Indicateur Exponentiel de Luenberger-Hicks-Moorsteen

Les indicateurs de productivité de Luenberger présentent des infaisabilités. En effet, ce cas peut survenir lorsque les mesures de distance croisées sont évaluées. Ainsi, Briec et Kerstens (2004) introduisent un nouvel indicateur basé sur les mesures directionnelles, qui permet d’éviter ces éventuels infaisabilités. La mesure de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen (LHM) dépend

des indicateurs de quantité de Luenberger. Nous présentons d’abord sa formulation exponentielle par rapport à la période(t)puis,(t+ 1). Enfin, nous définissons l’indicateur de productivité global de LHM relativement aux deux périodes successives.

2.2.1 Indicateur de la Période(t)

L’indicateur de productivité de LHM de la période(t)est évalué grâce à la différence entre la mesure de quantité de Luenberger orientée en output et celle orientée en input de la période (t).

Ainsi, en s’inspirant des travaux de Briec et Kerstens (2004), nous pouvons définir un indicateur de productivité LHM exponentiel pour la période(t)tel que celui-ci dépend des mesures de distance exponentielles présentées dans le Chapitre 2.

Définition 4.16 Pour tout(x^t, y^t)∈R^m+n₊₊ ,(x^t+1, y^t+1)∈R^m+n₊₊ tels queξ^t = (α^t, β^t)∈[0,1]^m+n et ξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1) ∈ [0,1]^m+n, l’indicateur de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen exponentiel de la période(t)est défini de la manière suivante :

LHM_exp^t x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

=OL^t_exp x^t, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1

−IL^t_exp x^t, x^t+1, y^t;α^t, α^t+1

, (4.27)

où OL^t_exp(x^t, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1) et IL^t_exp(x^t, x^t+1, y^t;α^t, α^t+1) sont les mesures de quantité de Luenberger orientées respectivement en output et en input de la période(t).

Ces mesures de quantité de Luenberger ne sont pas les mesures initialement introduites par Chambers et al. (1996b). En effet, afin de résoudre les problèmes d’infaisabilités, Briec et Kersents (2004) font intervenir des observations fictives composées simultanément des observations des périodes (t) et (t + 1). Lorsque la mesure de quantité de Luenberger est axée sur les intrants alors, les extrants sont considérés comme fixes. Inversement, lorsqu’elle est orientée en output, les facteurs sont considérés comme stables.

Proposition 4.17 Pour tout (x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avec(α, β) ∈ 0×[0,1]ⁿ ou (α, β) ∈[0,1]^m×0, les indicateurs de quantité de Luenberger exponentiels orientés en output et

en input de la période(t)sont respectivement :

Nous pouvons observer que les mesures de quantité en output et en input font respectivement intervenir les observations(x^t, y^t+1)et(x^t+1, y^t). Les fonctions de distance exponentielles croisées relatives à celles-ci sont définies comme suit :

D^t_exp x^t, y^t+1; 0, β^t+1

Ainsi, l’indicateur de productivité de LHM exponentiel de la période(t)signifie que la mesure de productivité est estimée relativement à l’ensemble de production de la période(t). L’équivalence entre la fonction de distance exponentielle et la mesure de distance népérienne permet d’établir la proposition ci-dessous.

Proposition 4.18 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avec (α, β) ∈ 0×[0,1]ⁿ ou (α, β)∈ [0,1]^m×0, les indicateurs de quantité de Luenberger exponentiels orientés en output et en input de la période(t)peuvent être réécrites de la manière suivante :

OL^t_exp x^t, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1 respecti-vement les mesures de quantité de Luenberger népériennes en output et en input de la période (t).

Corollaire 4.19 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avec (α, β) ∈ 0×[0,1]ⁿ ou (α, β)∈ [0,1]^m×0, les indicateurs de quantité de Luenberger népériens orientés en output et en

input de la période(t)sont :

OL^t_ln ln(x^t),ln(y^t),ln(y^t+1);β^t, β^t+1

=D_ln^t ln(x^t),ln(y^t); 0, β^t

−D^t_ln ln(x^t),ln(y^t+1); 0, β^t+1 , (4.32) IL^t_ln ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t);α^t, α^t+1

=D_ln^t ln(x^t+1),ln(y^t);α^t+1,0

−D_ln^t ln(x^t),ln(y^t);α^t,0 . (4.33)

Ainsi, les deux mesures de distance croisées présentées ci-dessous sont :

D^t_ln ln(x^t),ln(y^t+1); 0, β^t+1

= sup

δ

δ^t(t+1) : ln(x^t),ln(y^t+1) +δ^t(t+1)β^t+1

∈T_ln^t , D^t_ln ln(x^t+1),ln(y^t);α^t+1,0

= sup

δ

δ^t(t+1) : ln(x^t+1)−δ^t(t+1)α^t+1,ln(y^t)

