Le coût de la maintenance corrective de la portion de ligne associé à Cj est cj
cor > cjpre. Ce coût reste délicat à estimer et est interprété ici comme le coût engendré par l’urgence d’une demande de maintenance. À terme, ce coût peut inclure le coût d’immobilisation d’un véhicule autonome dû à une ligne de marquages non-détectable. Dans cette thèse, le coût correctif est estimé par le produit (5.3) d’une pénalité r > 1 avec le coût préventif
cjpre. En guise d’illustration sur la RN4, une pénalité d’ordre r = 3 est proposée et une sensibilité à ce paramètre est proposée.
cjcor = r × cj
pre (5.3)
Certaines stratégies de maintenance comprennent le coût d’inspection. Ce coût est proportionnel au nombre de points de mesure d’un cluster (5.4) avec ci le coût unitaire d’inspection. Exemple, sur une base de ci = 5, le coût d’inspection du cluster 1 (420 points de mesures) de la RN4 est cj
ins = 2100.
cjins= ci×#Cj (5.4)
5.3 Remplacement systématique par zone
Cette section propose de traiter une ligne de marquages comme un seul composant dont la durée de vie est distribuée par une loi de Weibull à deux paramètres W(α, β). Deux stratégies de remplacement préventif et systématique classiques sont envisagées : par rapport à l’âge et par bloc (Arnljot et Rausand 2009).
5.3.1 Loi de Weibull de référence
Le remplacement basé sur l’âge et par bloc sont tous les deux basés sur la loi de durée de vie. Le chapitre 4 montre que l’algorithme WEM développé dans cette thèse est en mesure de proposer une loi de Weibull pour un cycle de vie donné. Le nombre de cycles disponibles ne permet pas de vérifier rigoureusement la stabilité de la loi par cycle. Une loi de Weibull de référence par cluster basée sur l’ensemble des cycles de vie est dans ce cas proposée.
Soit un cluster Cj proposé par la segmentation d’une ligne de marquages établie par une CAH du suivi de la rétro-réflexion (section 3.2.2) et composé de n > 1 marquages. Supposons que M > 1 cycles de vie observés sur le cluster (éventuellement établis par le détecteur de maintenance proposé à la section 3.2.3). La durée de vie observée sur le marquage i ∈J1 ; nK au cours du cycle m ∈ J1 ; MK est notée tmi . Son niveau de censure (gauche, intervalle ou droite) est δtm
i . Par généralisation, Cj correspond à l’ensemble des durées de vie observées (et associées à une censure) au cours des M > 1 cycles de vie.
Cj =n
(tm i , δtm
i )
i ∈J1 ; #CjK ; m ∈ J1 ; MKo (5.5) Les durées de vie présentées sur Cj sont supposées i.d.d. L’algorithme WEM présenté
au chapitre 4 est donc en mesure d’établir une analyse de Weibull et d’estimer les censures inhérentes aux techniques d’inspection actuelles. Finalement, la loi de Weibull de référence du cluster Cj établie par l’algorithme EM est notée W(αj, βj).
5.3.2 Remplacement par rapport à l’âge
Soit la portion de ligne de marquages associée au cluster Cj et de loi de durée de vie W(αj, βj). L’âge de la ligne est défini par le temps écoulé depuis le dernier remplacement. Une stratégie de remplacement préventive et systématique par rapport à l’âge consiste à remplacer la portion de ligne à l’âge T∗. Le pas de maintenance évite au maximum la défaillance et minimise le coût de maintenance par unité de temps sur un horizon infini.
0 Maintenance préventive Coût : 𝑐𝑝𝑟𝑒𝑗 Maintenance préventive Coût : 𝑐𝑝𝑟𝑒𝑗 Maintenance corrective Coût : 𝑐𝑝𝑟𝑒𝑗 + 𝑐𝑐𝑜𝑟𝑗 𝑇∗ 𝑇∗ Temps
Figure 5.2 – Principe du remplacement basé sur l’âge.
La figure 5.2 illustre les enjeux de cette stratégie. Un remplacement préventif et sys-tématique est planifié à l’âge T∗. Si une défaillance apparait entre deux remplacements, un coût de remplacement correctif entraine un coût additionnel k. Dans cette situation, l’échéancier est remis à 0. L’intervalle de temps T∗ ne doit être ni trop faible ni trop élevé afin d’éviter la sur-maintenance ou un temps d’indisponibilité élevé (Arnljot et Rausand 2009). C(t) = cjpre+ cj corFj(t) Z t 0 Rj(x) dx = c j pre+ cj cor 1 − e−(t/αj)βj αjΓ(1 + 1 βj) (5.6)
Le remplacement d’une ligne est supposé parfait et garantit un retour à l’état "aussi bon que neuf". Le théorème du renouvellement identifie la fonction (5.6) comme le coût moyen de maintenance par unité de temps sur un horizon infini (Arnljot et Rausand 2009) avec Fj et Rj les fonctions de répartition et de fiabilité associées à W(αj, βj). Finalement, le pas de maintenance optimum est le minimum de la fonction C(t) :
T∗= {T / C(T ) = min
t>0 C(t)} (5.7)
Le coût asymptotique à long terme correspond également au coût par unité de temps d’un remplacement exclusivement correctif et est donné par la fonction (5.8). Ce coût dépend de la durée moyenne entre deux replacements1 (MT BR). Cette durée associée à
5.3. REMPLACEMENT SYSTÉMATIQUE PAR ZONE 99 la loi W(αj, βj) est αjΓ(1 + 1/βj) avec Γ(x) =R+∞
0 tx−1e−t dt la fonction gamma. C(∞) = lim t→+∞C(t) = cjpre+ cj cor R+∞ 0 Rj(x) dx = cjpre+ cj cor M T BR = cjpre+ cj cor αjΓ(1 + 1/βj) (5.8) Soit r = cjcor
cjpre >1 la pénalité financière associée à une maintenance corrective. Le ratio
C(t)
C(∞) mesure le bénéfice financier d’une maintenance préventive à t > 0 par rapport au tout correctif. Si C(t)
C(∞) > 1, alors un remplacement correctif à t > 0 est économiquement plus intéressant. Dans le cas contraire, un remplacement préventif est plus adéquat. Le ratio minimal est atteint à C(T∗)
C(∞) ; le pas de maintenance préventif le plus intéressant.
