Plusieurs essais de chauffage sont effectués pour déterminer l’influence de la variation de l’angle de l’inducteur sur le profil de température. L’objectif est de trouver une relation reliant la puissance injectée en un point donné i et sa distance h par rapport à l’inducteur. Les températures sont mesurées à l’aide de thermocouples, sur la plaque instrumentée présentée à la section 2.2.6. Les essais sont effectués en maintenant l’inducteur statique au centre de la plaque. La figure 67 montre un schéma du positionnement de l’inducteur par rapport aux thermocouples lors des essais.
Figure 67 Schéma du positionnement de l’inducteur sur la plaque instrumentée
Pour faciliter la comparaison, les essais de chauffe sont effectués près du régime stationnaire.
Il est déterminé numériquement qu’après 2,5 heures de chauffe, la température au point central de la plaque a atteint plus de 99 % de sa température finale cible en régime stationnaire. Les paramètres et les résultats de ces simulations sont présentés au tableau A XIII-1 et à la figure A XIII-1, de l’annexe XIII.
Une puissance de 3000 W est choisie pour assurer un profil de température aux environs de 600 °C, pour un angle α de 0 °. En tout, 7 essais sont effectués à différents angles α, de 0 ° à 5 ° et 8 °. Ce nombre d’essais, entre 0 ° et 8 °, est suffisant pour obtenir une relation entre l’efficacité et la hauteur h. Les paramètres de ces différents essais sont présentés au tableau A XIII-2, à l’annexe XIII.
Le calcul de la distribution de densité de puissance de l’inducteur présenté à la section 2.2.2 (équation 2.17 et 2.18) est modifié pour prendre en considération la variation d’angle α. Pour le centre d’un élément i localisé dans volume de chauffe, la densité de puissance (équation 2.17) est injectée en fonction de sa distance h par rapport à l’inducteur au moyen de la fonction (ℎ). Ainsi, l’équation 2.18 devient :
= (ℎ) (7.1)
z x
≈ 2 mm
h0≈ 3 mm
α
Th. 1
i h
avec
(ℎ) = + (7.2)
Comme il en est question à la section 7.2.1, pour des angles α inférieurs à 15 °, la projection de l’inducteur sur la plaque est approximée par un cercle. La variation sur rayon engendré par une inclinaison de l’inducteur de 15 ° représente une diminution d’environ 2,5 mm de son diamètre. Cette variation est négligeable considérant la distance de 3,3 mm entre les éléments du maillage (voir section 4.3.1). Ainsi, le volume de chauffe utilisé pour modéliser la distribution de densité de puissance est le même qu’à la section 2.2.2.
La relation entre la hauteur et l’efficacité n’est ici plus considérée linéaire. En s’inspirant de la variation de l’induction magnétique dans l’épaisseur d’un matériau (voir section 2.1.2) une forme exponentielle de (ℎ) est choisie. La hauteur h est calculée en fonction de l’angle d’inclinaison α et de la distance d entre le point i à l’étude et le centre du repère local du volume de chauffe (voir figure 68).
Figure 68 Schéma du calcul de la hauteur h en fonction de l’angle d’inclinaison α de l’inducteur et de la distance d
La distance est h calculée avec l’équation 7.3.
ℎ = ( + ) sin( ) + ℎ (7.3)
α h
Rext d h0 i
z’
x’
Les coefficients a, b et c de l’équation 7.2 sont déterminés en calibrant la source de chaleur de façon à minimiser la moyenne RMS des écarts entre les températures mesurées par les thermocouples et les températures calculées aux mêmes positions sur le maillage. Le critère ( , ) est minimisé avec l’algorithme du gradient conjugué. Ainsi, pour chaque essai, les coefficients qui génèrent les profils de température le plus près de ceux obtenus expérimentalement sont trouvés. Une première calibration est effectuée avec un angle nul pour trouver le centre de la source pour lequel les températures calculées correspondraient le mieux aux valeurs mesurées. Comme les expérimentations sont faites avec un nouvel inducteur, la calibration est effectuée en faisant aussi varier les rayons intérieurs et extérieurs.
Bien que les dimensions théoriques de ce nouvel inducteur soient les mêmes que celles de l’ancien, les inducteurs sont formés manuellement et leurs dimensions réelles peuvent varier.
La meilleure approximation du profil de température est obtenue avec le centre de la source à 3,3 mm et un diamètre extérieur de 39 mm.
La calibration du modèle selon les différents angles est effectuée avec ces paramètres. Les autres paramètres utilisés sont présentés au tableau A XIII-3, de l’annexe XIII.
Pour augmenter la rapidité des calculs, le maillage utilisé pour les simulations comporte un maillage fin seulement dans la zone où la puissance est injectée (voir figure A XIII-3). La dimension des éléments dans cette zone est de 3,3 x 3,3 mm en surface. Cette dimension d’élément est la même qu’utilisé précédemment pour le maillage symétrique de 74 905 nœuds (illustré à la figure 22).
