Cadre Non-Paramétrique

Cette sous-section est dévouée à la formalisation des notions présentées auparavant, dans le cadre d’une approche non-paramétrique par enveloppement de données (DEA). Banker et Main-diratta (1986) introduisent une nouvelle technologie multiplicative de type Cobb-Douglas selon le modèle DEA. En effet, la technologie de production DEA standard ne permet pas de prendre en compte les productivités marginales croissantes. Le nouvel ensemble de production qu’ils pré-sentent, permet de surmonter cet obstacle dans un contexte non-paramétrique par le biais d’une transformation logarithmique. Cependant, nous exposons d’abord quelques notions d’efficience

liées aux mesures définies dans les sections précédentes.

4.2.1 Efficience Technique, de Coût et de Revenu

Les mesures de distance mais également les fonctions de coût, de revenu et de profit permettent d’apprécier plusieurs notions d’efficience. En effet, on peut mesurer l’efficacité technique, de coût, de revenu, de profit, et allocative des entreprises grâce à celles-ci.

La première notion d’efficacité que nous allons voir, est celle du coût. Elle représente l’aptitude de l’entreprise à produire une quantité donnée d’outputs en réduisant au maximum ses coûts de production. Ce concept nécessite des informations sur les prix du marché lorsque ceux-ci sont exogènes à la firme. En effet, l’optimisation est effectuée relativement aux facteurs. L’efficience de coût exponentielle peut être exprimée comme suit :

CE_exp^t = (x^t)^wt C_CD^t

!1/α^tw^t

. (2.52)

La version logarithmique de celle-ci est définie de la manière suivante :

CE_ln^t = w^tx^t−C_ln^t

α^tw^t . (2.53)

Nous pouvons retrouver ce résultat en appliquant l’équivalence entre les coûts exponentiels et les coûts logarithmiques telle queC_CD^t (w^t, y^t) = exp (C_ln^t (w^t,ln(y^t))).

L’efficience de revenu est quant à elle, la capacité de l’entreprise à maximiser son revenu compte tenu du niveau de facteurs utilisé et des prix exogènes de la production. Dans ce cas, l’optimisation est relative à la quantité produite. De ce fait, l’efficacité de revenu est :

RE_exp^t =

R^t_CD (y^t)^pt

1/β^tp^t

, (2.54)

tandis que l’efficience de revenu logarithmique est :

RE_ln^t = R_ln^t −p^ty^t

β^tp^t . (2.55)

x^t₁ x^t₂

0

IsoqL^t(y^t)

• ˆx^t x^t_∗•

C^t

•x^t

FIGURE 2 – Efficacité de coût

y^t₁ y^t₂

0

IsoqP^t(x^t)

•

••

y^t ˆ y^t

y^t_∗ R^t

FIGURE3 – Efficacité de Revenu Les figures 2 et 3 décrivent respectivement les notions d’efficacité de coût et de revenu. Dans la première illustration, la distanced(x^t, x^t_∗)représenteCE^tselon le vecteur de directiong^t= (1,1).

Dans la seconde figure, la distanced(y^t, y^t∗)correspond à l’efficience de revenuRE^t.

L’efficience de profit désigne l’habileté de la firme à maximiser son profit relativement aux prix des facteurs et des produits sur le marché. Ces derniers sont considéré comme exogènes. Dans ce cas, l’optimisation se fait par rapport au niveau des intrants et des extrants. Soit l’efficience de profit exponentiel définie par :

P E_exp^t = Π^t_CD (x^t)^wt (y^t)^pt

!1/(^αtwt+βtpt)

. (2.56)

Et, l’efficience de profit népérien est :

P E_ln^t = Π^t_ln−(p^ty^t−w^tx^t)

α^tw^t+β^tp^t . (2.57)

La figure ci-dessus décrit l’efficacité de profit telle que celle-ci est constituée par la distance d (x^t, y^t),(x^t∗, y∗^t)

suivant le vecteur de directiong^t= (1,1).

