Les Indices et les Indicateurs de Productivité Usuels

Dans cette sous-section, nous présentons deux types de mesures de la productivité. La première grandeur fait intervenir des fonctions de distance radiales et, ont une structure multiplicative. Nous nous y référons comme étant les "indices" de productivité. La seconde mesure est basée sur les fonctions de distance non-radiales. Elle est structurellement additive et, nous leur attribuons le terme "indicateur" de productivité.

3.1.1 Les Indices de Productivité de Malmquist

Suite aux travaux de Malmquist (1953), les indices de productivité de Malmquist ont été pré-sentés par Caves et al. (1982a, 1982b). Ils reposent sur les fonctions de distance de Shephard. En ce sens, les auteurs introduisent des mesures de productivité orientées en input et en output.

Les indices de productivité de Malmquist axés sur les intrants des périodes(t)et(t+ 1)sont respectivement définis par :

M_I^t(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = D_I^t(x^t+1, y^t+1) D_I^t(x^t, y^t)

M_I^t+1(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = D_I^t+1(x^t+1, y^t+1) D_I^t+1(x^t, y^t) .

Le premier est le ratio entre la mesure de Shephard en input des observations de la période (t+ 1) relativement à la technologie de la période (t) et, la mesure de Shephard en intrant des observations de la période(t)relativement à la technologie de la même période.

Les deux indices présentés ci-dessus ne sont périodiques. Cependant, Färe, Grosskopf, Lind-gren et Roos(1989) introduisent la notion d’indice de productivité global de Malmquist. Ainsi, la mesure de productivité globale de Malmquist orientée en input est représentée par :

MI(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = M_I^t(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1)×M_I^t+1(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1)1/2

=

D_I^t(x^t+1, y^t+1)

D^t_I(x^t, y^t) × D^t+1_I (x^t+1, y^t+1) D^t+1_I (x^t, y^t)

1/2

.

Cette grandeur se présente comme étant la moyenne géométrique des deux indices de productivité périodiques de Malmquist. Lorsque la valeur de cette mesure est inférieure à 1 (respectivement supérieure à 1) alors, il existe un gain de productivité (respectivement une perte de productivité).

Par ailleurs, lorsqu’elle est égale à 1, la productivité de l’entreprise reste stable.

De manière analogue, les indices de productivité de Malmquist orientés en output des périodes

(t)et(t+ 1)sont respectivement définis par :

M_O^t(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = D_O^t(x^t+1, y^t+1) D^t_O(x^t, y^t)

M_O^t+1(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = D_O^t+1(x^t+1, y^t+1) D^t+1_O (x^t, y^t) .

Ces deux indices sont basés sur les mesures de Shephard axées sur les extrants des observations des période(t)et(t+ 1)relativement aux technologiesT^tetT^t+1.

L’indice de productivité global de Malmquist orienté en output est la suivante :

MO(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = M_O^t(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1)×M_O^t+1(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1)1/2

=

D^t_O(x^t+1, y^t+1)

D^t_O(x^t, y^t) × D_O^t+1(x^t+1, y^t+1) D_O^t+1(x^t, y^t)

1/2

.

L’interprétation de la mesure de productivité globale de Malmquist en output est l’inverse de celle suivant une orientation en input. Ainsi, lorsque sa valeur est inférieure à 1 (respectivement su-périeure à 1), l’unité de production fait face à une perte de productivité (respectivement un gain de productivité) d’une période sur l’autre. Une valeur égale à 1, signifie que la performance de l’entreprise reste inchangée.

Les indices de productivité de Malmquist indiquent s’il y a eu gain ou perte de productivité d’une période sur une autre. Cependant, ils ne permettent pas de connaître les sources de ces varia-tions. De ce fait, Nishimizu et Page (1982) proposent une décomposition des indices de producti-vité globaux afin de différencier les gains ou les pertes de performance imputables au changement d’efficacité technique et au progrès technique. Suite à ces travaux, Färe et al. (1989) proposent une décomposition des mesures de productivité globales de Malmquist en termes de variation de la performance et de mutation technologique.

