Redondance dynamique

De manière similaire au cas cinématique où des vitesses articulaires appliquées dans l’espace nul du robot ne produisaient aucune vitesse dans l’espace opérationnel, pour la résolution de la redondance en dynamique, aucune accélération articulaire appliquée dans l’espace nul du robot ne génère des accélérations dans l’espace opérationnel du robot. Par contre, ces accélérations articulaires additionnelles peuvent générer des mouvements internes. Autrement dit, dans un robot redondant, il peut y avoir plusieurs combinaisons de couples articulaires pour générer la même amplitude et direction de force appliquée par le robot dans l’espace opérationnel (figure 2.6). Nous étudions ici deux manières d’aborder la résolution de la redondance pour l’appli-cation d’une commande dynamique. La première est de résoudre la redondance à partir d’une commande en accélération. La seconde est de résoudre la redondance du robot directement sur la commande en couple.

2.3.2.1 Résolution en accélération

Les deux commandes présentées pour la commande en vitesse peuvent aussi s’étendre pour une commande en accélération. Si l’on définit une loi de commande en couple à travers l’équation suivante :

τ_C = ˆM(q)¨q_c+ ˆC(q,q) ˙˙ q+ ˆg(q)−τˆ_EXT (2.31)

Figure 2.6:Représentation des mouvements internes générés par l’application d’accélérations articulaires dans l’espace nul de la matrice jacobienne

Avec les paramètres dynamiques estimés ˆM(q) ∈ <^n×n, ˆC(q,q)˙ ∈ <ⁿ, ˆg(q) ∈ <ⁿ et les couples externes mesurés/estimés τ_EXT ∈ <ⁿ. En plus, ¨q_c ∈ <ⁿ est l’accélération de commande qui peut être dérivée du modèle cinématique pour l’application d’une tâche principale dans l’espace opérationnel. Si l’on dérive l’équation (2.3) du modèle cinématique direct, on obtient :

x¨= ˙J(q) ˙q+J(q)¨q (2.32)

De cette équation peut s’extraire l’accélération de commande, en utilisant la matrice pseudo-inverse généralisée. Similairement au cas cinématique, on peut additionner une accélération dans l’espace nul de la matrice jacobienneqℵ∈ <ⁿ qui ne produise aucune accélération dans l’espace opérationnel du robot :

q¨_c=J_W⁺x¨_c−J˙q˙+ ¨qℵ (2.33) L’accélération de commande ¨xc ∈ <^m peut alors être utilisée pour appliquer une commande quelconque dans l’espace opérationnel. Un projecteur dans l’espace nul, basé sur la matrice pseudo-inverse généralisée, est alors défini :

q¨c=J_W⁺ x¨c−J˙q˙+I−J_W⁺Jξ (2.34) Avec le vecteur arbitraire ξ = α∇m(q). De manière similaire au cas de résolution en vitesse, bien que cette formulation optimise une fonction coûtm(q) dans l’espace nul de la matrice jaco-bienne, la définition d’une commande dans l’espace nul avec retour du mouvement interne reste impossible. L’approche de la matrice augmentée en définissant la matrice jacobienne de l’espace

2.3. Résolution de la redondance

nul et les vitesses du mouvement interne peut être étendue à la résolution de la redondance en accélération. Cette méthode peut permettre une définition explicite de la dynamique de l’espace nul, comme on le montrera ci-dessous. Ainsi, si l’on dérive l’équation du modèle cinématique direct de la tâche augmentée, on obtient :

x¨_A= ˙J_A(q) ˙q+J_A(q)¨q=

La solution inverse de cette équation peut donc nous donner une commande en accélération en fonction de la matrice jacobienne de l’espace opérationnelJ(q) et celle de l’espace nulJℵ(q). La solution serait la suivante :

q¨c=J_A⁻¹x¨A−J˙Aq˙=^hJ_W⁺(q) V(q)ⁱ x¨A−J˙Aq˙ (2.36) Cette équation peut être reformulée ainsi :

q¨c=J_W⁺ x¨c−J˙q˙+V x¨ℵ−J˙ℵq˙ (2.37) Sachant que J V = 0, à partir de l’équation précédente, il est alors facile à démontrer que l’accélération dans l’espace opérationnel ¨xest seulement générée par l’accélération de commande de la tâche principale ¨xc, c’est-à-dire que ¨x= ¨xc. En appliquant l’accélération ¨qcdans l’équation (2.34) de commande en couple, on obtient :