Les notions d’efficience présentées ci-dessus peuvent être considérées comme étant les effi-ciences globales (OE) ou efficacité économique. L’efficience globale orientée en input est l’effi-cacité de coût, celle orientée en output correspond à l’efficience de revenu et celle orientée dans le graphe renvoie à l’efficacité de profit. Les efficiences globales exponentielles et népériennes

x^t y^t

0

IsoqT^t(x^t, y^t)

•

• (ˆx^t,yˆ^t) (x^t_∗, y^t_∗)•

(x^t, y^t) Π^t

FIGURE 4 – Efficacité de Profit

peuvent être décomposées de la manière suivante :

OE_exp^t =T E_exp^t ×AE_exp^t , OE_ln^t =T E_ln^t +AE_ln^t , (2.58) oùT E^tetAE^tsont respectivement l’efficacité technique et allocative.

L’efficacité technique représente la capacité de l’entité de production à produire le maximum d’outputs pour un niveau donné d’inputs (orientation en output) ou bien son aptitude à utiliser le minimum de facteurs pour une quantité définie de produits (orientation en input). Selon une orientation dans le graphe, cette efficience désigne l’habileté de la firme à produire le plus d’out-puts en utilisant le moins d’ind’out-puts. Les fonctions de distance permettent de déterminer celles-ci.

Ainsi, selon les travaux de Mehdiloozad et al. (2014), on peut exprimer la mesure exponentielle de l’efficacité technique (T E_exp^t ) comme suit :

T E_exp^t = exp

D_ln^t ln(x^t),ln(y^t);α^t, β^t

≡exp D_exp^t (x^t, y^t;α^t, β^t)

. (2.59)

Ainsi, on peut dire qu’une firme est techniquement efficiente lorsque son ensemble de pro-duction appartient à la frontière efficiente. Suivant Luenberger (1992a, 1992b) et Chambers et al.

(1996), on peut statuer que :

De manière analogue, dans un contexte logarithmique, l’efficacité technique est caractérisée par :

Dans les figures 2, 3 et 4, les efficacités techniques sont représentées respectivement par les distancesd(x^t,xˆ^t),d(y^t,yˆ^t)etd (x^t, y^t)(ˆx^t,yˆ^t)

.

L’efficience allocative intervient lorsque l’entreprise alloue ses ressources dans des proportions optimales qui lui permettent de minimiser ses coûts compte tenu des prix des facteurs sur le marché.

Ainsi, il est possible de déterminer celle-ci grâce à la décomposition de l’efficacité économique telle que :

AE_exp^t = OE_exp^t

T E_exp^t (2.64)

AE_ln^t =OE_ln^t −T E_ln^t . (2.65)

Dans les trois illustrations précédentes, les efficacités allocatives correspondent à la distance entre les frontières efficientes et les droites de coût, de revenu ou de profit. Ainsi, elles sont repré-sentées par les distancesd( ˆx^t, x^t∗),d(ˆy^t, y^t∗)etd (ˆx^t,yˆ^t),(x^t∗, y∗^t)

.

4.2.2 Approche Primale

Pour toute unité de production j ∈ J, soit la technologie multiplicative T_CD^t présentée par Banker et Maindiratta (1986) suivante :

Notons que cet ensemble de production opère sous l’hypothèse de rendements d’échelle variables.

Dans un contexte à rendements d’échelle constants, la normalisationP

j∈J θ_k^t = 1est relaxée. Par ailleurs, lorsque cette technologie est strictement positive alors T₊₊^t = T_CD^t ∩R^m+n₊₊ c’est-à-dire que(x^t, y^t)∈R^m+n₊₊ .

La transformation logarithmique de l’ensemble de production strictement positive engendre la technologie de production népérienne ou logarithmique suivante :

T_ln^t = Cette dernière est structurellement identique à une technologie DEA standard (Banker et al.

(1984)). Ainsi, nous pouvons affirmer que la technologie népérienne est un ensemble de production log-linéaire par morceaux.

