2.3.1
Principes de la construction du profil hydrique à partir de plusieurs
jeux de paramètres moyens
Dans les deux paragraphes précédents, nous nous sommes intéressés principalement au profil hy- drique obtenu lors d’une irrigation pour les humidités supérieures à une humidité initiale homogène, en négligeant volontairement l’humidité inférieure à celle-ci. Le but était de limiter l’intervalle dans lequel évoluait l’humidité du milieu afin de réduire l’impact de l’utilisation de paramètres moyens sur la qualité de la modélisation et de focaliser ainsi la modélisation sur l’événement d’irrigation
en lui-même. La simulation d’une irrigation au goutte à goutte sur le sol 3 a eu recours à deux jeux de paramètres pour borner le profil obtenu avec Hydrus-2D, un premier jeu de paramètres moyens représentant les fortes humidités, un second, les humidités proches de l’humidité initiale. Le recours à un troisième jeu de paramètres traitant les humidités entre la teneur en eau résiduelle et la teneur en eau initiale permet de représenter la redistribution du profil initial. Trois simulations sont ainsi réalisées, les paramètres moyens ci
D et ciH de chacunes de ces simulations sont associés
à un intervalle [θi
m, θiM] dans lequel la solution θi(x, z, t) est valide. Le profil d’humidité final est
obtenu en superposant les plages d’humidité valides de chaque simulation.
Fig. 2.3.1 – Comparaison de la modélisation semi-analytique (à gauche) / Hydrus-2D (à droite) pour le sol 3 en goutte à goutte (recomposition du profil à partir de trois simulations)
Cette méthode permet de reconstituer un profil à partir des n simulations réalisées et de repré- senter les effets capillaires dans la zone assèchée du profil initial (phénomène observé sur le profil simulé par Hydrus-2D sur la Fig. 2.2.6 et noté (1)).
La recomposition du profil donne la Fig. 2.3.1. La comparaison avec Hydrus-2D permet de constater une bonne cohérence entre les deux modèles, même si certains écarts subsistent. Une meilleure qualité de la simulation pourrait être obtenue en utilisant plus de trois simulations. Ceci entraînerait cependant le calage de nouveaux paramètres et une augmentation du temps de calcul. Cette nouvelle approche permet d’étendre le domaine de validité d’un modèle fondé sur l’hypo- thèse du sol linéaire. Les fortes restrictions de cette hypothèse ont été contournées en adaptant le domaine où cette hypothèse peut être valide à celui de l’étude. Le domaine d’humidité de l’étude a donc été divisé en plusieurs domaines dans lesquels la variation des propriétés hydrodynamiques du sol sont moins importantes que sur le domaine complet. Notons cependant que si ce procédé semble donner des premiers résultats satisfaisants, il ne permet pas de respecter la conservation de la masse. Indépendemment, chaque simulation conserve la masse, mais rien ne garantit cette conservation sur
la recomposition du profil d’humidité. Le non respect de la conservation de la masse pourra être quantifié par l’observation de l’erreur commise sur l’infiltration cumulée lors d’une irrigation par exemple.
2.3.2
Evaluation de la qualité de la modélisation sur différents cas d’ir-
rigation
Ce nombre de trois simulations, divisant l’intervalle [θr, θs] en trois intervalles d’humidité, est
conservé pour évaluer les nouvelles bornes du domaine de validité du modèle avec cette nouvelle approche. Nous allons donc définir des critères objectifs pour évaluer la qualité de la modélisation sur différents types de sol, en la comparant au code de référence Hydrus-2D.
Ces critères sont au nombre de 5 :
• L’écart quadratique moyen relatif entre le profil obtenu par Hydrus-2D et celui obtenu par le modèle développé (εθ).
• Le maximum des écarts quadratiques moyens relatifs entre les modèles sur une section hori- zontale du graphique (εX).
• Le maximum des écarts quadratiques moyens relatifs entre les modèles sur une section verticale du graphique (εZ).