L’indice de productivité global de Malmquist axé sur les facteurs peut être reformulé de la manière suivante :

MI(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) = D_I^t+1(x^t+1, y^t+1) D_I^t(x^t, y^t) ×

D_I^t(x^t+1, y^t+1)

D^t+1_I (x^t+1, y^t+1)× D_I^t(x^t, y^t) D^t+1_I (x^t, y^t)

1/2

.

tels que

EF F CH_I = D_I^t+1(x^t+1, y^t+1) D_I^t(x^t, y^t) T ECH_I =

D_I^t(x^t+1, y^t+1)

D^t+1_I (x^t+1, y^t+1)× D_I^t(x^t, y^t) D^t+1_I (x^t, y^t)

1/2

.

EF F CHI désigne le changement de l’efficacité technique entre la période(t) et la période (t+ 1). Lorsque ce ratio est inférieur à 1, il y a un gain de performance qui est dû à une hausse de l’efficacité technique. En ce sens, l’unité de production réussit à produire plus d’outputs en uti-lisant moins d’inputs (meilleure allocation des ressources) tout en gardant le même processus de production.T ECH_I quant à lui, fait référence à la variation de la performance qui peut être impu-tée au progrès technologique. Lorsque cette grandeur est inférieure à 1, on peut en déduire qu’une partie du gain de productivité de l’entreprise a été induite par une transformation technologique du processus productif.

De manière similaire, l’indice de productivité global de Malmquist orienté en output peut éga-lement être décomposé. En suivant le même raisonnement logique que dans le cas d’une orientation en intrant, on obtient les composantes EF F CH_O et T ECH_O de l’indice de productivité global en output. Notons que les valeurs de ces composantes sont interprétées de manière inverse à celles obtenues selon une orientation en input.

La figure 24 présente les différentes mesures de Shephard orientées en output. Il est à noter que y^t+1(t) ety^t(t+1) sont les projections respectives de y^tet dey^t+1 sur les frontières des technologie T^t+1 etT^t. Ainsi, l’indice de productivité de Malmquist orienté en output de la période(t)est :

M_O^t = 0y^t+1

0y^t(t+1) × 0y^t_∗ 0y^t tandis que l’indice global de Malmquist est :

MO(x^t, y^t;x^t+1, y^t+1) =

0y^t+1

0y^t(t+1) × 0y∗^t

0y^t × 0y^t+1 0y∗^t+1

× 0y^t+1(t) 0y^t

1/2

.

Lorsqu’une observation de la période(t+ 1)est projetée sur la frontière de la technologie de production, la mesure de l’efficience technique peut être négative.

x^t y^t

0

IsoqT^t IsoqT^t+1

x^t y^t

y_∗^t

•

x^t+1 y^t+1

y_∗^t+1

• y^t+1(t)

y^t(t+1)

FIGURE 24 – Indice de productivité de Malmquist orienté en output.

3.1.2 Les Indicateurs de Productivité de Luenberger

Chambers et al. (1996b) présentent les indicateurs de productivité de Luenberger et, les nomment ainsi en l’honneur de Luenberger (1992a, 1992b). Ces mesures de la productivité sont fondées sur les fonctions de distance directionnelles. De ce fait, elle peuvent être définies suivant trois orienta-tions possibles.

Soientg^t = (h^t,0)etg^t+1 = (h^t+1,0). Les indicateurs de productivité de Luenberger orientés en input des périodes(t)et(t+ 1)sont respectivement :

L^t_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) =D^t(x^t, y^t;h^t,0)−D^t(x^t+1, y^t+1;h^t+1,0) L^t+1_I (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) = D^t+1(x^t, y^t;h^t,0)−D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1,0).

Le premier est constitué de la différence entre les mesures directionnelles des observations (x^t, y^t)et (x^t+1, y^t+1) par rapport à la technologie T^t. En revanche, le second est composé de la différence entre les mesures directionnelles des couples (x^t, y^t) et (x^t+1, y^t+1) relativement à la technologieT^t+1.

Nous pouvons également définir un indicateur de productivité global de Luenberger par rapport aux deux périodes. La mesure de globale orientée en input est caractérisée de la manière suivante :

LI(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1,0,0) = 1 2

hL^t_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1)

+L^t+1_I (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1)i .

