₂′, L9) — D : (τ₃′, L9) — E :(τ₆′, L9) — F : (τ₈′, L9) A τ₀′ τ₁′ C τ₂′ D τ₃′ τ₄′ B τ₅′ E τ₆′ τ₇′ F τ₈′ Figure4.8 – Repr´esentation avec le multi-ensemble uniforme L9 Pour cet algorithme, les valeurs `a utiliser pour le partitionnement ne sont pas connues `a l’avance, seul leur effectif l’est. Leur traitement se fera `a la vol´ee. Cependant, il est n´ecessaire pour son bon fonctionnement que la comparaison de chaque terme se fasse par rapport `a un autre parmi ceux d´ej`a indiqu´es. De plus, l’utilisateur est limit´e `a 9 degr´es de comparaison. De mˆeme, la cardinalit´e de l’ensemble de termes non uniformes de d´epart ne

doit pas d´epasser 9 autrement des termes seront repr´esent´es par le mˆeme degr´e.