∈T_ln^t . Corollaire 4.20 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avecξ^t = (α^t, β^t) ∈ [0,1]^m+n et ξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1) ∈ [0,1]^m+n, l’indicateur de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen exponentiel de la période(t)peut être caractérisé comme suit :

LHM_exp^t x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

≡LHM_ln^t ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1

=OL^t_ln (ln(x^t),ln(y^t),ln(y^t+1);β^t, β^t+1)

−IL^t_ln(ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t);α^t, α^t+1). (4.34) De manière similaire à l’indicateur de productivité de Luenberger, lorsque la mesure de pro-ductivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen est positive (respectivement négative) alors, il existe un gain (respectivement une perte) de productivité tandis qu’une valeur nulle indique qu’il n’y a pas de modification de la performance entre les deux périodes successives.

2.2.2 Indicateur de la Période(t+ 1)

Dans cette sous-section, nous présentons l’indicateur de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen exponentiel de la période(t+ 1). Ce dernier est évalué relativement à la technologie de production de la période(t+ 1).

Définition 4.21 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n

++ ,(x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n

++ avec ξ^t = (α^t, β^t) ∈ [0,1]^m+n

et ξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1) ∈ [0,1]^m+n, la mesure de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen exponentielle de la période(t+ 1)est définie de la manière suivante :

LHM_exp^t+1 x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

=OL^t+1_exp x^t+1, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1

−IL^t+1_exp x^t, x^t+1, y^t+1;α^t, α^t+1

, (4.35)

où OL^t+1_exp(x^t+1, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1) et IL^t+1_exp(x^t, x^t+1, y^t+1;α^t, α^t+1) sont respectivement les indi-cateurs de quantité de Luenberger exponentiels orientés en output et en input de la période(t+ 1).

Nous pouvons donner une définition plus détaillée de ces mesures de quantité de Luenberger orientées grâce à la fonction de distance exponentielle.

Proposition 4.22 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avec (α, β) ∈ 0×[0,1]ⁿ ou (α, β)∈ [0,1]^m×0, les indicateurs de quantité de Luenberger exponentiels orientés en output et en input de la période(t+ 1)sont :

OL^t+1_exp x^t+1, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1

=D^t+1_exp x^t+1, y^t; 0, β^t

−D_exp^t+1 x^t+1, y^t+1; 0, β^t+1

, (4.36) IL^t+1_exp x^t, x^t+1, y^t+1;α^t, α^t+1

=D^t+1_exp x^t+1, y^t+1;α^t+1,0

−D_exp^t+1 x^t, y^t+1;α^t,0

. (4.37)

Les mesures de distance exponentielles croisées qui font intervenir les observations fictives (x^t+1, y^t)et(x^t, y^t+1), définies par :

D_exp^t+1 x^t+1, y^t; 0, β^t

= sup

δ

nδ^t+1(t) :

x^t+1, e^δt+1(t)βty^t

∈T₊₊^t+1o , D_exp^t+1 x^t, y^t+1;β^t,0

= sup

δ

nδ^t+1(t) :

e^{−δt+1(t)αt}x^t, y^t+1

∈T₊₊^t+1o .

Proposition 4.23 Sachant que la fonction de distance exponentielle est équivalente à la mesure de distance népérienne, pour tout(x^t, y^t)∈R^m+n₊₊ ,(x^t+1, y^t+1)∈R^m+n₊₊ avec(α, β)∈0×[0,1]ⁿou (α, β)∈ [0,1]^m×0, les indicateurs de quantité de Luenberger exponentiels orientés en output et

en input de la période(t+ 1)peuvent être exprimés de la manière suivante :

OL^t+1_exp x^t+1, y^t, y^t+1;β^t, β^t+1

≡OL^t+1_ln ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);β^t, β^t+1

, (4.38) IL^t+1_exp x^t, x^t+1, y^t+1;α^t, α^t+1

≡IL^t+1_ln ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t+1);α^t, α^t+1

, (4.39)

oùOL^t+1_ln (ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);β^t, β^t+1)etIL^t+1_ln (ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t+1);α^t, α^t+1)sont res-pectivement les indicateurs de quantité de Luenberger népériens orientés en output et en input.

