Rendements d’Echelle

w^t(x^t, y^t;α^t, β^t)et∇_ln(y)D^t_exp(x^t, y^t;α^t, β^t) =−p˜^t(x^t, y^t;α^t, β^t) .

La correspondance des prix ajustés peut ainsi être définie de la manière suivante : ( ˜w^t,p˜^t) :R^m+n₊₊ ×[0,1]^m+n→2^Rm+n+

( ˜w^t,p˜^t) (x^t, y^t;α^t, β^t) = arg maxx,y

(

ΠCD(w^t, p^t)(x^t)^wt

(y^t)^pt :w^t·α^t+p^t·β^t = 1 )

. (2.39)

4 Les Notions Additionnelles

Dans cette section, nous abordons les concepts additionnels à la mesure exponentielle de l’ef-ficience. En effet, dans un premier temps, nous proposons une analyse des rendements d’échelle relatives à cette mesure. Dans un second temps, nous formalisons le fonction de distance exponen-tielle dans un cadre non-paramétrique.

4.1 Rendements d’Echelle

La notion de rendements d’échelle est étroitement liée au processus productif. Sachant que les mesures d’efficacité caractérisent les ensembles de production, il est intéressant d’analyser les liens existant entre ce concept et la focntion de distance exponentielle. Tout d’abord, nous abordons le cas des technologies à rendements d’échelle constants. Ensuite, nous explorons le cas des rendements d’échelle locaux et leurs implications.

4.1.1 Rendements d’Echelle Constants Notons queTln ln(x^t),ln(y^t)

= ln T++(x^t, y^t)

. Ainsi,Tln ln(x^t),ln(y^t)

= ln T ∩R^m+n₊₊

. Proposition 2.42 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , l’ensemble de production T^t(x^t, y^t)satisfait l’hy-pothèse de rendements d’échelle log-constants siT_ln^t ln(x^t),ln(y^t)

vérifie l’hypothèse de

rende-ments d’échelle constants.

Preuve :

Supposons queT_ln^t satisfait des rendements d’échelle constants. Ainsi, Pour toutλ^t >0si ln(x^t),ln(y^t)

∈T_ln^t alors, λ^tln(x^t), λ^tln(y^t)

Supposons que le processus productif d’une firme est caractérisée par une fonction de produc-tion Cobb-Douglas dont les rendements d’échelle sont constants, dans un cadre mono-output et multi-inputs. Ainsi, pour tout inputi = (1,· · · , m) ∈ [m], l’expression de la technologie relative à cette situation est :

Dans ce cas, il est possible d’obtenir l’expression des fonctions de distance exponentielle tels que pour toutγ^t>0avecP

P

En faisant intervenir l’équivalence entre la FDE et la FDN, nous obtenons :

D^t_exp(x^t, y^t; 0,11n)≡D_ln^t ln(x^t),ln(y^t); 0,11n

Ce résultat n’est pas surprenant puisque la technologie vérifie des rendements d’échelle constants.

4.1.2 Rendements d’Echelle Locaux et Spécifiques

Dans cette sous-section, nous nous intéressons aux différents types de rendements d’échelle s’intégrant aux processus de production. Les fonctions de production de type Cobb-Douglas mono-output et multi-inputs, peuvent être étendues aux cas où plusieurs facteurs et productions inter-viennent. Dans ce cas, ces fonctions Cobb-Douglas peuvent être définies de la manière suivante :

G^t_CD(x^t, y^t) = Y

i∈[m]

(x^t_i)^−γti Y

r∈[n]

(y_r^t)^ηtj . (2.45)

Notons que lorsquen = 1etη= 1alors, nous retrouvons la fonction Cobb-Douglas classique.

La définition ci-dessus permet de proposer une technologie Cobb-Douglas par morceaux.

Lemme 2.43 Soit le sous-ensembleA^t⊂R^m+n₊₊ tel que

est l’enveloppe convexe multiplicative deA^t.

Ainsi, la technologie de production classique peut être représentée par l’ensemble

T^t =

Nous utilisons les notions introduites ci-dessus afin de présenter une technologie de production dans un contexte spécifique. En effet, dans le cas d’une technologie Cobb-Douglas, elle peut être définie par l’ensemble présentée dans la proposition ci-dessous.

Proposition 2.44 Pour toutεj ∈Ravecj ∈ J, il existej fonctions Cobb-DouglasG^j,t_CD(x^t_j, y^t_j),

:j ∈ J . Il existe j fonctions linéaires telle que l’application ln(x^t),ln(y^t)

→ η_j^tln(y^t_j)− γ_j^tln(x^t_j) avec (γ^t, η^t) ∈ R^m+n₊ permet de réécrire la technolo-gie logarithmique de la manière suivante :

ln

La transformation exponentielle fournit le résultat de la Proposition 2.44.

