5.2 Adaptation de FURINF à la problématique
5.2.2 Représentation bidirectionnelle du profil hydrique
La solution de l’équation de convection-diffusion à coefficients constants peut s’écrire en utilisant la fonction d’erreur complémentaire. Une solution de l’équation de Richards pour la teneur en eau peut être proposée en utilisant la même forme (β est un paramètre de calage de la fonction sur les valeurs remarquables de l’écoulement θ(zs) = θset θ(zf) = 12(θi+ θs). Il ne dépend que faiblement
du type de sol puisque cette dépendance est prise en compte dans le calcul de zset zf. β est sans
unité et de l’ordre de 2, 5). θ(z, t) = θi+ ∆θ 2 erfc β z − zf(t) zf(t) − zs(t) (5.2.3)
On peut ainsi calculer le flux de Darcy en utilisant l’équation de conservation de la masse en prenant comme condition initiale un flux nul à l’infini.
q(z, t) = − Z z
zmax
∂tθ(z, t)dz (5.2.4)
L’intégrale est convergente, elle donne certes une forme complexe mais explicite. Ainsi, le calcul des profondeurs de saturation et du front d’humectation permettent à eux seuls de représenter de
manière satisfaisante les profils de teneur en eau et de flux de Darcy. Les comparaisons des profils issus de FURINF et de Hydrus-1D sont représentés sur la Fig. 5.2.1 dans le cas d’une infiltration monodirectionnelle. 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 50 100 150 200 teneur en eau (-) z (cm) Profil analytique Profil Hydrus-1D 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 50 100 150 200 flux de Darcy (cm/h) z (cm) Profil analytique Profil Hydrus-1D
Fig.5.2.1 – Comparaison des profils analytiques avec ceux donnés par Hydrus-1D
5.2.2
Représentation bidirectionnelle du profil hydrique
Dans le cas bidirectionnel de l’irrigation à la raie, on reprend le même principe en se plaçant en coordonnées polaires. La valeur de la teneur en eau reste inchangée, en revanche, en considérant les lignes de courant radiales selon les hypothèses de FURINF, la valeur du flux de Darcy devient :
q(r, t) = −1 r
Z r
rmax
r∂tθ(r, t)dr (5.2.5)
Il convient cependant d’ajuster les valeurs données par FURINF concernant l’infiltration cu- mulée et le taux d’infiltration par direction d’infiltration. En effet, ces valeurs sont issues d’une résolution d’un problème monodirectionnel et le passage au cas bidirectionnel s’effectue par in- tégration sur l’ensemble de la raie et par ajustement grâce à un facteur de forme. FURINF, qui donnait les caractéristiques de l’infiltration en moyenne, a tout d’abord été modifié afin qu’il donne ces valeurs pour chaque direction d’infiltration. Des ajustements ont ensuite été réalisés pour mieux illustrer le caractère bidirectionnel de l’infiltration.
Concernant l’infiltration cumulée, l’égalité suivante permet de déterminer la profondeur du front d’humectation ajustée (Les variables utilisées sont illustrées sur la Fig. 5.2.2). Cette égalité signifie que l’eau infiltrée dans le sol entre les abscisses curvilignes sj et sj+1 est répartie dans la surface
du secteur circulaire délimité par les directions d’infiltration ωj et ωj+1.
λ(t) Z sj+1 sj I1Dds = ∆θ (ωj+1− ωj) 2 (zf+ Rc) 2− R2 c (5.2.6)
Concernant l’ajustement sur le taux d’infiltration, la même démarche que pour l’infiltration cu- mulée est utilisée. La profondeur de la zone saturée est ajustée de la manière suivante.
∆ω
sj+1 R c
sj z
f
Fig. 5.2.2 – Notations utilisées dans l’ajustement du front d’humectation bidirectionnel
λ(t) Z sj+1 sj q1Dds + ∂tλ(t) Z sj+1 sj I1Dds = Z sj+1 sj q(r0)ds (5.2.7) zs= Ks heff− hs q(r0) − γKs (5.2.8)
Nous parvenons à obtenir une correspondance satisfaisante entre le profil issu de FURINF et celui donné par Hydrus-2D comme le montre la Fig. 5.2.3. Cette figure représente une infiltration d’une durée de 4h sur un sol de type limono-argilo-sableux (Ks = 1, 4cm.h−1 et λc = 10cm),
en arrière plan, la figure représente les résultats obtenus avec Hydrus-2D, les rayons orthogonaux à la surface de la raie, superposés aux résultats d’Hydrus-2D, représentent les résultats obtenus avec l’adaptation de FURINF. Les écarts les plus importants sont observés sur les directions d’infil- tration trop proches de l’horizontale, là où les lignes de flux s’incurvent dès le début de l’infiltration.