• L’erreur relative entre l’infiltration cumulée simulée par Hydrus-2D et celle simulée par le modèle semi-analytique (εI).
• Le rapport entre les temps de calcul des deux modèles (τCPU).
εθ = v u u t 1 nXnZ nX X i=1 nZ X j=1
θH2D(i, j) − θMSA(i, j)
θH2D(i, j) 2 (2.3.1) εX = max j0=1,nZ v u u t 1 nX nX X i=1
θH2D(i, j0) − θMSA(i, j0)
θH2D(i, j0) 2 (2.3.2) εZ = max i0=1,nX v u u t 1 nZ nZ X j=1 θH2D(i0, j) − θMSA(i0, j) θH2D(i0, j) 2 (2.3.3) εI = |IH2D− IMSA| IH2D (2.3.4) τCPU = CPUMSA CPUH2D (2.3.5) avec
θH2D(i, j) : humidité simulée par Hydrus-2D au point (xi, zj)
θMSA(i, j) : humidité simulée par le modèle semi-analytique au point (xi, zj)
IH2D : infiltration cumulée simulée par Hydrus-2D
IMSA : infiltration cumulée simulée par le modèle semi-analytique
CPUH2D : temps CPU utilisé par Hydrus-2D
CPUMSA : temps CPU utilisé par le modèle semi-analytique
Concernant les temps de calcul, il convient de préciser les données de chaque simulation. La simu- lation avec le modèle semi-analytique a été réalisée en évaluant la solution du problème d’écoulement sur un maillage de 35 cellules en largeur sur 70 en profondeur, permettant une bonne précision de la visualisation des résultats. Ces valeurs peuvent être diminuées, car dans de nombreux cas, une telle précision de visualisation n’est pas nécessaire. Les simulations Hydrus-2D ont été réalisées sur un maillage non structuré comportant 3252 cellules dans le cas du goutte à goutte et 3637 dans le cas de l’irrigation à la raie. Le nombre de cellules utilisé par Hydrus-2D est donc plus élevé que celui du modèle semi-analytique, il est cependant nécessaire pour une convergence de la solution dans de bonnes conditions.
Le Tab. 2.3.1 donne ces critères numériques permettant de juger de la qualité de la modé- lisation. Il rassemble les caractéristiques des cas testés (type de sol et humidité initiale humide ou plus sèche, système d’irrigation simulé), les écarts quadratiques moyens, les erreurs relatives de simulation de l’infiltration cumulée et le rapport entre les temps de calculs requis pour la simulation.
Sol Type d’irrigation Humidité initiale εθ εX εZ εI τCPU
[cm3.cm−3] 1 Micro 0,4 0,36 % 0,79 % 0,91 % 9,5 % 35,0 % 1 Raie 0,35 0,51 % 0,80 % 2,02 % 3,2 % 25,8 % 1 Micro 0,35 0,67 % 0,97 % 1,21 % 7,0 % 15,2 % 1 Raie 0,3 0,87 % 1,14 % 2,42 % 6,7 % 23,5 % 2 Micro 0,325 1,01 % 1,98 % 2,50 % 7,5 % 26,9 % 2 Raie 0,3 3,17 % 5,33 % 8,77 % 4,6 % 25,0 % 2 Micro 0,275 1,54 % 2,13 % 2,76 % 8,0 % 13,5 % 2 Raie 0,25 2,51 % 5,03 % 7,21 % 6,7 % 22,9 % 3 Micro 0,275 6,03 % 13,24% 12,91% 12,5% 13,8 % 3 Raie 0,25 3,20 % 5,76 % 8,62 % 4,5 % 14,3 % 3 Micro 0,2 7,56 % 14,20% 13,02% 11,6 % 14,0 % 3 Raie 0,175 4,12 % 6,32 % 9,79 % 6,2 % 11,9 %
Tab.2.3.1 – Critères numériques des performances de la modélisation semi-analytique
Plusieurs points sont à noter concernant ce tableau. Tout d’abord, pour un type d’irrigation donné, la différence entre les deux modèles croît en général à mesure que la texture du sol devient plus grossière. Ce phénomène peut être dû à deux causes. En premier lieu, les variations des fonc- tions de van Genuchten sont moins importantes sur un sol à texture fine, les paramètres moyens représentent donc mieux ces fonctions sur un intervalle d’humidité donné. Une seconde raison est que le bulbe humide est moins étendu sur la totalité du domaine de l’étude et l’assèchement de la surface moins prononcé sur les sols à texture fine, l’écart quadratique y est donc négligeable sur une plus grande partie du domaine que dans les sols à dynamique plus rapide, abaissant ainsi l’écart quadratique moyen. Une humidité initiale plus faible nuit également à la qualité de la modélisa-