La figure 5 décrit la technologie multiplicative de type Cobb-Douglas présentée par Banker et Maindiratta (1986). La figure 6 quant à elle, présente la technologie népérienne obtenue grâce à la transformation logarithmique de l’ensemble multiplicative. Notons que lorsque(x^t, y^t)∈]0,1]^m+n alors, ln(x^t),ln(y^t)

∈R^m+n₋ .

Grâce aux définitions de T_CD^t et de T_ln^t, nous présentons le programme d’optimisation qui permet d’évaluer la fonction de distance exponentielle. Pour toute observation j ∈ J tel que (x^t_j, y_j^t)∈T₊₊^t aveci∈[m]inputs etr∈[n]outputs, soient les programmes suivants :

x^t

FIGURE 6 – Technologie népérienne log-linéaire par morceaux.

Les programmes (2.68), (2.69) et (2.70) sont respectivement ceux des fonctions de distance exponentielles orientées en input, en output et dans le graphe. Notons que ces programmes d’op-timisation sont relatifs à des rendements d’échelle variables et, sont non-linéaires. Sachant que

D_ln^t (ln(x^t),ln(y^t);α^t, β^t)≡D_exp^t (x^t, y^t;α^t, β^t)alors, nous obtenons : D_ln^t ln(x^t),ln(y^t);α^t,0

= maxδ^t

s.c ln(x^t)−δ^tα^t ≥X

j∈J

θ_j^tln(x^t_j) ln(y^t)≤X

j∈J

θ_j^tln(y_j^t) (2.71)

δ^t, θ^t≥0, X

j∈J

θ^t_j = 1.

D^t_ln ln(x^t),ln(y^t); 0, β^t

= maxδ^t

s.c ln(x^t)≥X

j∈J

θ_j^tln(x^t_j) ln(y^t) +δ^tβ^t≤X

j∈J

θ_j^tln(y_j^t) (2.72) δ^t, θ^t≥0, X

j∈J

θ^t_j = 1.

D^t_ln ln(x^t),ln(y^t);α^t, β^t

= maxδ^t

s.c ln(x^t)−δ^tα^t≥X

j∈J

θ_j^tln(x^t_j) ln(y^t) +δ^tβ^t ≤X

j∈J

θ^t_jln(y_j^t) (2.73) δ^t, θ^t≥0, X

j∈J

θ_j^t = 1.

Nous pouvons voir que ces programmes sont linéaires. Il est donc possible d’estimer grâce à la méthode de programmation linéaire, la valeur de la fonction de distance exponentielle puisqu’elle est équivalent à la fonction de distance népérienne.

Lorsqu’une analyse sous l’hypothèse de rendements d’échelle constants est souhaitée, il est nécessaire de relaxer la normalisation sur les pondérationsP

j∈J θ_j^t = 1.

4.2.3 Approche Duale

Cette sous-section présente une manière d’estimer la mesure de distance exponentielle selon un point de vue dual..

Rappelons que pour tout inputi∈ [m]et tout outputr ∈[n], la fonction de distance exponen-tielle duale, orientée en input, est définie par :

D_exp^t (x^t, y^t;α^t,0) = inf

La figure 2 démontre que l’efficacité technique est supérieure ou égale à la droite de coût. Ainsi, nous pouvons réécrire la fonction ci-dessus de la manière suivante :

D^t_exp(x^t, y^t;α^t,0) = inf

Notons qu’une normalisation est effectuée au niveau des pondérations telle que w^t·α^t = 1.

