8.1 Calcul de la densité de puissance sur une surface courbe
8.1.1 Modélisation de l’inducteur
Le volume de chauffe de l’inducteur est représenté dans l’espace paramétrique. Il est considéré que l’effet sur le profil thermique de la déformation du volume de chauffe, engendré par passage de l’espace paramétrique à curviligne, est négligeable pour des géométries à faible courbure.
À la section 7.2.1, il est démontré que, pour un angle entre l’inducteur et la plaque inférieur à 15 °, la projection de l’inducteur sur le maillage peut être approximée par un cercle. Ainsi, une faible courbure est considérée comme étant une courbure engendrant une variation de hauteur sous l’inducteur équivalente à une variation d’angle inférieur à 15 ° (voir figure 80).
Figure 80 Exemple de géométrie à faible courbure
15 ° 74 mm
Rayon de courbure
Ainsi, pour une plaque de rayon de courbure constant et un inducteur de 37 mm de rayon extérieur, le rayon de courbure doit être supérieur à 148 mm, soit environ 4 fois Rext.
La puissance injectée au centroïde d’un élément i dépend de sa position paramétrique( , ).
Si cet élément se trouve à l’intérieur du volume de chauffe, celui-ci reçoit une certaine densité de puissance ( , ). Rappelons que celle-ci dépend de l’efficacité de l’inducteur au-dessus de cet élément.
L’efficacité dépend de la distance entre l’élément i et l’inducteur, suivant la fonction (ℎ) (équation 7.4). Dans un premier temps, il est assumé que la relation empirique 7.4 s’applique également dans le cas d’une plaque courbe. La validité de cette hypothèse sera vérifiée expérimentalement à la section 8.2.
Dans le cas d’une surface courbe, la distance h dépend des coordonnées cartésiennes du centroide de l’élément, exprimé dans le repère local de la source. Dans le code thermique, comme le repère de la source se trouve directement sur la surface du maillage, la hauteur réelle de l’inducteur hmin est ajoutée à la coordonnée zi. La figure 81 illustre le calcul de la distance h d’un élément i par rapport à l’inducteur, sur une surface convexe et une surface concave.
Figure 81 Distance h d’un élément i par rapport à l’inducteur sur une surface concave (gauche) et convexe (droite)
z’
y’ i(xi’, yi’, zi’)
z’
y’
h
zi
hmin
i(xi’, yi’, zi’) h hmin
zi
Ainsi, la hauteur h est obtenue par :
ℎ = ℎ − ′ (8.1)
Les profils de température obtenus avec une distribution de puissance calculée en utilisant l’équation 7.4, sur un maillage convexe et concave, sont présentés aux figures 82 et 83. Ces figures présentent une comparaison entre une distribution de température calculée utilisant une efficacité variable (équation 7.4) et selon une efficacité constante, comme c’était le cas pour les géométries planes (voir section 2.2.2). Il est ainsi possible de vérifier l’effet de la courbure sur le profil de température. Les simulations sont effectuées avec une puissance nette Qnet de 1470 W. Les paramètres de ces simulations sont présentés au tableau A XV-1 de l’annexe XV.
Figure 82 Profil de température obtenu sur une plaque convexe
400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Température (°C)
Position y (m)
Puissance constante Puissance variable
y
°C
Figure 83 Profil de température obtenu sur une plaque concave
Pour la plaque convexe, la température diminue plus rapidement à mesure que la position x s’éloigne du centre de l’inducteur. Pour la plaque concave, le phénomène inverse se produit, comme les extrémités sont plus près de la plaque, la température augmente à cet endroit.
