Redondances/complémentarités entre distances

Chaque catégorie de distances quantifie un aspect particulier de la qualité des produits de fusion. Dans cette section, nous montrons la complémentarité ou les redondances de certaines distances. La redondance permet de restreindre le nombre de distances à utiliser alors que la complémentarité est l’assurance d’un bilan de qualité complet. Les problèmes de l’évaluation de la qualité ne sont pas propres à la fusion d’images, mais concernent le domaine du traitement d’images en général dès lors qu’une image a été synthétisée et doit être comparée à sa référence. Nous allons montrer les risques à n’utiliser qu’une seule distance pour connaître la qualité d’une image.

2.4.3.1 Quelques illustrations simples

Le premier exemple placé en figure 2.2 concerne les distances de la catégorie 1. La figure 2.2a représente un bâtiment entouré de champs en périphérie de la ville de Starckville, aux Etats-Unis. Il s’agit de la modalité Pan du satellite Quickbird. A droite, la figure 2.2b correspond à un bruit gaussien que nous avons synthétisé de telle sorte que sa moyenne et son écart-type coïncident avec ceux de l’image de gauche.

a) b)

Figure 2.2 : a) modalité Pan (Quickbird) - Starckville (USA), b) simulation sous IDL d’un bruit Gaussien. Copyright Digital Globe 2004.

Nous avons calculé quelques indices statistiques entre ces deux images. Ainsi, la différence entre les moyennes, entre les variances ou encore entre les entropies est nulle. Par contre, l’écart-type de l’image de différence relative à la moyenne de l’image de gauche et exprimée en pourcents atteint 42 %. Le corrélation et l’indice Q ont une valeur pratiquement égale à zéro. De plus, ces images n’ont pas le même nombre de spectres, ni de spectres les plus fréquents. Ces nombres montrent qu’il faut prendre garde à ne pas utiliser seulement un biais et/ou une différence de variances pour caractériser la différence entre deux images. Ici, on voit que les distances de la catégorie 3 « corrélation » sont sensibles à une telle différence, tout comme les distances de la catégorie 2 qui exploitent l’image de différence.

La figure 2.3 est un nouvel exemple : l’image de gauche a été acquise en mode panchromatique par satellite Ikonos qui montre un échangeur d’autoroutes situé à Fredericton au

Canada. L’image 2.3b correspond à la même image mais ayant subi une rotation de 180 degrés. Le contenu informatif de ces deux images est donc parfaitement identique.

a) b)

Figure 2.3 : a) modalité Pan (Ikonos) – Fredericton (Canada), b) même image ayant subi une rotation de 180 degrés. Copyright Space Imaging 2002.

Puisque ces deux images sont parfaitement identiques, les distances de la catégorie 1 sont parfaitement insensibles, alors que celles des catégories 2 et 3 sont très éloignées de leur valeur idéale. Par exemple, l’écart-type de l’image de différence est de 68 %, et l’entropie de l’image de différence a une valeur de 7. Ces distances sont donc sensibles aux différences de localisation des pixels dans une image, et seront donc sensibles à toute rotation ou translation. Finalement, lorsque le contenu informatif entre deux images est proche, les distances de la catégorie 1 donnent de bons résultats, c’est-à-dire des valeurs proches de leur valeur idéale.

La figure 2.4 va nous permettre de mettre en évidence le danger de n’utiliser comme distance uniquement le coefficient de corrélation. En temps que standard, le coefficient de corrélation est souvent le premier indice auquel on pense lorsque l’on entreprend une démarche d’évaluation de la qualité. Cette figure permet d’illustrer le fait que le coefficient de corrélation est insensible à une transformation de type affine y = ax + b. La figure 2.4a, acquise par le satellite Ikonos représente des parcelles agricoles situées dans la banlieue de Hasselt, une ville belge. L’image de droite est la même image dont tous les comptes numériques ont été multipliés par deux.

a) b)

Figure 2.4 : a) Parcelles agricoles acquises par la modalité Pan (Ikonos) – Hasselt (Belgique), b) même modalité dont tous les comptes numériques ont été multipliés par deux. Copyright Space Imaging 2002.

Les résultats statistiques sont les suivants : le biais relatif à la moyenne de l’image de gauche est de –100 %, la différence de variance relative atteint –300 % et enfin l’écart type de l’image de différence donne une valeur de 12.6 %. Par contre, le coefficient de corrélation atteint sa valeur idéale de 1, et le coefficient Q qui fait pourtant partie de la même catégorie, n’excède pas 0.6.

