Modèle de Weibull de mélange

La CAH propose, après lecture du dendrogramme, une segmentation en deux clusters présentés sur la figure 4.5. Le premier cluster (rouge) est géographiquement localisé à Sommesous. Il regroupe les censures à droite et des défaillances à 30 mois (Septembre

4.4. ÉTUDE DE CAS : LA ROUTE NATIONALE 4 87 2010). Le second cluster (bleu) regroupe Courgivaux et Vitry-le-François et présente les censures à gauche et des défaillances à horizon 18 et 30 mois. La loi de Sommesous est initiée à W(37.37, 6.51) et l’algorithme WEM propose après 16 itérations la loi Weibull W(38.08, 3.22). Le papier Weibull ne rejette pas l’hypothèse de Weibull (R2= 0.99) mais Evans-Johnson-Green oui (R2

EJ G = 0.73). Pour Courgivaux & Vitry, l’algorithme WEM est initié à W(27.44, 3.77) et propose après 32 itérations la loi W(20.56, 4.001). Les tests ne rejettent pas l’hypothèse de Weibull (R2= 0.97 et R2

EJ G= 0.87).

La table 4.3 présente l’analyse de Weibull par clusters. Les marquages de Sommesous défaillent soit à 24.72 mois (mars 2010), soit à 49.04 mois (avril 2012). Les marquages restants défaillent à 14.07 ou 22.23 mois (mai 2009 et janvier 2010 respectivement). Les deux clusters ont finalement un nombre plus restreint de dates de défaillance. Le cas Som-mesous est très proche d’une distribution avec seulement deux dates de défaillance. Cette observation explique que le "papier Weibull" dispose d’un R2 extrêmement proche de 1 et le rejet d’Evans-Johnson-Green. À l’inverse, les marquages de Courgivaux & Vitry ob-servent une plus grande diversité dans les dates de défaillance. Finalement sous ce modèle de mélange, la campagne de maintenance de mars 2012 est justifiée dans la région de Som-mesous mais un remplacement complet début 2010 aurait été plus adéquat à Courgivaux et Vitry-le-François. La fonction de fiabilité associée au modèle de mélange est donnée par :

R_{M ixed}(t) = ⁵⁵₉₂e^{−(t/38.08)3.22}+³⁷₉₂e^{−(t/20.56)4} (4.38) La figure 4.6 présente les quatre fonctions de fiabilité associées aux deux clusters (table 4.3), au modèle simple (table 4.1) et le modèle de mélange (4.38).

6 18 30 42 Time (Months) 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 Retroreflection luminance (mcd/m²/lx) Minimum retroreflection Other cities Sommesous

Figure 4.5 – Rétro-réflexion observée des marquages posés en mars 2008 et remplacés en mars 2012.

Table 4.3 – Analyse de Weibull par clusters du cycle de maintenance cycle 2008-2012.

Cluster ^Observed_failure Numbers ^Estimated_failure Sommesous W(38.08, 3.22) [18, 30], 2
33 (36%) 24.72 (March 2010) [30, 42], 2
2 (2%) 35.85 (February 2011) 42, 3
20 (22%) 49.04 (April 2012) Courgivaux & Vitry

W(20.56, 4.001) 6, 1
2 (2%) 4.80 (Jully 2008) [6, 18], 2
14 (18%) 14.07 (May 2009) [18, 30], 2
21 (23%) 22.23 (January 2010) [30, 42], 2
1 (1%) 31.45 (October 2010) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Time (Months) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Reliable functions Sommesous : W(38.08,3.22) Courgivaux & Vitry : W(20.56,4.001) Single : W(31.55,2.42)

Mixte

4.5. SYNTHÈSE ET CONCLUSIONS 89

4.5 Synthèse et conclusions

Le chapitre 3 montre que le suivi d’une ligne de marquages peut être entaché de données manquantes à compléter. Ce chapitre 4 montre que les inspections basées sur un rétro-réflectomètre dynamique comme Ecodyn ont le défaut de (statistiquement) censurer la durée de vie des marquages indépendamment du niveau de rétro-réflexion minimal souhaité. En accord avec le formalisme proposé par (Sathyanarayanan et al. 2008), trois types de censures sont identifiés : à gauche pour un marquage défaillant dès la première inspection, par intervalle si la défaillance intervient entre deux inspections et à droite si aucune défaillance est observée. Cependant, les travaux de cette thèse réfutent la possibilité d’observer une défaillance exacte avec les rétro-réflectomètres actuels.

La loi de Weibull est adaptée à l’analyse de la fiabilité des marquages. (Sathya-narayanan et al. 2008) propose de complexifier la classique méthode du maximum de vraisemblance sans pour autant préciser comment les maximums de la fonction de vraisem-blance sont calculés. L’approche standard est de calculer les zéros des dérivées partielles par la méthode de Newton-Raphson (Bain et Englehardt 2017). Cette méthode est dé-conseillée par (Pradhan et al. 2014) en se basant sur des exemples où Newton-Raphson diverge. Un premier algorithme EM adapté à une loi de Weibull censurée par intervalle est proposé en guise d’alternative. Ces travaux de thèse proposent une extension aux censures à droite et gauche, appliquée dans le contexte des marquages routiers dont les instants de défaillance exacts ne sont pas disponibles.