8.1.2 Modélisation des trajectoires
La modélisation des trajectoires est effectuée en utilisant la source moyenne développée précédemment. Cependant, la génération des segments de trajectoire ainsi que le calcul de la densité de puissance sont effectués dans le système de coordonnées paramétrique. Les segments d’arc cubique suivent ainsi la surface du maillage, tout en étant définis selon un plan, de la même façon qu’à la section 3.1. Le calcul de l’intervalle ∆ est effectué selon la démarche présentée à la section 3.2. Ainsi, la densité de puissance injectée au centre d’un élément i s’exprime en termes de coordonnées paramétriques :
( , ) = ∆ ( , )
∆ (8.2)
avec
400 450 500 550 600 650 700 750
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Température (°C)
Position y (m)
Puissance constante Puissance variable
y
°C
= 1
( − ) (ℎ( , , , )) (8.3)
La densité de puissance ( , ) appliquée à l’élément i dépend de l’efficacité moyenne de l’inducteur au-dessus de cet élément. Conformément à l’équation 7.4, cette fonction dépend de la distance h entre le centre de l’inducteur et la position de l’élément i. La distance h est trouvée en exprimant la coordonnée zi du point i, dans le repère local de l’inducteur. La position du centre de l’inducteur est située sur la trajectoire, à la coordonnée paramétrique . La figure 84 illustre le calcul de la distance h, dans le cas d’une surface convexe. La position ( , , ) de l’élément i, doit être exprimée dans le repère de l’inducteur (2) plutôt que dans celui de la source moyenne (1). Ces repères sont orientés perpendiculaires à la surface et leur orientation est exprimée avec les angles d’Euler, obtenu par la fonction parametrique2cartesien (librairie SCOMPI).
Figure 84 Calcul de la distance h d’un élément i par rapport à l’inducteur sur une surface convexe
Les angles d’Euler et coordonnées aux repères (1), (2) et (3) sont utilisés pour former les matrices de transformation homogène NSAP correspondantes (formé de la représentation angulaire NSA et d’un vecteur de coordonnées P). La représentation angulaire NSA est
z(1) x(1)
i(xi, yi, zi)
Λ1
Λ2
Λ3
z(1)i
obtenue à partir des angles d’Euler avec la fonction euler_angles_to_nsa (librairie SCOMPI).
Les matrices de transformations obtenues sont de la forme de Λi:
=
, , , ,
, , , ,
, , , ,
0 0 0 1
L’utilisation de la représentation NSA pour générer les trajectoires du robot SCOMPI est expliquée par Hazel et al. (Hazel et al. 2012, p. 78). La variable Pi exprime les coordonnées cartésiennes de la position du point i. Le changement de repère est effectué en utilisant la matrice de transformation Λ2 :
= (8.4)
Ainsi, la distance z(1)i correspond à , de la matrice de transformation Λ2. Il suffit ensuite de calculer h en utilisant l’équation 7.4.
Les profils de température obtenus avec une trajectoire de 70 mm de décalage et de longueur Ltot = 200 mm pour une plaque convexe sont présentés aux figures 85 et 86. Les résultats obtenus pour une trajectoire sans décalage sur la même plaque sont présentés aux figures XV-3 à 6, de l’annexe XV. Les simulations sont effectuées de façon à obtenir une température de 620 °C au centre de la plaque. Les paramètres de ces simulations sont présentés au tableau A XV-2 de l’annexe XV. Également, des résultats similaires sont obtenus sur la plaque concave et présentés aux figures A XV-7 et A XV-8 de l’annexe XV.
Les paramètres de ces simulations sont présentés aux tableaux A XV-6 et 7.
Figure 85 Profil de température sur une surface convexe, trajectoire orientée selon l’axe y (Ltot = 200 mm et e = 70 mm)
Figure 86 Profil de température sur une surface convexe, trajectoire orientée selon l’axe x (Ltot = 200 mm et e = 70 mm)
La courbure a pour effet de faire diminuer la température. De plus, les courbes de puissance obtenues avec une puissance variable nécessitent plus de puissance pour maintenir la température. Ce phénomène s’explique par le fait que l’efficacité est moins grande aux extrémités de l’inducteur, ce qui diminue l’efficacité globale et l’énergie injectée dans la plaque.
Profil longitudinal de température
Puissance constante Puissance variable
Il est nécessaire d’effectuer des essais expérimentaux pour comparer les températures calculées avec des températures mesurées.