Equation de diffusion-convection de solutés

2.3 Le soluté dans le sol

2.3.4 Equation de diffusion-convection de solutés

De la même manière que dans le cas des transferts hydriques, l’équation générale régissant l’évolution d’un profil de soluté est obtenue en combinant l’équation de la conservation de la masse avec les équations de flux définies ci-dessus. Son écriture est cependant plus complexe, car elle doit prendre en compte les différentes phases dans lesquelles le soluté est présent dans le sol. L’équation de conservation de la masse relie ainsi les variations temporelles des concentrations de l’azote sous forme liquide, solide et gazeuse à la divergence de leurs flux. Les réactions biochimiques qui définissent la création ou la disparition de l’azote sous les trois états de la matière sont aussi à intégrer dans l’équation générale. Celle-ci peut donc s’écrire de la manière suivante

∂t(ρsN) + ∂t(θcN) + ∂t(aνgN) = ~ ∇.(θDh∇c~ N) + ~∇.(aνD g_~ ∇gN) − ~∇.( ~qhcN) − ScN r − µs(ρsN) − µh(θcN) − µg(aνgN) − γsρ − γhθ − γgaν (2.3.6) avec                         

ρ(x, z, t) : la densité apparente du sol en [M.L−3_]

aν(x, z, t) : la teneur en air volumique en [L3.L−3]

Dh : le tenseur de dispersion du soluté en phase liquide en [L2_.T₋₁_]

Dg : le tenseur de dispersion du soluté en phase gazeuse en [L2_.T−1_]

µs, µh, µg : les constantes de réactions du premier ordre en [T−1]

γs, γh, γg : les constantes de réactions d’ordre zéro en [T−1], [M.L−3.T−1] et [T−1]

ScN r : l’extraction de solutés par les racines de la plante en [M.L−3.T−1]

Cette équation très complexe peut cependant être simplifiée en négligeant certains termes qui n’entrent pas ou peu en jeu dans notre étude. Ainsi, en première approche, la phase gazeuse peut être négligée et les réactions réunies sous un seul terme du premier ordre. En utilisant l’équation de conservation de la masse d’eau et la relation linéaire liant sN et cN introduite précédemment, on

obtient

(θ + ρKd)∂tcN = ∇.(θD~

h_~

∇cN) − ~∇.( ~qhcN) − µhθcN− ScN r (2.3.7)

Malgré ses nombreuses simplifications, cette équation rend compte de manière satisfaisante des transferts de nitrate se produisant dans un sol cultivé. En effet, considérer la phase gazeuse négli- geable est possible dans certaines conditions. Le paragraphe 2.3.2 fait remarquer que dans des cas où le sol est bien aéré et où le fertilisant n’est pas apporté sous forme organique, les pertes par voies gazeuses sont réduites de manière notable.

Les transferts d’eau et de nitrate ont été ici présentés à deux échelles différentes. Un bilan global du système permettant de décrire les grandes tendances des transferts et une description obtenue par l’utilisation d’équations de transferts et de paramètres homogénéisés sur un sol considéré comme un milieu poreux. La première description est utilisée sur des grands pas de temps (pas de temps

journaliers) et respecte les équations de conservation de la masse. Elle est cependant incapable de représenter la dynamique de l’eau et des solutés dans le sol à une échelle de temps plus faible. La seconde approche, fondée sur des bases mécanistes, permet quant à elle une description plus précise des phénomènes se produisant dans le système. Les différents types de modélisation capables de rendre compte des transferts utilisent ces deux échelles de représentation. Leurs principes généraux sont présentés dans la suite de ce document. Cette présentation est suivie par une analyse des contraintes et des avantages dans le contexte de la problématique de l’étude. Leur analyse permet- tra de choisir le type de modélisation le mieux adapté.

Chapitre 3

Simulation numérique des transferts

eau-solutés

3.1 Principes

La modélisation numérique des transferts bidirectionnels permet de représenter le plus fidè- lement possible les phénomènes se produisant dans le sol. HYDRUS-2D, code de calcul qui fait référence dans la simulation de l’écoulement de l’eau dans un sol, utilise ce type de modélisation. Celle-ci consiste à résoudre les équations générales des transferts en les discrétisant sur un maillage représentant le sol étudié.

Les étapes de ce type de modélisation sont

• La construction du maillage (Fig. 3.1.1 à gauche, dans le cas d’HYDRUS-2D, il s’agit de mailles triangulaires) qui doit prendre en compte les particularités de la géométrie du domaine et peut être raffinée localement là où l’écoulement risque d’être rapide (en général, à proximité de la surface humide de la raie d’irrigation).