L’exemple de la ligne axiale de la RN4 montre la robustesse de l’algorithme (section 4.4.1). Le cycle 2008-2012 présente les trois types de censures retenus et au moins deux modes de dégradations localisables. L’algorithme WEM propose une loi de Weibull adaptée et des dates de défaillance crédibles. De plus, les tests d’adéquation graphiques valident le modèle de durée de vie et le test de Kolmogorov-Smirnov recommande une stratégie d’inspection semestrielle et non annuelle. Finalement, l’algorithme WEM proposé est une alternative crédible à la méthode du maximum de vraisemblance d’une loi de Weibull multi-censurée.

Trois limites techniques sont identifiées. Premièrement, si un cycle de vie est exclusi-vement censuré à droite, à gauche ou par un intervalle, alors l’algorithme WEM diverge. Concrètement, les défaillances W = (t1, ..., tn) sont de la forme t1 = ... = tn. Ce cas est équivalant à la méthode MV entrainée par une seule donnée. Deuxièmement, si un cycle de vie est particulièrement censuré à droite, à gauche ou par un intervalle, alors l’algo-rithme WEM diverge. Par exemple, si les durées de vie sont censurées à 90% à droite. Ce cas est équivalant à la méthode MV entrainée par un très faible nombre de données. Ces deux situations sont entièrement dues à la stratégie d’inspection. Cependant, l’an-nexe A présente un candidat contre-exemple à l’existence et unicité du point fixe à l’étape M de l’algorithme WEM. Ce dernier a justifié une alternative basée sur la méthode de Newton-Raphson.

La comparaison de tests d’adéquation classiques (section 4.4.2) montre que les tests graphiques du type "papier Weibull" sont les plus robustes face à la censure. Les travaux

de thèse de Meryam Krit (Krit 2014) proposent plusieurs pistes d’amélioration. Un état de l’art (Krit et al. 2014) présente un premier test adapté à la censure et basé sur la fonction de vraisemblance censurée (Antle et Bain 1969) mais conduit à l’abandon de l’hypothèse classique d’une distribution indépendante des dates de défaillance. Un test d’adéquation directement adapté au maximum de vraisemblance d’une loi de Weibull est proposé (Krit et al. 2016). Une analyse de sa robustesse face aux dates de défaillance estimées par l’algorithme WEM est à l’étude. Si le test est adaptable à l’algorithme WEM, alors il constituera une alternative crédible à Antle & Bain.

L’algorithme WEM peut proposer un mélange de Weibull sous la condition de préciser les différents groupes de marquages. L’exemple de la RN4 (section 4.4.3) montre que le cycle 2008-2012 admet deux groupes de marquages dont les durées de vie sont différentes. Cette approche peut conduire à un plan de maintenance plus fin capable de prendre en compte les différents modes de dégradations. Cependant, le nombre de lois dans le modèle de mélange n’est pas justifié. Dans l’exemple du cycle 2008-2012, une classification en trois clusters est possible. Les marquages défaillant à horizon 30 mois du cluster de Sommesous sont regroupés. Sommesous est finalement composé de marquages très largement censurés à droite et l’algorithme WEM diverge.

Au moins deux alternatives basées sur une approche bayésienne sont très récemment proposées (Ducros et Pamphile 2018) (Marsili et al. 2018). Ces approches semblent montrer une supériorité sur l’approche EM. Une proposition alternative basées sur ces récents résultats est envisagée.

À ce stade, une ligne de marquages d’une infrastructure routière donnée est segmen-table en zones stratégiques. Si besoin, un algorithme de reconstruction de données et un détecteur de maintenance sont disponibles afin d’améliorer le suivi de la rétro-réflexion et identifier les cycles de vie. L’algorithme WEM réalise des analyses de Weibull tout en proposant des dates de défaillance crédibles par rapport aux inspections. À ce stade, tous les éléments sont réunis pour la conception d’un plan de maintenance.

Chapitre 5

Maintenance d’une ligne de

marquages

À ce stade, tous les éléments sont réunis pour établir un plan de maintenance. Le chapitre 3 identifie les zones de maintenance stratégiques et l’algorithme WEM apporte des modèles de durée de vie. Ce chapitre propose l’étude de trois modèles de maintenance préventive classiques : systématiques par rapport à l’âge ou par bloc et conditionné à la dégradation courante. Cette approche est motivée d’une part par les modèles disponibles dans la littérature et d’autre part par la qualité des données d’inspection.

5.1 Modélisation de la maintenance préventive

Cette section a deux objectifs. Le premier est de réaliser un tour d’horizon des différents plans de maintenance disponibles. Le second est de justifier le choix d’une stratégie de maintenance préventive. Au sens de (Rausand et Hoyland 2004) par exemple, le chapitre 2 ne met pas en évidence un plan de maintenance des marquages. Ce fait orienta cette thèse vers une étude comparée entre une stratégie systématique et conditionnelle sous l’hypothèse d’un plan d’inspection périodique.