2 Quantification de la contribution des changements de motorisation aux changements de répartition modale : méthodologie d’analyse
2.2 La relation part de marché des transports collectifs motorisation
La fonction f des localisations a été déjà été étudiée dans le chapitre précédent. La part de marché des transports collectifs s’écrit :
PTC ij ij
ij
= l * P
∑
avec Pij part de marché des transports collectifs sur la liaison i/j, qui s’écrit donc :
P
ij = g(m ) * h(a )ij ij
L’analyse des matrices de motorisation et des matrices de part de marché des transports collectifs met en évidence une certaine relation entre ces deux matrices. Les flux les plus centraux sont ceux où la part de marché des transports collectifs est la plus élevée et la motorisation la plus faible. A l’inverse, plus les extrémités du couple i/j s’éloignent du centre plus la part de marché des transports collectifs s’affaiblit et plus la motorisation s’accroît. Ainsi, logiquement le sens d’évolution de ces deux grandeurs est opposé.
2.2.1 Formulation linéaire
Une formulation simple consiste à proposer une relation linéaire entre la part de marché de la voiture particulière et la motorisation :
Pij = 100 % - Pvpij = 100 % - (
α
* mij +β
) * h(aij)h(aij) devient (100 % - Pij)/(α * mij +
β
), ce qui nous permet de construire la matrice desautres facteurs.
La difficulté de cette formulation tient en la détermination des constantes α et
β
. En effet, comme nous ne connaissons pas la formulation de la fonction h qui tient compte de l’ensemble des autres facteurs, on peut tout aussi bien écrire :Pij = 100 % - (α * mij + β) * h(aij) = 100 % - (mij + β/α) *α * h(aij)
= 100 % - (mij + cste) * h’(aij)
Notre jeu d’hypothèses ne permet pas de distinguer les deux formulations qui conduisent aux mêmes résultats finaux, même si elles ne conduisent pas à la même matrice des autres facteurs. Il nous faut donc introduire une contrainte supplémentaire pour pouvoir lever cette indétermination, ou bien faire une hypothèse sur la valeur de la constante α. De même, nous ne connaissons pas a priori la valeur de la constante β, ce qui nécessite une seconde contrainte.
Pour simplifier, on peut choisir une constante β nulle. Toutefois, cette formulation est a priori moins pertinente. En effet, même avec une motorisation nulle, la part de marché des transports collectifs est généralement inférieure à 100 %. La voiture est alors utilisée en tant que passager. Inversement, même avec une motorisation très élevée, la part de marché des transports collectifs, au moins pour les flux les plus centraux, ne sera probablement jamais nulle.
Au-delà du problème de l’indétermination des constantes, cette première formulation présente deux limites :
- de pertinence tout d’abord. La formulation proposée s’avère un peu trop mécaniste. Il est probable que l’incidence d’une croissance de la motorisation sur la part de marché des transports collectifs s’amenuise à mesure que la motorisation augmente. Une formulation exponentielle ou puissance serait à ce titre probablement plus adaptée ;
- de cohérence ensuite. La variation du facteur motorisation en maintenant constant les autres facteurs peut conduire à des parts de marché des transports collectifs négatives. L’analyse des données confirme d’ailleurs ce risque. En effet, sur certaines origines-destinations de périphérie, nous obtenons une part de marché nulle pour les transports collectifs en 1976 (et en 1985). La prise en compte des motorisations de 1985 (et de 1995) conduit le plus souvent à une hausse de la motorisation par rapport à 1976 (1985), le terme m2*a1 devient
alors négatif.
Pour répondre à ces limites, nous proposons ensuite une formulation exponentielle.
2.2.2 Formulation exponentielle
La forme générale de la courbe exponentielle permet de répondre au problème de pertinence souligné précédemment. Plusieurs formulations peuvent être envisagées :
- la forme exponentielle peut être appliquée uniquement à la motorisation ou conjointement à la motorisation et aux autres facteurs ;
- le calcul peut porter sur la part de marché des transports collectifs ou bien de la voiture ; Le croisement de ces deux options débouchent sur quatre formulations qui prennent alors la forme générale suivante :
1. PTCij = exp((α * mij + β) * h(aij))
Comme précédemment, ne connaissant pas la formulation de la fonction h, on peut tout aussi bien écrire :
PTCij = exp((α * mij + β) * h(aij)) = exp((mij + β/α) * (α * h(aij)))
= exp((mij + cste) * h’(aij))
Les résultats finaux de la décomposition des effets seront identiques, même si bien sûr la matrice des autres facteurs diffère. Celle-ci est obtenue par la formule suivante : h(aij) =
ln(PTCij)/(α * mij + β) ou h’(aij) = ln(PTCij)/(mij + cste). La part de marché des transports
collectifs variant entre 0 et 1, la matrice des aij est forcément négative.
En l’absence de contrainte supplémentaire, la constante reste toutefois indéterminée. Le choix de sa valeur dépend de l’importance de la part de marché de la voiture que l’on considère comme captive. Une constante nulle, signifie qu’à motorisation nulle la part de marché de la voiture est également nulle, alors qu’une constante égale à 1 donnera une part de marché de la voiture déjà élevée pour une motorisation nulle (la valeur obtenue dépend de la valeur de h(aij)). A l’inverse, on peut imaginer une valeur négative (mais qui
doit rester inférieure à la motorisation minimum pour éviter des divisions par 0 et surtout une inversion de signe de h(aij) et donc une croissance des parts de marché des
transports collectifs lorsque la motorisation augmente), elle réduira l’attractivité de la voiture pour les faibles niveaux de motorisation, mais à l’inverse accélérera la chute des transports collectifs à mesure de la croissance de la motorisation.