Proposition 2.45 Pour tout (x^t, y^t) ∈ T^Gt ∩ R^m+n₊₊ , la technologie T^Gt ∩R^m+n₊₊ satisfait une hypothèse de :

(i) rendements d’échelle quasi-croissants si et seulement si, P

j∈J

η_j^t < P

j∈J

γ_j^t, (ii) rendements d’échelle quasi-décroissants si et seulement si, P

j∈J

η_j^t > P

j∈J

γ_j^t, (iii) rendements d’échelle quasi-constants si et seulement si, P

j∈J

η_j^t = P

j∈J

γ_j^t.

Preuves :

Pourn = 1etη^t>0, soit la fonction de production Cobb-Douglas classique suivante :

G^t_CD(x^t, y^t) = Y

i∈[m]γ_i^t/η^t > 1 alors, la technologie satisfait un rendement d’échelle quasi-croissant (i) tandis que, si P

i∈[m]γ_i^t/η^t < 1 alors, le processus productif vérifie un rendement d’échelle quasi-décroissant(ii). Enfin, lorsqueP

i∈[m]γ_i^t/η^t = 1alors, la technologie satisfait un rendement d’échelle quasi-constant. La généralisation de cette notion à un processus de production multi-output donne le résultat de la Proposition 2.45.

Nous pouvons considérer que les facteurs utilisés contribuent différemment à l’élaboration de chaque produit dans un processus de production. Ainsi, il est possible d’obtenir une indication du rendement d’échelle spécifique associé à chaque output r. On peut donc dire que le rendement d’échelle spécifique associé à l’outputrest :

(iv) croissant siη_r^t <P

4.1.3 Facettes Cobb-Douglas et Approximation de la Technologie On sait que pour toutj ∈ J, il existe un ensembleG_CD^⊔ =

++ est la transformation exponentielle de la technologie logarithmique, linéaire par

mor-ceauxln T^Gt ∩R^m+n₊₊

. Ainsi, on peut également affirmer que cette facetteF_CD^j,t est elle-même la transformation exponentielle d’une facette logarithmique linéaireF_ln^j,trelative àln T^Gt ∩R^m+n₊₊

. Dans ce cas, (x^t_j, y_j^t) ∈ R^m+n₊₊ montre localement un rendement d’échelle croissant, quasi-décroissant ou quasi-constant si :

(i) il existe une facetteF_CD^j,t telle que(x^t_j, y_j^t)appartient à l’intérieur relatif de celle-ci,

(ii) G^j,t_CD(x^t_j, y^t_j) satisfait une hypothèse de rendements d’échelle quasi-croissants, quasi-décroissants ou quasi-constants.

Supposons que( ˜w^t,p˜^t) ∈ R^m+n₊ soit la solution permettant l’optimisation de la fonction de distance exponentielle duale. Nous admettons qu’elle est unique pour l’observation (x^t_j, y_j^t). Si de plus, D^t_exp(x^t_j, y_j^t;α^t, β^t) = 0 alors, il existe une facette F_exp^j,t dont l’intérieur relatif contient

Dans ce cas, la nature des rendements d’échelle locaux peut s’apprécier par le ratio P

Grâce à cette fonction Cobb-Douglas implicite, il est également possible de donner une ap-proximation de la technologie Cobb-Douglas par morceaux. Pour toute observation j ∈ J avec

˜

w^t(x^t_j, y_j^t),p˜^t(x^t_j, y_j^t)

pour solution deD_exp^t (x^t_j, y_j^t;α^t, β^t)on a, l’ensemble de production

Cobb-Douglas caractérisé par :

T˜^Gt ∩R^m+n₊₊ = \

j∈J

n(x^t_j, y^t_j)∈R^m+n₊₊ : ˜G^t_CD(x^t_j, y_j^t)≤ε^t_jo

. (2.51)

Remarquons qu’un échantillon de données ne peut fournir toutes les facettes Cobb-Douglas de l’ensemble de productionT^Gt ∩R^m+n

++ . Afin d’obtenir le plus grand nombre de facettes, il semble nécessaire d’utiliser une méthode d’estimation inférentielle qui génère plus de données.

x^t y^t

0

•A

•B C•

D• IsoqT^t Π1

Π2

Π3

Π4

FIGURE 1 – Ensemble de production approximé

Sans perte de généralité et dans un contexte de technologie linéaire par morceaux, la figure 1 présente le processus d’approximation de la technologie de production. Soient les droites de profit qui, lorsqu’elles sont tangentes aux observations, maximisent le profit pour un couple ( ˜w^t,p˜^t).

L’intersection de ces droites permet d’approximer la structure de l’ensemble de production.