τ_C = ˆM(q)^hJ_W⁺(q) V(q)ⁱ x¨_A−J˙_Aq˙+ ˆC(q,q) ˙˙ q+ ˆg(q)−τˆ_EXT (2.38) Si l’on développe le premier terme de cette équation, il est possible de réécrire l’équation précé-dente comme suit :

τ_C =τ_T +τℵ+ ˆC(q,q) ˙˙ q+ ˆg(q)−τˆ_EXT (2.39) Avec τT ∈ <ⁿ, le couple de commande de la tâche principale :

τ_T = ˆM(q)^hJ_W⁺ x¨_c−J˙q˙ⁱ (2.40) Et τℵ ∈ <ⁿ, le couple de commande permettant d’appliquer des tâches supplémentaires dans l’espace nul de la matrice jacobienne :

τℵ= ˆM(q)^hV x¨ℵ−J˙ℵq˙ⁱ (2.41)

2.3.2.2 Résolution en couple

L’approche précédente abordait le problème de la résolution de la redondance pour une com-mande dynamique depuis la consigne en accélération. Cette méthode est utile lorsque la consigne à appliquer est une accélération. Il existe aussi une autre approche pour gérer la résolution de la redondance au niveau dynamique, directement à partir de la consigne en couple. Cette approche est souhaitable pour des commandes en couple où la consigne est un couple, souvent n’ayant pas besoin d’estimer la matrice d’inertie du robot. Ce type de commande est aussi utilisé pour

appliquer des approches de commande qui ne nécessitent pas l’estimation de forces externes, comme c’est le cas de la commande compliante étudiée dans la section 1.2.8.

En supposant les couples externes inconnus, avec τ_T et τℵ comme les couples de commande pour la tâche primaire et pour l’espace nul, respectivement, le couple de commande devient [Khatib, 1987] :

τC =τT +τℵ+ ˆC(q,q) ˙˙ q+ ˆg(q) (2.42) Il est possible de définir un projecteur dans l’espace nulN(q), tel que le couple de commandeτℵ

ne génère pas d’efforts supplémentaires au niveau de l’espace opérationnel du robot. Le couple τℵ peut alors être défini comme suit :

τℵ=N(q)τnul=I−J^TJ_W^+Tτnul (2.43) Le vecteur de couples τ_nul ∈ <ⁿ est projeté dans l’espace nul par le projecteur N(q) = (I−J^TJ_W^+T)τnul, ce qui veut dire qu’il n’intervient pas avec la tâche primaire intégrée dans τ_T. Afin de prouver cela, on peut calculer les forces opérationnelles F_OP ∈ <^m générées par les deux couples de commande, τ_T et τℵ, en appliquant la relation entre couples et forces décrite dans l’équation (2.7) : F =J_W^+Tτ. Ainsi, si l’on applique cette relation aux couples τT

etτℵ, on obtient :

F_OP =J_W^+T (τ_T +τℵ) =J_W^+Tτ_T +J_W^+Tτℵ (2.44) Définissant F_T ∈ <^m comme la force opérationnelle provoquée par la tâche principale, on peut trouver :

FOP =FT +J_W^+T I−J^TJ_W^+Tτ_nul =FT (2.45) Des tâches additionnelles peuvent alors être exécutées à travers le couple τ_nul [Dietrich et al., 2015].