Pour tout(x^t_j, y^t_j)∈T₊₊^t avecj ∈ J, le programme associé à cette mesure est le suivant :

Puisque la FDE est équivalente à la FDN, nous pouvons obtenir la première en estimant la seconde. Ainsi, après une transformation logarithmique, nous avons le programme linéaire suivant :

D^t_ln ln(x^t),ln(y^t);α^t,0

La fonction de distance exponentielle duale orientée en output, est quant à elle, définie par :

La figure 3 nous montre que la mesure de l’efficacité technique est inférieure ou égale à la droite de revenu. Ainsi, nous pouvons reformuler la fonction ci-dessus comme suit :

D^t_exp(x^t, y^t; 0, β^t) = sup

Nous appliquons également une normalisation sur les pondérations telle que p^t ·β^t = 1. Le programme rattaché à cette définition est la suivante :

D^t_exp(x^t, y^t; 0, β^t) = maxδ^t

La transformation logarithmique ainsi que l’équivalence entre la FDE et la FDN permettent un estimation de la mesure d’efficience grâce à la méthode de programmation linéaire. Dans ce ca, nous avons le programme linéaire suivant :

D_ln^t ln(x^t),ln(y^t); 0, β^t

Dans le graphe de la technologie, rappelons que la fonction de distance exponentielle duale est la suivante :

La figure 4 indique que l’efficacité technique est inférieure ou égale à la droite de profit. Dans ce cas, nous pouvons réécrire la définition comme suit :

D_exp^t x^t, y^t;α^t, β^t

= sup

x,y







δ^t: Π^t_CD(w^t, p^t)(x^t)^wt (y^t)^pt

!1/(α^tw^t+β^tp^t)

≥e^δt, w^tα^t+p^tβ^t= 1





 . (2.80) Le programme d’optimisation à résoudre est alors :

D_exp^t x^t, y^t;α^t, β^t

= maxδ^t

s.c Π^t_CD(w^t, p^t)(x^t)^wt

(y^t)^pt ≥e^δt (2.81)

δ^t, w^t, p^t≥0, w^tα^t+p^tβ^t= 1.

Nous pouvons obtenir la mesure ci-dessous grâce à l’équivalence entre la FDE et la FDN.

Dans ce ca, l’efficacité technique est estimée selon la méthode de la programmation linéaire et, le programme d’optimisation à résoudre est la suivante :

D^t_ln ln(x^t),ln(y^t);α^t, β^t

= maxδ^t

s.c Π^t_ln(w^t, p^t)− p^tln(y^t)−w^tln(x^t)

≥δ^t (2.82)

δ^t, w^t, p^t≥0, w^tα^t+p^tβ^t= 1.

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté une nouvelle mesure de l’efficacité technique qui a une forme exponentielle et, est log-additive. Nous avons vu que dans ce cas, elle est structurellement similaire à la mesure directionnelle de Luenberger (1992b). Nous avons constaté que cette fonction de distance est duale à des pseudo fonctions de coût, de revenu et de profit non-linéaires. Il n’est pas étonnant d’obtenir ce type de fonctions non-linéaires lorsque des facteurs internes et externes influencent le processus de production ou bien, lorsque la relation entre les inputs et les outputs n’est pas linéaire. Ces pseudo fonctions de coût, de revenu et de profit sont structurellement si-milaires à la fonction de production Cobb-Douglas. En ce sens, leurs exposants sont reliés à la

notion de rendements d’échelle. Dans la dernière section de ce chapitre, nous donnons une for-malisation non-paramétrique aux nouvelles mesures selon une approche par enveloppement des données lorsque l’ensemble de production considéré est de type Cobb-Douglas (Banker et Main-diratta (1986)).

Ces nouvelles fonctions sont des outils de mesure alternatifs à la performance lorsque l’analyse est effectuée dans le graphe de la technologie et, lorsque les ensembles de production considèrent des productivités marginales croissantes. En effet, lorsque la méthode DEA est retenue, les tech-nologies de production usuelles sont linéaires et ne permettent que des productivités marginales non-croissantes. Or, la réalité ne se conforme pas à cette vision simplifiée. Ainsi, dans certains sec-teurs d’activité tels les nouvelles technologies, où les productivités marginales peuvent être stric-tement croissantes, l’analyse de la performance peut être réalisée grâce à cette nouvelle mesure de l’efficacité.

Le chapitre suivant traite également d’une nouvelle mesure de distance qui combine la structure de la fonction de distance directionnelle et celle de la technologie de référence présentée par Färe et al. (1988).

Une Mesure Additive Non-linéaire de

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