Corollaire 4.24 Pour tout (x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avec (α, β) ∈ 0× [0,1]ⁿ ou (α, β) ∈ [0,1]^m ×0, les mesures de quantité de Luenberger népériennes orientés en output et en input de la période(t+ 1)sont définies par :

OL^t+1_ln ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);β^t, β^t+1

=D_ln^t+1 ln(x^t+1),ln(y^t); 0, β^t

−D^t+1_ln ln(x^t+1),ln(y^t+1); 0, β^t+1

(4.40)

IL^t+1_ln ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t+1);α^t, α^t+1

=D^t+1_ln ln(x^t+1),ln(y^t+1);α^t+1,0

−D_ln^t+1 ln(x^t),ln(y^t+1);α^t,0

. (4.41)

Dans ce cas, les mesures de distance népériennes croisées orientées en output et en input, relatives aux observations(ln(x^t+1),ln(y^t))et(ln(x^t),ln(y^t+1))sont respectivement :

D_ln^t+1 ln(x^t+1),ln(y^t); 0, β^t

= sup

δ

δ^t+1(t) : ln(x^t+1),ln(y^t) +δ^t+1(t)β^t

∈T_ln^t+1 , D_ln^t+1 ln(x^t),ln(y^t+1);α^t,0

= sup

δ

δ^t+1(t) : ln(x^t)−δ^t+1(t)α^t,ln(y^t+1)

∈T_ln^t+1 .

Corollaire 4.25 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n₊₊ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n₊₊ avecξ^t = (α^t, β^t) ∈ [0,1]^m+n et ξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1) ∈ [0,1]^m+n, l’indicateur de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen

exponentiel de la période(t+ 1)peut être redéfini comme suit :

LHM_exp^t+1 x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

≡LHM_ln^t+1 ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1

=OL^t+1_ln (ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);β^t, β^t+1)

−IL^t+1_ln (ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t+1);α^t, α^t+1). (4.42) 2.2.3 Indicateur Global de Luenberger-Hicks-Moorsteen Exponentiel

Les indicateurs de productivité LHM exponentiels des périodes(t)et(t+ 1)permettent d’ob-tenir une mesure globale relative à ces deux périodes successives. Celle-ci est constituée par la moyenne arithmétique des indicateurs des périodes(t)et(t+ 1).

Définition 4.26 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n

++ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n

++ avecξ^t = (α^t, β^t) ∈ [0,1]^m+n et ξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1) ∈ [0,1]^m+n, l’indicateur de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen exponentiel global est défini par :

LHMexp x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

= 1 2

LHM_exp^t x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

+LHM_exp^t+1 x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

. (4.43) Nous avons établi précédemment que les indicateurs de productivité LHM exponentiels et né-périens en(t)et en(t+ 1)sont équivalents. Nous pouvons constater cette similitude au niveau de la mesure de productivité globale.

Proposition 4.27 Pour tout(x^t, y^t) ∈R^m+n₊₊ ,(x^t+1, y^t+1)∈R^m+n₊₊ avecξ^t = (α^t, β^t)∈[0,1]^m+n etξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1)∈[0,1]^m+n, l’équivalence suivante est valable :

LHMexp x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;ξ^t, ξ^t+1

≡LHMln ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1 , (4.44) oùLHMln(ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1)est la mesure de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen népérienne globale.

L’indicateur de productivité de LHM népérien global est également obtenu grâce à la moyenne arithmétique des indicateurs de productivité de LHM népériens des période(t)et(t+ 1).

Corollaire 4.28 Pour tout(x^t, y^t) ∈ R^m+n

++ , (x^t+1, y^t+1) ∈ R^m+n

++ avecξ^t = (α^t, β^t) ∈ [0,1]^m+n et ξ^t+1 = (α^t+1, β^t+1) ∈ [0,1]^m+n, l’indicateur de productivité de Luenberger-Hicks-Moorsteen népérien global est :

LHMln ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1

= 1

2

LHM_ln^t ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1

+LHM_ln^t+1 ln(x^t),ln(x^t+1),ln(y^t),ln(y^t+1);ξ^t, ξ^t+1

. (4.45)

x^t y^t

0

IsoqT_ln^t IsoqT_ln^t+1

• ln(x^t+1),ln(y^t+1)

•

ln(x^t),ln(y^t) •

ln(x^t+1),ln(y^t)

•

ln(x^t),ln(y^t+1)

g^t= (−h^t, k^t)

FIGURE 2 – Indice de productivité exponentiel de Luenberger-Hicks-Moorsteen.

La figure 2 décrit les mesures de distance dans le cadre de l’estimation de l’indicateur de pro-ductivité de LHM exponentiel global. Les pointillés et les lignes rouges sont relatifs aux mesures de distance intervenant dans l’évaluation des indicateurs de quantité de Luenberger orientés en out-put des périodes(t)ou(t+1). Les pointillés et les lignes bleus concernent quant à eux, les mesures de quantité de Luenberger orientées en input des périodes(t)et (t+ 1). Nous pouvons constater

qu’aucune infaisabilité ne peut survenir dans l’estimation de l’indicateur de productivité de LHM puisque la projection de chaque observation rencontre effectivement, les frontières efficientes de T_ln^t et, deT_ln^t+1.

Dans le document Etude de l'efficience en économie de la production : de nouvelles mesures de l'efficacité et leurs extensions théorie et applications (Page 190-198)