Fig.5.2.3 – Comparaison des profils analytiques avec ceux donnés par Hydrus-2D
Le modèle représente de manière satisfaisante l’infiltration cumulée lors d’une irrigation à la raie sur un sol au profil uniforme. Le prise en compte d’un facteur de forme permet de corriger l’infiltration monodirectionnelle pour la faire correspondre au cas bidirectionnel. L’adaptation du modèle FURINF représente également correctement le profil hydrique dans le cas d’une irrigation à la raie. Les impacts de l’hypothèse d’un flux orthogonal à la surface de la raie sont réduits par la prise en compte des effets gravitaires selon l’angle des rayons d’infiltration.
Cependant, dans l’optique d’une représentation des transferts eau et solutés, les plans de flux nul jouent un rôle particulièrement important. Ils participent en grande partie au lessivage des nitrates concentrés en partie haute des billons vers les couches profondes, ainsi qu’à l’homogénéisation du profil de solutés. L’adaptation de FURINF n’est pas capable de simuler ces plans de flux nul. Il faudrait pousser encore plus loin cette adaptation, en considérant par exemple des transferts d’eau entre les directions d’infiltration lorsque le front d’humectation atteint les plans de flux nul. Cette nouvelle adaptation permettra certainement d’améliorer le modèle. Il restera cependant le traite- ment de la redistribution de l’eau dans le sol après irrigation. Le modèle FURINF n’est pas adapté à ce problème. Il faut donc étudier d’autres types de modélisation permettant de représenter direc- tement le profil de flux, problème principal qui ici encore nuit à l’efficacité de l’adaptation du modèle.
Chapitre 6
La modélisation analytique fondée
sur des bases mécanistes
Précédemment, nous avons évoqué les fortes contraintes de la simulation numérique appliquée à notre cas d’étude et la difficulté d’adapter les modélisations de type capacitif et le modèle FURINF à la problématique. Dans le premier cas, la complexité de la modélisation n’était pas toujours né- cessaire, ni exploitable à son maximum, de plus, cette complexité menait à une mise en place peu opérationnelle des simulations réalisées. Dans le second cas, le modèle ne représentait pas avec suf- fisamment de précision les phénomènes physiques à modéliser.
La modélisation analytique peut pallier dans certaines situations ces carences. Elle permet de représenter les phénomènes physiques de manière plus complexe qu’une modélisation conceptuelle, tout en évitant les fortes contraintes de convergence des simulations numériques. Elle a également l’avantage de donner une solution exacte à l’équation considérée en un point donné sans avoir re- cours à un processus itératif évaluant la solution dans tout le domaine de l’étude. La capacité de cette solution à représenter un phénomène réel reste cependant dépendant des approximations ef- fectuées pour obtenir l’équation à résoudre.
Le principe de ce type de modélisation est de résoudre les équations de transferts dans des cas particuliers où les solutions existent et dont l’expression est exploitable. De nombreuses simplifica- tions sont en général nécessaires pour atteindre ces cas particuliers. Ce type de modélisation doit être traité avec précaution car aux hypothèses de l’équation de Richards ou celles de l’équation de convection-diffusion se rajoutent de nouvelles hypothèses qui réduisent encore le domaine de validité. Parfois, des restrictions trop limitantes peuvent rendre ce type de modèle peu exploitable.
6.1
Résolution de l’équation de Richards
L’équation de Richards est une équation fortement non-linéaire à cause de la non-linéarité de la conductivité hydraulique ou de la diffusivité du sol. La transformation de Kirchhoff introduit le
potentiel de flux (6.1.1) qui permet une première simplification de l’équation de Richards (6.1.2) et (6.1.3) (où ∇2 est le laplacien) sans introduire aucune hypothèse supplémentaire.
φ = Z h hi K(h) dh = Z θ θi D(θ) dθ (6.1.1) C(h(φ))∂tφ = K(h(φ))∇2φ − ∂hK(h(φ))∂zφ (6.1.2) ∂tφ = D(θ(φ))∇2φ − ∂θK(θ(φ))∂zφ (6.1.3)
Cette nouvelle écriture est très souvent utilisée dans la résolution analytique de l’équation de Richards. En effet, l’introduction de modèles de conductivité hydraulique et de diffusivité adaptés permet la linéarisation partielle ou complète de cette équation. Le modèle du sol quasi-linéaire, utilisant l’équation de Gardner K(h) = Kseαh pour représenter la conductivité hydraulique a par
exemple l’avantage de transformer l’équation de Richards en l’équation quasi-linéaire (6.1.4) ou (6.1.5). C(h(φ)) K(h(φ))∂tφ = ∇ 2 φ − α∂zφ (6.1.4) 1 D(θ(φ))∂tφ = ∇ 2 φ − α∂zφ (6.1.5)