Chen & Wu (2006) concentraram-se, mais tarde, novamente na questão anterior, mas optaram como medida de desempenho pelo atraso total, com a finalidade de o minimizar. Acrescentaram, claro, o atributo de data de entrega a cada trabalho e ainda o pressuposto de que o tempo de setup depende do tipo de molde e da máquina que o receberá. Note-se que o problema pertence igualmente à classe NP-difícil. Nesta sequência, os investigadores formularam uma heurística que combina o método de aceitação de limites (em inglês, “threshold-accepting”, TA), listas tabu, conseguidas a partir do método de pesquisa tabu, e metodologias de melhoramento. O TA é semelhante ao SA, contudo só aceita uma nova solução vizinha, se o seu valor não for pior que a soma do da solução atual com um limite gradualmente reduzido. Em oposição, o SA aceita soluções vizinhas piores, com probabilidade cada vez menor. Como o TA aceita soluções que não trazem qualquer melhoria, é possível a ocorrência de soluções cíclicas, prevenidas pela utilização de listas tabu.
A heurística começa por gerar uma solução inicial, dada pela afetação dos trabalhos às máquinas que os processam com maior eficiência, seguida do seu agendamento, em cada uma delas, mediante a regra da data mais cedo de entrega (EDD) e um método de ajuste. Sempre que os trabalhos são reescalonados, deve-se aplicar um procedimento de melhoria, dado pela reprogramação de cada equipamento. Deste modo, é da realocação dos trabalhos de uma máquina que os colocará em prática mais tarde, para uma que os porá mais cedo, que advém a geração de soluções vizinhas. Tal respeita os mesmo princípios de “empurrar” diretamente e indiretamente, descritos por Chen (2005) e abrangidos pelo método TA. Quando um trabalho com processamento mais tardio é reafetado noutra máquina não equipada com o molde exigido, esse trabalho deve ser realizado ou mais cedo ou mais tarde, dependendo da disponibilidade desse molde. O arranjo selecionado será o que causar o menor atraso total. Para terminar, durante a exploração do espaço de pesquisa, os movimentos tabu devem ser descartados (a menos que provoquem melhorias) e imediatamente após a aceitação de uma solução vizinha melhor, dever-se-á reescalonar e atualizar a solução atual, bem como a melhor solução atual, caso aponte melhorias no atraso total.
Os testes computacionais permitiram concluir que o modelo consegue oferecer soluções ótimas para problemas de pequenas dimensões e com qualidade superior e em menor tempo do que o método SA de Tamaki et al. (1993). Quando comparadas com as do procedimento de custo aparente de atraso com setup (em inglês, “apparent-tardiness-cost-with-setup procedure”, ATCS), de Lee & Pinedo (1997), os resultados são melhores, mas requerem mais tempo.
4.2.1.3. Minimização do Makespan com Restrições de Recursos e de Elegibilidade de Máquina
Edis (2009) defendeu a sua tese de doutoramento no âmbito dos problemas de planeamento de máquinas paralelas com restrições de elegibilidade e de recursos, a partir da qual, em anos seguintes, publicou diversos artigos científicos.
Nessa sequência, Edis & Ozkarahan (2012) descreveram um sistema de planeamento que recebe, no início de cada semana, os pedidos resultantes do plano de requisições de material (ou
materials requirements planning - MRP) e que executa o escalonamento das máquinas e o
sequenciamento dos trabalhos, com o objetivo de minimizar o makespan. O projeto foi motivado pelo problema de planeamento de máquinas paralelas com restrições de recursos, presente num departamento de moldação por injeção de componentes plásticos de uma empresa que os fornece para montagem de aparelhos eletrónicos. Este conta, em simultâneo, com restrições de elegibilidade de máquina (caso especial do ambiente de MPNR) (Edis et al., 2013) e dois tipos de recursos adicionais – moldes e operários, sendo o segundo partilhado pelos trabalhos.
Portanto, cada trabalho está associado a um molde, com produção completa do lote numa única máquina, enquanto que o molde pode estar associado a vários trabalhos, desde que compostos por diferentes materiais. No entanto, só existe um molde de cada tipo, o que impede a produção coincidente de trabalhos que utilizem o mesmo. Além disso, a montagem das matrizes apenas é possível quando compatíveis com as máquinas, surgindo daqui as restrições de elegibilidade da máquina. Por sua vez, um número fixo de operadores inspeciona as peças, trata do seu acabamento e monitoriza as máquinas, sem a exigência por cada máquina de um colaborador. O ideal é terminar o fabrico das quantidades solicitadas atuais, de maneira a restar tempo e capacidade de recursos para os novos pedidos que chegarão ainda nessa semana, ou seja, minimizar o makespan.