Ces quelques illustrations nous permettent d’affirmer que le coefficient de corrélation ne peut être utilisé seul, tout comme les distances de la catégorie 1. On remarque que le biais et la différence de variance réagissent lorsque le coefficient de corrélation reste insensible. Ces distances sont donc complémentaires. De plus, l’écart-type ou l’entropie informe sur l’énergie contenue dans l’image de différence. Au vu de ces résultats statistiques et de notre expérience, nous avons choisi d’utiliser les distances monomodales suivantes :

le biais relatif (biaisRel(Bk, Bk*)), ♦

♦ ♦ ♦

la différence en variances relative (diffVarRel(Bk, Bk*)), l’écart-type de l’image de différence (σRel(Bk, Bk*)), enfin, le coefficient de corrélation (cc(Bk, Bk*)).

2.4.3.2 Relations mathématiques

La distance RMSE est liée au biais et à l’écart-type par la relation suivante :

RMSE²(Bk, Bk*) = biais²(Bk, Bk*) + σ²(Bk, Bk*) Eq. 2.16

Ainsi, si le biais est faible, il faut calculer soit RMSE(Bk, Bk*) soit σ(Bk, Bk*), sous peine d’obtenir un résultat redondant.

Les deux distances de la catégorie 5 (PSF et FTM) sont reliées par la forme suivante :

FTM = TF(PSF) Eq. 2.17

où TF représente la transformée de Fourier. Inutile une fois encore de calculer ces deux distances pour caractériser la qualité des contours des images.

Enfin, on remarque que les trois indices SAM, diffNorms et la norme de Vres sont reliées par le théorème d’Al Kashi, mieux connu sous le nom de théorème de Pythagore généralisé. Il s’écrit :

||Vres(i, j)||² = ||B(i, j)||²+ ||B*(i, j)||² - 2||B(i, j)|| ||B*(i, j)|| cos(SAM) Eq. 2.18 Ces distances ne sont donc pas complètement indépendantes, car si on forme :

diffNorms²(i, j) = (||B(i, j)|| - ||B*(i, j)||)² = ||B(i, j)||² + ||B*(i, j)||² -2||B(i, j)|| ||B*(i, j)|| Eq. 2.19 La relation de Pythagore généralisée devient :

||Vres(i, j)||² = diffNorms²(i, j) + 2 ||B(i, j)|| ||B*(i, j)||(1 – cos(SAM)) Eq. 2.20 Le SAM devient progressivement une référence pour établir les bilans de qualité multimodaux (Park et

l’une des deux autres grandeurs est nécessaire. Nous avons choisi d’étudier les statistiques liées à l’image de différence entre les normes des vecteurs spectraux.

2.4.3.3 Etude empirique

Nous avons exploré les relations qui existent entre le coefficient de corrélation et l’indice Q. En effet, l’indice Q est issue du produit de trois termes, dont l’un correspond au coefficient de corrélation. Nous avons procédé à une étude empirique sur quarante-six images qui provenaient de divers satellites (Quickbird, Ikonos, SPOT2, SPOT5). Les bandes spectrales des différentes modalités vont du bleu au PIR. Les ratios entre la haute et la basse résolution spatiale sont de 2 et 4. La méthode de fusion a arbitrairement été sélectionnée comme étant le modèle M2 proposé par Ranchin et Wald (2000). La particularité de cette méthode de fusion est de produire une image fusionnée dont la moyenne correspond à la moyenne des images de référence. Par conséquent, le biais est nul.

Pour chaque cas, les valeurs de l’indice Q ont été tracées en fonction des valeurs du coefficient de corrélation. La figure 2.5 montre les corrélogrammes obtenus pour les ratio 2 et 4. Une très forte similitude apparaît entre ces deux grandeurs mis à part quelques exceptions lorsque l’on se rapproche des corrélations plus faibles. La corrélation obtenue entre les deux séries de données est de respectivement 0.999 pour le ratio 2 et 0.989 pour le ratio 4. La valeur de la pente issue d’une régression linéaire est de 1.013 (resp. 0.878), et l’ordonnée à l’origine est de –0.012 (resp. 0.115).

a) b) Q

Q

Figure 2.5 : a) corrélogramme entre Q et le coefficient de corrélation pour le ratio 2 (corrélation entre les deux séries : 0.999), b) idem pour le ratio 4 (corrélation entre les deux séries : 0.989)

La conclusion de notre étude est que, dans le cas d’une méthode de fusion qui conserve la moyenne comme les méthodes adoptant une approche multi-échelle et pour des valeurs de corrélation supérieure à 0.9, le coefficient de corrélation et Q donnent des résultats équivalents. Parce qu’il est plus simple à implanter, nous recommandons d’utiliser le coefficient de corrélation.