Nous pouvons constater que la grandeur définie ci-dessus est la moyenne arithmétique des indicateurs des périodes(t)et(t+ 1).

Soient g^t = (0, k^t) et g^t+1 = (0, k^t+1). De manière analogue à l’orientation en intrant, les indicateurs de Luenberger orientés en output sont :

L^t_O(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) =D^t(x^t, y^t; 0, k^t)−D^t(x^t+1, y^t+1; 0, k^t+1) L^t+1_O (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) =D^t+1(x^t, y^t; 0, k^t)−D^t+1(x^t+1, y^t+1; 0, k^t+1).

La première mesure concerne la période (t) tandis que la seconde est relative à la période (t + 1). L’indicateur de productivité global de Luenberger orienté en output est mesuré par la moyenne arithmétique des deux indicateurs périodiques. Il se présente comme suit :

LO(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1; 0,0, k^t, k^t+1) = 1 2

hL^t_O(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1)

+L^t+1_O (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;, k^t, k^t+1)i .

Contrairement à l’indice de productivité de Malmquist, l’indicateur de productivité de Luen-berger peut être défini selon une orientation dans le graphe. En posant g^t = (h^t, k^t) et g^t+1 = (h^t+1, k^t+1), les indicateurs des périodes(t)et(t+ 1)sont respectivement :

L^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1) =D^t(x^t, y^t;h^t, k^t)−D^t(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1) L^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1) =D^t+1(x^t, y^t;h^t, k^t)−D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1).

Le mesure de la productivité globale de Luenberger relative aux deux périodes est donc :

L(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1) = 1 2

L^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1)

+L^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1) .

Il est également possible d’identifier les sources du gain (ou de la perte) de performance révélé par les indicateurs de productivité. Ainsi, nous décomposons les mesures de productivité de Luen-berger en deux composantes. La première reflète un gain d’efficacité technique d’une période par rapport à une autre et la seconde met en évidence un changement technologique dans le processus de production. Dans le cas de l’indicateur de productivité global de Luenberger orienté dans le graphe, ces deux composantes sont respectivement :

EF F CH = D^t(x^t, y^t;h^t, k^t)−D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1),

T ECH = 1

2

h D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1)−D^t(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1) +D^t+1(x^t, y^t;h^t, k^t)−D^t(x^t, y^t;h^t, k^t)i

,

où EFFCH est la variation de l’efficacité technique tandis que TECH est le changement tech-nologique. A partir de ces deux composantes, on peut reformuler la mesure de productivité globale de Luenberger orientée dans le graph, de la manière suivante :

L(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1) =

D^t(x^t, y^t;h^t, k^t)−D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1) +1

2

D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1)−D^t(x^t+1, y^t+1;h^t+1, k^t+1) +D^t+1(x^t, y^t;h^t, k^t)−D^t(x^t, y^t;h^t, k^t)

.

La Figure 25 présente deux technologies de production relatives à deux périodes consécutives, (t)et(t+ 1). Soit le pointAqui correspond à l’observation(x^t, y^t)de la période(t)tandis queB est le couple(x^t+1, y^t+1)de la période(t+ 1). Selon une orientation dans le graphe, les mesures

x^t y^t

0 (g^t, g^t+1)

IsoqT^t IsoqT^t+1

•

•

•

A A^′′

A^′

• B

•B^′ B•^′′

FIGURE 25 – Indicateurs de productivité de Luenberger orientés dans le graphe.

d’efficacité en terme de distance algébrique de ces observations sont les suivantes : D^t(x^t, y^t;g^t) = 1

kg^tkkA^′−Ak D^t+1(x^t+1, y^t+1;g^t+1) = 1

kg^t+1kkB^′′−Bk D^t+1(x^t, y^t;g^t) = 1

kg^tkkA^′′−Ak D^t(x^t+1, y^t+1;g^t+1) = 1

kg^t+1kkB−B^′k.

De ce fait, l’expression de l’indicateur de productivité global de Luenberger selon la distance algébrique est :

L(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;g^t, g^t+1) = 1 2

1

kg^tk(kA^′−Ak+kA^′′−Ak)

− 1

kg^t+1k(kB−B^′k+kB^′′−Bk)

.

