2.3 Résolution de la redondance
2.3.2 Redondance dynamique
O modelo de programação linear inteira mista representa parte dos aspetos descritos na secção 4.2.2.1, por forma a ceder uma solução ótima de programação da produção. A tabela 17 revela quais as condições atendidas pelo modelo de otimização.
Tabela 17 – Verificação da inclusão de cada consideração inicial no modelo matemático. Lista de verificação das considerações iniciais no modelo PLIM:
Minimização do atraso total;
Datas de entrega ao forno de chacote;
Disponibilidade permanente das máquinas;
Máquinas paradas ou em atividade;
Elegibilidade de máquinas;
Ininterrupção de lotes;
Total diário de setups em todo o sistema;
Relação entre setups e dias úteis e não úteis;
Alocação de referências urgentes, com prazo de entrega inferior à dimensão do horizonte temporal;
Alocação de referências com necessidade, com prazo de entrega superior à dimensão do horizonte temporal;
Alocação de amostras e pré-produções.
Disponibilidade dos moldes;
Total de cavidades de moldes em utilização em todo o sistema;
Estado de ocupação dos cavaletes;
Relação entre cavidades de molde e ocupação dos cavaletes;
Seleção de referências particular para vésperas de feriados e fins-de-semana;
Total de referências em biscuit, em processamento em todo o sistema;
Total de referências com requisição de placas refratárias, em processamento em todo o sistema;
Total de referências com requisição de placas refratárias do tipo grande, em processamento em todo o sistema;
Total de referências de lastras, em processamento em todo o sistema;
Total de referências com requisição de lastras, em processamento em todo o sistema;
Precedência de 1 dia no processamento de referências com requisição de lastras e as próprias lastras;
Dimensionamento de lotes;Trata-se, assim, de uma variante mais simplificada de representação do problema, apresentada com as seguintes notações:
• Índices:
𝑵 – Número de referências a agendar. 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁
𝑴 – Número de máquinas paralelas não relacionadas. 𝑗 = 1, 2, … , 𝑀 𝑻 – Número de períodos (dias) do horizonte temporal. 𝑡 = 0,1, … , 𝑇
𝑼 – Limite superior do total, em todo o sistema, de setups de máquinas praticados num dia. • Parâmetros:
𝑬𝒊 – Número de períodos (dias) entre o período 𝑡 = 0 e o período correspondente à data de entrega
da referência 𝑖 ao forno de chacote.
𝑷𝒊𝒋 – Número de períodos (dias) de processamento da referência 𝑖 na máquina 𝑗.
𝑴𝒆𝒊𝒋 – Conjunto de máquinas 𝑗 elegíveis de cada referência 𝑖: {1, se a máquina 𝑗 é compatível com
o molde da referência 𝑖; 0, em caso contrário}.
𝒓𝒋 – Conjunto de referências em processamento no período 𝑡 = 0, nas máquinas 𝑗.
𝑫𝒊𝒂𝒕 {1, se o período 𝑡 corresponde a um dia útil; 0, se o período 𝑡 corresponde a um sábado,
domingo ou feriado}. • Variáveis de Decisão:
𝒙𝒊𝒋𝒕 {1, se a máquina 𝑗 inicia o processamento da referência 𝑖 no período 𝑡; 0, caso contrário}.
𝒚𝒊𝒋𝒕 {1, se o processamento da referência 𝑖, na máquina 𝑗, se conserva do período 𝑡 para (𝑡 + 1);
0, caso contrário}.
𝑪𝒊 – Período de conclusão do processamento da referência 𝑖.
𝑨𝒊 – Atraso na conclusão do processamento da referência 𝑖, atendendo ao período correspondente
à sua data de entrega.
O modelo de programação linear inteira mista pode ser formulado tal como se segue: 𝑀𝑖𝑛 ∑(𝐴𝑖+ 𝐶𝑖) 𝑖 (1) 𝐶𝑖
−
∑ [(𝑡 − 1 + 𝑃
𝑖𝑗) ⋅ 𝑥
𝑖𝑗𝑡]
𝑗: 𝑀𝑒𝑖𝑗=1≥ 0 ,
∀ 𝑖, 𝑡: 𝑡 ≥ 1 (2)(
𝐶𝑖−
𝐸𝑖) ≤
𝐴𝑖,
∀ 𝑖 (3)∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 𝑖: 𝑀𝑒𝑖𝑗 =1 ≤ 1, ∀ 𝑗, 𝑡: 𝑡 ≥ 1 (4) ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 𝑇 t=1 𝑗: 𝑀𝑒𝑖𝑗=1 = 1, ∀ 𝑖: 𝑖 ≠ 𝑟𝑗 (5) 𝑦𝑖𝑗𝑣 ≥ 𝑥𝑖𝑗𝑡, ∀ 𝑖, 𝑗: 𝑀𝑒𝑖𝑗 = 1 , ∀ 𝑡, 𝑣: (𝑡 ≥ 1) ∧ (𝑣 ≥ 𝑡) ∧ (𝑣 < (𝑡 − 1 + 𝑃𝑖𝑗)) (6) ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑡 𝑗 𝑇 t=1 ≤ (𝑃𝑖𝑗− 1), ∀ 𝑖 (7) 𝑥𝑖𝑗𝑡+ 𝑥𝑧𝑗𝑣≤ 1, ∀ 𝑗, 𝑖, 𝑧: (𝑧 ≠ 𝑖) ∧ (𝑀𝑒𝑖𝑗= 1) ∧ (𝑀𝑒𝑧𝑗 = 1) , ∀ 𝑡, 𝑣: (𝑡 ≥ 1) ∧ (𝑣 ≥ 𝑡) ∧ (𝑣 ≤ (𝑡 − 1 + 𝑃𝑖𝑗)) (8) 𝑥𝑖𝑗𝑡+ 𝑦𝑧𝑗𝑣≤ 1, ∀ 𝑗, 𝑖, 𝑧: (𝑧 ≠ 𝑖) ∧ (𝑀𝑒𝑖𝑗= 1) ∧ (𝑀𝑒𝑧𝑗 = 1) , ∀ 𝑡, 𝑣: (𝑡 ≥ 1) ∧ (𝑣 ≥ 𝑡) ∧ (𝑣 ≤ (𝑡 − 1 + 𝑃𝑖𝑗)) (9) 𝑥𝑖𝑗𝑡+ 𝑦𝑧𝑗(𝑡−1)≤ 1, ∀ 𝑗, 𝑖, 𝑧: (𝑧 ≠ 𝑖) ∧ (𝑀𝑒𝑖𝑗= 1) ∧ (𝑀𝑒𝑧𝑗= 1) , ∀ 𝑡: 𝑡 ≥ 1 (10) ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 𝑗: 𝑀𝑒𝑖𝑗=1 𝑖 ≤ 𝑈 , ∀ 𝑡: (𝐷𝑖𝑎𝑡 = 1) ∧ (𝑡 ≥ 1) (11) ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡 𝑗: 𝑀𝑒𝑖𝑗=1 𝑖 = 0 , ∀ 𝑡: (𝐷𝑖𝑎𝑡= 0) ∧ (𝑡 ≥ 1) (12) 𝑥𝑖𝑗0= 0