Para reduzir o número de tipos de recursos adicionais, os autores assumiram os trabalhos que partilham moldes como “constituintes de sequências de trabalho”. Também as matrizes deixaram de ser vistas como recursos restritos para receberam essa designação, passando a serem elas as alocadas às máquinas durante um dado período, uma de cada vez. A interrupção das sequências não é permitida e os seus tempos de processamento são determinísticos e independentes dos equipamentos. Com base nessas considerações, os autores desenvolveram um modelo de programação inteira para representar todo o problema de escalonamento, de maneira a minimizar o respetivo makespan.
Por conseguinte, o problema foi dividido em dois, um relativo à afetação trabalhos-máquinas e outro ao agendamento nas máquinas. Para o primeiro criaram um modelo de programação inteira (afetação-PI) que afeta as sequências de trabalho aos processadores, com base na sua compatibilidade com as matrizes e nas condições acima mencionadas. Pretende-se aqui minimizar
a ocupação máxima das máquinas e dos operadores, tratando-se então do limite inferior do
makespan. Já com os trabalhos dedicados a cada máquina, para a questão do agendamento
apresentaram duas abordagens distintas, uma de programação inteira (agendamento-PI) e outra de programação por restrições (agendamento-PR), com vista à minimização do makespan. O modelo PR foi modelado num software, onde (1) os trabalhos foram considerados variáveis de decisão com três atributos (instante de início, de fim e duração do intervalo), (2) as máquinas paralelas, vistas como recursos unários (impossibilidade de partilha de recursos por dois trabalhos ao mesmo tempo) e (3) os operários, como recursos discretos (possibilidade de partilha por vários trabalhos), que no total não podiam exceder o número fixo de colaboradores disponíveis. Portanto, a combinação dos modelos origina as soluções afetação-PI/agendamento-PI e afetação-
PI/agendamento-PR.
Finalmente, os resultados computacionais mostraram que os métodos propostos melhoraram os valores de makespan em quase todos os problemas testados, com distâncias do ótimo muito curtas, dentro de intervalos de tempo razoáveis. Em particular, o modelo afetação-
PI/agendamento-PI é melhor para problemas com um grande número de operadores, ao passo que,
quando em menor número, o afetação-PI/agendamento-PR oferece valores de makespan relativamente mais eficientes. Também, para quase todos os testes, os resultados do afetação-
PI/agendamento-PR são rápidos e práticos.
O modelo de programação inteira global permitiu o desenvolvimento de uma outra abordagem designada de “lagrangian-based solution approach” (LSA), detalhada em Edis et al. (2008) e Edis (2009). Esta é sustentada pela relaxação lagrangeana, uma técnica de programação matemática aplicada na otimização com restrições. Como a facilidade de resolução da “relaxação
langrangeana de um problema” (RLP) é maior, alguns grupos de restrições difíceis são dualizadas.
Neste estudo, a restrição que garante que a utilização cumulativa, em cada período, de recursos adicionais não excede o número de unidades de recursos disponível, foi removida e dualizada, transformando o problema num problema de escalonamento mais simples.
O próximo passo foi determinar os valores dos multiplicadores langrangeanos que tornam o limite inferior o mais perto possível do valor ótimo, ou seja, que o maximizam, através do “programa dual lagrangeano”. O cálculo dos multiplicadores ótimos é efetuado pelo “procedimento de otimização de subgradiente”, que permite resolver RLPs pela atualização desses coeficientes, mas requer um limite superior inicial admissível conseguido por uma “heurística
inicial”. No entanto, muitas vezes o RLP gera planos não admissíveis (utilização cumulativa de
recursos adicionais superior à quantidade de recursos disponível), que deverão ser convertidos no oposto, por uma “heurística lagrangeana”. Por sua vez, esta concede um limite superior para o problema original e que é devidamente utilizado para atualizar o limite superior atual. Já o “procedimento de otimização de subgradiente” tenciona aproximar iterativamente os limites inferior e superior atualizados.
Em alternativa, construíram uma “heurística específica do problema” (HEP) independente, para encontrar soluções perto do ótimo – limites superiores.
Os testes computacionais em instâncias geradas aleatoriamente revelaram que os algoritmos obtêm limites inferiores muito próximos do ótimo, em particular, o LSA produz melhores resultados em ambientes de máquinas pouco flexíveis e o HEP, relativamente melhores nas mais flexíveis.
4.2.1.4. Minimização do Makespan e Maximização da Produtividade, com