3.1.3 La Relation entre les Indices de Productivité de Malmquist et les Indicateurs de Pro-ductivité de Luenberger

Boussemart, Briec, Kerstens et Poutineau (2003) démontrent qu’il existe une relation d’ap-proximation linéaire entre les indicateurs de productivité de Luenberger et les indices de producti-vité de Malmquist. Ainsi, pourg^t= (x^t, y^t)etg^t+1= (x^t+1, y^t+1)lorsque la FDD coïncide avec la FDP alors, sous l’hypothèse de rendements d’échelle constants et, suite aux relations d’équivalence entre les mesures de Debreu-Farrell et la FDP, les auteurs établissent que :

ln (M_I(x^t, y^t, x^t+1, y^t+1)) ∼= −2.L(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1) ln (MO(x^t, y^t, x^t+1, y^t+1)) ∼= 2.L(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1) ln (M_I(x^t, y^t, x^t+1, y^t+1)) ∼= −L_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1) ln (MO(x^t, y^t, x^t+1, y^t+1)) ∼= LO(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1) L(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1) ∼= 1

2[LO(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1)

−L_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1,;g^t, g^t+1)].

On peut constater que les mesures de productivité de Luenberger peuvent être approximées par les logarithmes des indices de productivité de Malmquist. Rappelons que ces relations ne sont valables que si les technologies de production étudiées opèrent sous l’hypothèse de rendements d’échelle constants.

Balk, Färe, Grosskopf et Margaritis(2008) prouvent quant à eux, que les mesures de producti-vité de Malmquist et de Luenberger sont équivalentes lorsque certaines conditions sont respectées.

Les résultats qu’ils présentent ne sont valables que si les unités de productions sont techniquement efficients à chaque période avec g^t = (x^t, y^t) et g^t+1 = (x^t+1, y^t+1). Supposons que (x^t, y^t) et (x^t+1, y^t+1) appartiennent respectivement aux frontières efficientes des technologies T^t etT^t+1. En posant la même hypothèse que Caves et al. (1982a) telle queD^t_I(x^t, y^t) = D_I^t+1(x^t+1, y^t+1) = D_O^t(x^t, y^t) = D_O^t+1(x^t+1, y^t+1) = 1 ainsi que D^t(x^t, y^t;h^t,0) = D^t+1(x^t+1, y^t+1;h^t+1,0) = D^t(x^t, y^t; 0, k^t) = D^t+1(x^t+1, y^t+1; 0, k^t+1) = 0, alors pour chaque

période, les relations suivantes existent :

M_I^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) = [1 +L^t_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1)]⁻¹ M_I^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) = 1−L^t+1_I (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) M_O^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) = [1−L^t_O(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1)]⁻¹ M_O^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) = 1 +L^t+1_O (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) .

Grâce à ces équivalences, il est alors possible d’exprimer les indices de productivité globaux de Malmquist en fonction des indicateurs de productivité de Luenberger de telle sorte que :

MI(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) =

1−L^t+1_I (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) 1 +L^t_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1)

1/2

MO(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) =

1 +L^t+1_O (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) 1−L^t_O(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1)

1/2

.

De la même manière, on peut obtenir l’expression des indicateurs de productivité de Luenber-ger en fonction des indices de productivité de Malmquist comme suit :

L^t_I(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) = (M_I^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1))⁻¹−1 L^t+1_I (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) = 1−M_I^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1) L^t_O(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) = 1−(M_O^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1)⁻¹ L^t+1_O (x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) = M_O^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1)−1 .

Par conséquent, les indicateurs de productivité globaux de Luenberger sont : LI(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;h^t, h^t+1) = 1

2

h(M_I^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1))⁻¹−M_I^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1)i L^t_O(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1;k^t, k^t+1) = 1

2

hM_O^t+1(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1)−(M_O^t(x^t, x^t+1, y^t, y^t+1)⁻¹i .

Nous pouvons noter que les travaux de Balk et al. (2008) ne présentent que les relations d’équi-valence selon une orientation en inputs ou en outputs.

3.2 Les Extensions des Mesures de Productivité de Malmquist et de

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