2. PVPij = exp(h(aij )/ (α * mij + β))
On peut également écrire :
PVPij = exp(h(aij)/ (α * mij + β)) = PVPij = exp(α * h(aij)/ (mij + β/α))
= exp(h’(aij)/ (mij + cste))
On retrouve la même indétermination pour la constante, nécessitant l’introduction d’une contrainte supplémentaire ou la connaissance de la fonction h. La matrice des aij s’obtient par la formule suivante aij = (lnPVPij) * (α* mij + β) ou encore
(lnPVPij) * (mij + cste). Ses valeurs sont forcément toutes négatives car PVPij varie entre 0
et 1.
Le rôle de la constante est similaire à celui de la formulation précédente.
Ces deux formulations sont relativement proches dans leur formulation. Elle diffèrent principalement par l’incidence de la valeur de la constante.
3. PVPij = h(aij) * exp(α * mij + β)
On peut également écrire :
PVPij = h(aij) * exp(α * mij + β) = h(aij) * (b * exp(α * mij)) = β * h(aij) * exp(α* mij)
= h’(aij) * exp(α * mij)
La constante est toujours indéterminée, nécessitant l’introduction d’une contrainte supplémentaire ou la connaissance de la fonction h. La matrice des aij s’obtient par la
formule suivante aij = PVPij / exp(α * mij + β) ou encore PVPij / exp(α* mij).
Si cette formulation répond a priori au problème de pertinence évoquée précédemment, en revanche elle ne satisfait pas au critère de cohérence. Une croissance de la motorisation peut effectivement conduire à des parts de marché de la voiture supérieure à 100 %.
4. PTCij = h(aij) / exp(α * mij + β)
On peut également écrire :
PTCij = h(aij) / exp(α * mij + β) = h(aij) / β * exp(α * mij) = β * h(aij) / exp(α* mij)
= h’(aij) / exp(α * mij)
La constante est toujours indéterminée, nécessitant l’introduction d’une contrainte supplémentaire ou la connaissance de la fonction h. La matrice des aij s’obtient par la
formule suivante aij = PTCij * exp(α * mij + β) ou encore PTCij * exp(α * mij).
Cette formulation répond au critère de cohérence énoncé plus haut. Elle donne des résultats assez proches en terme de part de marché des deux premières formulations exponentielles.
Nous avons donc finalement trois formulations exponentielles répondant aux deux limites évoquées plus haut pour la formulation linéaire.
2.2.3 Formulation logit
Nous présentons une dernière formulation qui présente l’avantage de se présenter sous une forme un peu plus conventionnelle que les précédentes. En effet, la part de marché de la voiture ou des transports collectifs est fréquemment obtenue à l’aide d’une formulation logit.
Pour fonder la formulation que nous retenons, nous faisons un petit détour par la théorie de l’utilité. L’utilité d’un déplacement selon un mode particulier k, s’écrit alors sous la forme générique suivante : Uk = Vk + εk = (α ) ε lk lk l k X
∑
+où Uk représente l’utilité du mode k pour un déplacement donné et un individu donné ;
Vk représente la partie « connue » ou calculée de l’utilité du mode k pour un déplacement
donné et un individu donné ;
εk représente le vecteur d’erreur pour le mode k pour un déplacement donné et un individu
donné ;
Xlk représente le vecteur des variables explicatives (attributs de l’individu ou du déplacement
le plus souvent) de l’utilité du mode k pour un déplacement donné et un individu donné ;
αlk représente le vecteur des coefficients appliqués aux variables explicatives et qui
correspond aux inconnues devant être calées.
La motorisation est généralement considérée comme étant une des composantes de l’utilité du mode voiture ou transports collectifs pour un déplacement donné et un individu donné. On peut alors écrire :
VTCij = α1TC* mij + α2TC* h(aij)
Pour être plus précis en fait le terme α2 * h(aij) représente une somme de termes, mais nous
simplifions ici la notation.
De la même manière on peut calculer l’utilité pour le mode voiture : VVPij = α1VP * mij + α2VP * h’(aij)
En utilisant un logit, on en déduit : PTCij = 1 1 + e V - ( TCij µ −V VPij)
où PTCij est la part de marché des transports collectifs et µ une constante
Comme précédemment, on peut intégrer cette constante dans les coefficients de l’utilité. On obtient alors : V
TCij−VVPij = α1TC* mij + α2TC* h(aij) - α1VP * mij + α2VP* h’(aij)
= (α1TC - α1VP) * mij + α2TC* h(aij) - α2TC* h’(aij)
que l’on peut encore écrire sous la forme :
α * (mij + h’’(aij)) en intégrant les constantes dans la fonction h’’(aij).
On obtient donc PTCij = 1
1 + e * (m + h (a ))ij
' ' ij
α
La matrice des autres facteurs est obtenue par la formule suivante :
a P m ij TCij ij = − − ln( 1 1) α
Comme dans les formulations précédentes, la constante reste indéterminée. Elle est par contre de signe positif. En effet dans la formulation logit, on utilise une exponentielle négative de la différence
des utilités transports collectifs - voiture particulière. La différence des coefficients transports collectifs - voiture particulière est donc forcément négative.