En raison de l’espacement inégal des thermocouples 1 à 6, la position des points de mesure est asymétrique de part et d’autre de la position x = 0. Cette asymétrie des valeurs mesurées rend difficile la calibration de la source. Pour améliorer les résultats de la calibration, une valeur est rajoutée à la position x = -25.4 mm en interpolant les données du profil selon une interpolation cubique. La fonction fit de Matlab est utilisée. La comparaison des profils de température obtenus numériquement avec et sans l’ajout de ce point supplémentaire est présentée à la figure 69. Lors des essais, l’inducteur est plus près de la plaque du côté négatif
de l’axe x (voir figure 67). Ainsi, les résultats les plus représentatifs du profil de température réel sont obtenus avec l’ajout du point interpolé.
Figure 69 Comparaison des profils de température numériques obtenus avec l’ajout d’un point de mesure interpolé et sans l’ajout de ce point
La figure 70 (gauche) montre les résultats des fonctions (ℎ) obtenues pour les différents angles testés. Les coefficients a b et c pour chaque courbe sont présenté au tableau A XIII-4, de l’annexe XIII.
Figure 70 Résultats des fonctions (ℎ) pour les différents angles (gauche) et fonction d’interpolation des résultats (droite)
efα(h)pour différents angles α
Angle 1° Angle 2° Angle 3°
Angle 4° Angle 5° Angle 8°
0 10 20 30
En théorie, les courbes d’efficacité en fonction de la hauteur devraient toutes être identiques.
Pour une même hauteur, une même efficacité devrait être trouvée, indépendamment de l’angle d’inclinaison de l’inducteur. Cependant, vraisemblablement en raison d’erreur sur la position et l’angle de l’inducteur lors des essais, les courbes obtenues sont décalées.
La méthode des moindres carrés est utilisée pour trouver une courbe passant le plus près possible de tous les points trouvés. Cette méthode vise à minimiser la somme des carrés des écarts entre les données expérimentales et les valeurs trouvées avec l’équation 7.2.
Dépendamment des valeurs initiales utilisées, deux fonctions d’interpolation sont trouvées (fct. 1 et fct. 2 sur la figure 70 droite). Les courbes expérimentales ressemblent fortement à des droites (figure 70 gauche). Ce comportement est cohérent avec la relation empirique trouvée à la section 6.3, où le la relation entre l’efficacité et la hauteur est considérée linéaire.
Le comportement global tend cependant vers une relation exponentielle. Les deux courbes présentent une approximation similaire pour une distance inférieure à 10 mm, soit la distance où les données expérimentales existent. Les coefficients de corrélation calculée sont de 0,97 (fct. 1) et 0,98 (fct. 2). Cependant, au-delà de 10 mm la courbe (fct. 1) arrive à des résultats plus logiques, dans la continuité des données expérimentales. Ainsi, la relation empirique globale trouvée entre l’efficacité et la distance est :
(ℎ) = 0,35 , (7.4)
La figure 71 montre la comparaison entre les profils de température expérimentaux et numériques, obtenus avec l’équation 7.4, pour les angles de 0 °, 4 ° et 8 °. Les graphiques comparatifs de tous les essais se retrouvent à l’annexe XIII, aux figures A XIII-4 à A XIII-9.
Figure 71 Comparaison des profils de température mesurés et calculés pour différents angles d’inclinaison de l’inducteur (α = 0 °, 4 ° et 8 °)
Pour 75 % des points de mesure, l’écart entre les données est inférieur à 20 °C. Cet écart représente 3,64 % d’écart relatif à 550 °C. Ces écarts peuvent s’expliquer de différentes façons. Premièrement, les points de mesure où les écarts sont les plus élevés sont majoritairement situés à des endroits du profil de température ou le gradient de température est important. Ainsi, une erreur sur le positionnement des thermocouples peut entrainer d’importantes variations de la température mesurée à une position donnée du profil de température. Deuxièmement, tel que mentionné précédemment dans cette section, des erreurs de positionnement de l’inducteur au cours des expérimentations peuvent également être une source d’erreur importante.
L’écart le plus important, 32 °C, se situe aux environs du point interpolé (position x = - 25,4 mm). Cependant, comme cet écart est aussi présent sur le profil où l’angle est nul, sans point de mesure interpolé, celui-ci n’est pas la cause d’erreur principale.
Deux autres causes d’erreur ont plutôt été envisagées. La première est le manque de planéité
0
Comparaison des températures mesurées et calculées (angle α = 0 °, 4 ° et 8 °)
de l’inducteur. Certaines sections du serpentin sont plus près de la plaque que d’autres. La deuxième, cause d’erreur est la modélisation empirique utilisés (voir section 2.2).
Somme toute, les résultats obtenus avec le modèle numérique sont représentatifs de la réalité.
De plus, comme il sera possible de remarquer à la section 7.3, les écarts observés sont moins importants lors du déplacement de l’inducteur sur une trajectoire.