C(t) C(∞) = 1 + r(1 − e−(t/αj)βj) Rt 0e−(x/αj)βj dx × αjΓ(1 + 1/βj) 1 + r (5.9)
5.3.3 Remplacement par bloc
0 Maintenance préventive Coût : 𝑐𝑝𝑟𝑒𝑗 Maintenance préventive Coût : 𝑐𝑝𝑒𝑣𝑗 Maintenance corrective Coût : 𝑐𝑝𝑟𝑒𝑗 + 𝑐𝑐𝑜𝑟𝑗 𝑇∗ 𝑇∗ Temps
Figure 5.3 – Principe du remplacement par bloc.
Soit la portion de ligne de marquages associée au cluster Cj de loi de durée de vie W(αj, βj). Une stratégie de remplacement préventive et systématique par bloc consiste à remplacer la portion de ligne à l’horizon T∗, 2T∗, 3T∗, .... Le pas de maintenance évite au maximum la défaillance et minimise le coût de maintenance par unité de temps sur un horizon infini.
La figure 5.3 illustre les enjeux de cette stratégie. Comme pour le remplacement par rapport à l’âge, un pas de maintenance préventif T∗ est mis en place. Si une défaillance apparait entre deux remplacements, un remplacement correctif entraine un coût addition-nel cj
cor. Cependant, contrairement au remplacement par rapport l’âge, l’échéancier est inchangé (Arnljot et Rausand 2009).
C(t) = cjpre+ cj
corWj(t)
t (5.10)
Le remplacement d’une ligne est également supposé parfait et garantit un retour à l’état "aussi bon que neuf". Le théorème du renouvellement identifie la fonction (5.10) comme le coût moyen de maintenance par unité de temps sur un horizon infini (Arnljot et Rausand 2009) où Wj est le nombre de défaillances moyen sur l’intervalle [0, t]. Ce dernier est formellement défini par le processus de renouvellement (5.11) où Fj est la
fonction de répartition associée à W(αj, βj) (Barlow et Proschan 1996). Wj(t) = +∞ X n=1 Fj(n)(t) = +∞ X n=1 Z t 0 Fj(n−1)(t − x) dF (x) (5.11)
Une importante variante complète cette stratégie. Si une panne apparait entre deux échéances de remplacement, (Barlow et Hunter 1961) proposent de réaliser une répa-ration minimale au lieu d’un remplacement complet. Deux cas particuliers sont le recours à des pièces de rechange et accepter l’hypothèse d’une réparation imparfaite. Sous l’hypo-thèse du recours à k > 0 pièces de rechange, la fonction coût (5.10) se dote (5.12) d’un coût de réparation crep et d’un processus de durée de vie ˜Tk(t) = t −Pk+1
i=1 Ti avec Ti la durée de vie de la pièce de rechange i i.d.d par sa loi de durée de vie.
C(t) = cpre+ ccorWj(t) + crepE[ ˜Tk(t)]
t (5.12)
L’hypothèse d’une réparation imparfaite conduit à une redéfinition du processus Wj. Il est suffisant de se ramener au processus de renouvellement proposé par l’un des modèles classiques de réparation imparfaite : modèle de Brown et Porschan (Brown et Proschan 1983) (Block et al. 1985) (Lim 1998), modèle de réduction du taux de défaillance (Chan et Shaw 1993) (Doyen et Gaudoin 2002) ou le modèle de réduction de l’âge (Malik 1979) (Doyen et Gaudoin 2002). Comme le montre la section 2.2, le remplacement de marquage est l’unique action de maintenance possible. Par ailleurs, la technologie actuelle ne propose pas de "marquage de rechange". Dans le cas contraire, cela impliquerait de toute façon une stratégie de remplacement "au marquage près" qui est impossible d’un point de vue logistique.
Dans le cas d’une distribution de Weibull W(αj, βj), (Smith et Leadbetter 1963) ont démontré que le processus Wj peut être interprété comme une série alternée absolument convergente (5.13). Les auteurs recommandent une étude à part entière pour chaque couple (αj, βj) car des simplifications peuvent apparaitre. Exemple : Wj(t) = t/αj si βj = 1.
Wj(t) = +∞ X n=1 (−1)n−1× An×( t αj)nβj Γ(nαj+ 1) (5.13) An= γn− n−1 X k=1 γkAn−k (5.14) γk= Γ(kβj + 1) k! (5.15)
Cette approche reste très complexe à mettre en oeuvre. C’est pour cette raison que différents estimateurs de Wj sont proposés. Un état de l’art est réalisé dans (Arnljot et Rausand 2009). Le plus courant est la fonction Fj de répartition associée à W(αj, βj) mais il sous-entend que la durée de vie du système est courte (Arnljot et Rausand 2009). Cette particularité est en adéquation avec les marquages routiers. Finalement, le
5.4. REMPLACEMENT CONDITIONNEL PAR ZONE 101