tion semi-analytique car elle entraîne une plus grande variation d’humidité au cours de la simulation. L’erreur relative sur l’évaluation de l’infiltration cumulée est une information précieuse. L’ecart quadratique moyen évalue l’erreur entre les deux modélisations sur le domaine complet de l’étude. Certains points ne sont pas affectés par l’écoulement (points éloignés de la surface, par exemple) et l’humidité en ces points ne varie pas pendant toute la durée de la simulation pour les deux types de modélisations. Ces points ne sont pas significatifs pour quantifier l’efficacité de la modélisation, ils participent cependant au calcul de l’écart quadratique moyen et contribuent donc à sa diminu- tion. L’erreur relative sur le calcul de l’infiltration cumulée ne commet pas cette sous-estimation puisqu’elle concerne directement la variation du stock hydrique dans le sol. La simulation semble meilleure dans le cas du sol 2. Les conditions aux limites sont les seuls problèmes élémentaires qui subissent un traitement numérique partiel. Le débit de faible intensité sur un segment de 2 cm, imposé dans le cas du sol 1, est difficilement représentable par le traitement numérique grossier mis en place actuellement dans le code. Le flux imposé est sous-estimé par le modèle dans le cas du goutte à goutte. Dans le cas du sol 3, ce sont les variations importantes de l’humidité qui sont à l’origine des écarts plus importants constatés.
Sur ces mêmes valeurs, on peut remarquer que l’écart quadratique maximum dans la direction verticale est plus élevé que celui de la direction horizontale dans le cas de l’irrigation à la raie. Ceci peut venir du fait que la condition à la limite d’une charge variable a été représentée de manière trop simple. En effet, celle-ci a été représentée dans un souci d’économie de temps de calcul par un polynôme de degré 2 qui n’est pas une approximation assez précise de la décroissance exponentielle attendue (voir paragraphe 2.2.2).
Concernant les temps de calculs, ils sont largement favorables à l’emploi de la modélisation semi-analytique. Notons cependant que les temps de calcul d’Hydrus-2D peuvent être légèrement réduits. En effet, nous n’avons pas cherché à optimiser le rapport entre pas d’espace du maillage et pas de temps, permettant ainsi de définir le meilleur temps de calcul. Même si les pas de temps gérés par Hydrus-2D sont adaptables en fonction de la dynamique de l’écoulement, une valeur initiale des pas de temps trop faible a pu augmenter les temps de calcul utilisés par la simulation numérique. Nous pouvons cependant rappeler que le temps de calcul du modèle semi-analytique dépend de la complexité du problème à décrire en termes de problèmes élémentaires (segments composant la surface et fonctions composant la condition intiale). Il traitera donc un événement de 2 jours ou de 2 h en utilisant le même temps de calcul si le nombre de problèmes élémentaires est le même. Le temps de calcul d’Hydrus-2D est quant à lui sensible aux gradients des variables mais également à la durée du phénomène simulé. Cependant, dans le cas d’un phénomène long, les gradients ont généralement tendance à s’atténuer et Hydrus-2D adapte ses pas de temps, réduisant ainsi le temps de calcul en fin de simulation. Notons également qu’une condition initiale complexe pourra produire des gradients importants (pénalisant les temps de calcul d’une méthode numérique) ainsi que l’augmentation du nombre de problèmes élémentaires dans le modèle semi-analytique.