,
∀ 𝑖, 𝑗 (13) 𝑥𝑟𝑗𝑗𝑡= 0,
∀ 𝑗, 𝑡 (14) ∑ 𝑦𝑟𝑗𝑗𝑡 𝑃𝑟𝑗𝑗−1 𝑡=0 = (𝑃𝑟𝑗𝑗− 1),
∀ 𝑗 (15) 𝐶𝑟𝑗= (𝑃𝑟𝑗𝑗− 1),
∀ 𝑗 (16)𝑥
𝑖𝑗𝑡∧ 𝑦
𝑖𝑗𝑡∈ {0,1} ,
∀ 𝑖, 𝑗, 𝑡 (17) 𝐶𝑖∧
𝐴𝑖∈ 𝑁
+,
∀ 𝑖 (18)A função-objetivo (1) procura antecipar, para todas as referências, a conclusão dos seus processamentos, minimizando o atraso entre as suas datas de entrega ao forno de chacote e os respetivos períodos de finalização, obtidos através da restrição (2). O cálculo do atraso, para qualquer referência, é efetuado a partir da restrição (3), isto é, da diferença entre o seu período de conclusão e a sua data de entrega. Caso resulte num valor negativo, o atraso é considerado zero, pois trata-se de uma variável que toma apenas valores inteiros positivos.
Na restrição (4) é indicado que em qualquer máquina, em qualquer período, esta encontra- se ou parada, ou a processar uma referência com ela compatível. Por outro lado, a restrição (5) garante que cada referência inicia certamente o seu processamento numa das suas máquinas elegíveis, exceto aquelas que, no período 0, estão já em produção em ambiente fabril. Note-se que o programa produtivo, em real funcionamento, nesse período, é um dado adquirido, que constitui a base da construção da solução concedida pelo modelo PLIM.
A restrição (6) permite assegurar que as referências conservam o seu processamento de um período para o outro, numa dada máquina, atendendo ao período no qual foram iniciadas. A complementar está a restrição (7), que relaciona o número de períodos associado à conservação de uma dada referência, com a duração do seu processamento.
A restrição (8) assegura que, enquanto não terminar o processamento de uma determinada referência, já iniciado numa dada máquina, não se poderá iniciar o de outra, nessa mesma máquina. Em contrapartida, a restrição (9) garante que, enquanto não terminar o processamento de uma dada referência, iniciado numa determinada máquina, não se poderá conservar o processamento de outra, nessa máquina. Quanto à restrição (10), esta certifica-se que o início do processamento de uma referência, numa certa máquina, só acontece se o processamento da referência em atividade nessa máquina, no período anterior, não for conservado no período atual.
As restrições (11) e (12) limitam o número de setups realizados num dia, em todo o sistema, com a consideração adicional dos fins-de-semana e feriados. Por outras palavras, a restrição (11) possibilita, para dias úteis, o planeamento de setups até um limite superior do total de setups diários, ao passo que, para fins-de-semana e feriados, proíbe completamente quaisquer setups, logo o início do processamento de novas referências.
A restrição (13) veda a possibilidade de iniciar a produção de novas referências no período 0, pois este está associado unicamente ao plano em ação no chão-de-fábrica, a partir do qual se descobrirá uma solução de agendamento para os próximos períodos. Consequentemente, as referências que estão em processamento no período 0 nunca iniciarão processamento em nenhum período do horizonte temporal, tal como demonstrado pela restrição (14). Contudo, poderão conservá-lo durante o intervalo de períodos ainda necessário para a sua conclusão (restrição (15)), que decorrerá no último período desse intervalo (restrição (16)).
Por fim, a restrição (17) afirma que as variáveis 𝑥𝑖𝑗𝑡 e 𝑦𝑖𝑗𝑡 só tomam valores binários,
enquanto que a (18) garante que o período de conclusão e o atraso das referências admitem apenas valores inteiros positivos.