• La définition des conditions initiales et aux limites (Fig. 3.1.1 à droite) afin de définir l’état initial du sol et les contraintes à la frontière du domaine pendant la simulation (charge ou flux imposé sur une partie de la frontière).

• La discrétisation des équations de transferts sur le maillage en utilisant la méthode des élé- ments finis de Galerkin.

• Leur résolution qui se résume, après utilisation des éléments finis, à une itération de résolu- tions numériques d’un système linéaire.

La méthode des éléments finis consiste à projeter la solution des équations de transferts sur une base de fonctions Un continues. Ainsi, la solution h de l’équation de Richards bidirectionnelle peut

être approchée par h′

h′(x, z, t) =

n=1

Fig. 3.1.1 – Construction du maillage et définition des conditions initiales et aux limites par HYDRUS-2D (cas de l’irrigation à la raie)

avec     

N : le nombre de noeuds du maillage

hn(t) : les N coefficients à déterminer définissant h aux noeuds

Un(xm, zm) = δnm

La teneur en eau θ et la conductivité hydraulique K qui sont liées à la pression matricielle h par le modèle de van Genuchten, peuvent être projetées sur la même base.

θ′_{(x, z, t) =} N X n=1 Un(x, z)θn(t) (3.1.2) K′_{(x, z, t) =} N X n=1 Un(x, z)Kn(t) (3.1.3)

Pour discrétiser l’équation de Richards, on écrit tout d’abord que l’opérateur différentiel associé à l’équation de Richards est orthogonal à toutes fonctions Umde la base (Un)n=1,N(3.1.4). Le domaine

Ω est ensuite écrit comme la réunion des cellules du maillage, chacune occupant le domaine Ωe.

L’application de la transformation de Green permet de faire apparaître une intégrale sur la frontière afin de prendre en compte les conditions aux limites (3.1.5). Enfin, la substitution de la solution h par h′_{définie par (3.1.2), ainsi que celle de θ et K par θ}′_{et K}′_{transforment la somme d’intégrales sur}

les domaines Ωeen un système linéaire (3.1.6) dont les inconnues sont les vecteurs ~θ = (θn(t))n=1,N )

et ~h = (hn(t))n=1,N ). Z ΩU m ∂tθ − ~∇.(K(h)~∇h) + ∂zK(h) dΩ = 0 (3.1.4) X e Z Ωe ∂tθ Um+ K(h)~∇h.~∇Um− K(h)∂zUm dΩ −X e Z Γe (K(h)∂~nh Um− K(h)~ez.~n Um) dΓ = 0 (3.1.5) A∂t~θ(t) + B~h(t) = C~ (3.1.6)

Les valeurs de θ et K sont obtenues grâce aux modèles de van Genuchten et la résolution de ce système linéaire est effectuée par une méthode numérique adaptée (celle utilisée par HYDRUS-2D est le gradient conjugué). En considérant ∆t le pas de temps, cette résolution permet de calculer la valeur de ~h(t + ∆t) en fonction de ~h(t). La solution h(x, z, t) est alors obtenue par un proces- sus itératif dont la convergence dépend principalement de la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (condition CFL). Celle-ci définit une valeur limite de chaque pas de temps dépendant des caracté- ristiques du milieu et des pas d’espace.

L’équation de Richards peut être complétée par la prise en compte d’un terme source, représen- tant l’extraction racinaire. L’équation de convection-diffusion utilisée pour représenter l’évolution du profil de soluté est également résolue de la même manière et peut prendre en compte, l’extraction racinaire, la création ou la dégradation du soluté, ainsi que son adsorption et sa volatilisation.

HYDRUS-2D est un code de calcul très général. D’autres modélisations numériques ont été déve- loppées. Elles permettent la prise en compte d’une quantité de phénomènes moins importante, mais approfondissent, en revanche, l’étude d’un phénomène en particulier dont la complexité requiert une modélisation très précise. Ainsi, grâce à ce type de modélisation, certains auteurs (Aboujaoudé et al., 1991) étudient l’infiltration dans un sol encroûté en utilisant un maillage structuré adapté à la géométrie de la surface et d’autres (Mansell et al., 2002) proposent des méthodes permettant de mieux rendre compte des flux du sol en modifiant le maillage selon l’évolution du profil hydrique à chaque pas de temps.

Dans le document Modélisation analytique des transferts bi- et tridirectionnels eau-solutés - application à l'irrigation à la raie et à la micro-irrigation (Page 39-45)