4.3 Conception de la commande dynamique . . . . 80 4.3.1 Méthode de priorité stricte . . . . 81 4.3.2 Méthode d’augmentation de l’espace opérationnel . . . . 83 4.4 Résultats de simulation . . . . 83 4.4.1 Premier cas : espace de travail 2D . . . . 84 4.4.2 Deuxième cas : espace de travail 3D . . . . 88 4.5 Conclusions . . . . 89
Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons proposé d’améliorer la performance du mouvement dans l’espace nul en introduisant une formulation augmentée avec retour de l’espace nul. Malgré ces améliorations, qui garantissent efficacement la contrainte du RCM, cette formulation ainsi que celle décrite dans [Michelin et al., 2004] ne fournissent pas une définition explicite de la ci-nématique de la tâche qui gouverne la contrainte ; c’est-à-dire une matrice jacobienne, puisque ces formulations sont seulement basées sur l’optimisation d’une fonction objectif. Si nous ana-lysons la hiérarchisation des tâches pour un robot chirurgical dédié avec un RCM mécanique, comme c’est le cas du système robotisé Da Vinci, on pourrait dire que la contrainte du RCM possède la priorité supérieure puisqu’elle est garantie par sa conception mécanique. Dans notre cas, si nous voulions donner la priorité supérieure à la tâche relative à la contrainte du RCM, il serait nécessaire de définir une matrice jacobienne pour cette tâche de priorité supérieure.
L’absence d’une matrice jacobienne pour la tâche de contrainte du RCM génère des difficultés pour la prise en compte d’autres tâches utiles mais d’une priorité inférieure ; en effet dans une structure hiérarchisable stricte, les matrices jacobiennes des tâches avec une priorité supérieure sont nécessaires pour calculer les projecteurs de l’espace nul (section 2.3.4.1).
Dans ce contexte, [Aghakhani et al., 2013] fournissent une caractérisation généralisée de la contrainte du RCM afin de définir les coordonnées du RCM comme l’espace opérationnel du robot. Cette approche a été appliquée pour un acte de chirurgie intraoculaire assistée par robot, comme présenté dans [Nasseri et al., 2014]. Cependant, sa dépendance à un paramètre repré-sentant le taux d’insertion de l’outil dans le corps du patient rend impossible l’extrapolation de la méthode vers une approche de commande dynamique. [Azimian et al., 2010] fournissent une formulation générale de la cinématique du trocart, mais sa dépendance au calcul du plan tangent au corps rend difficile son application dans un contexte réel. Une autre méthode pour commander la contrainte du RCM à travers la minimisation de la contrainte de force a été proposée par [Cha and Yi, 2011], cependant cette méthode est applicable uniquement pour des robots non redondants.
Nous proposons ici une nouvelle caractérisation générale de la contrainte du RCM où une ma-trice jacobienne de la contrainte cinématique est définie seulement comme une fonction des positions articulaires du robot. Un algorithme comparable a été proposé par [Fahimi, 2008]
pour l’évitement d’obstacles dans un espace de travail en 2D. Une méthode de résolution de la redondance avec hiérarchie stricte est appliquée (section 2.3.4.1), afin de définir la contrainte du RCM comme premier ordre de priorité et la trajectoire de l’extrémité de l’outil comme second ordre de priorité, de façon similaire à l’ordre hiérarchique des tâches que celui proposé dans le système da Vinci. Conformément à la structure hiérarchique stricte, d’autres tâches peuvent être réalisées dans des niveaux inférieurs de priorité, en utilisant la matrice jacobienne de la contrainte cinématique proposée pour calculer les projecteurs de l’espace nul. Une seconde mé-thode pour appliquer la contrainte du RCM dans l’espace opérationnel est proposée, à travers une méthode d’augmentation de l’espace opérationnel (section 2.3.1.2). Dans cette méthode, une nouvelle tâche augmentée peut être définie, composée par la tâche de contrainte du RCM et par la tâche relative à la trajectoire de l’extrémité de l’outil. Ceci est réalisé en fournissant le même ordre de priorité aux deux tâches, pendant que l’espace nul de la tâche augmentée peut être utilisé pour accomplir d’autres tâches additionnelles avec un niveau de priorité mineur. Une
partie des travaux présentés dans ce chapitre ont été publiés dans [Sandoval et al., 2017a] et [Sandoval et al., 2017b].
4.1 Caractérisation cinématique précédente de la contrainte du RCM
[Aghakhani et al., 2013] fournissent une formulation généralisée de la contrainte du RCM qui peut être appliquée au niveau vitesse. Cette méthode est expliquée brièvement ci-dessous.
On considère un manipulateur sériel den-liaisons pivot insérant son corps i, c’est-à-dire l’outil, à travers le trocart positionné sur le corps du patient au point Pt, comme le montre la figure 4.1. Ainsi, la position du point PRCM, localisée sur l’axe du corps i coïncidant avec le pointPt, peut être définie comme suit :
PRCM(q) =Pi(q) +λ(Pi+1(q)−Pi(q)) (4.1) Oùq(t)∈ <nreprésente le vecteur de position articulaire du robot, pendant que le paramètre λ, défini entre 0 et 1, désigne le taux d’insertion du corps idans le corps du patient. En dérivant l’équation précédente par rapport au temps, on obtient :
P˙RCM = ˙Pi+ ˙λ(Pi+1−Pi) +λ( ˙Pi+1−P˙i) (4.2) Réécrivant cette équation en fonction des matrices jacobiennes Ji et Ji+1, représentant les re-lations entre les vitesses articulaires ˙q vers les vitesses ˙Pi et ˙Pi+1 respectivement, une matrice jacobienne de la contrainte du RCM peut être définie ainsi :
P˙RCM = Ji+λ(Ji+1−Ji)
La définition de JRCM0 (q,λ) ∈ <6×(n+1) est utile pour développer une commande dans l’espace opérationnel de la contrainte du RCM, où la commande appliquée doit être réalisée de telle sorte que la minimisation de l’erreur de la tâche et=Pt−PRCM soit garantie.
Cependant, cette formulation ne peut être envisagée qu’au niveau cinématique, c’est-à-dire que l’intégration au niveau accélération ou couple n’est pas possible. En fait, la dépendance de λ dans la matrice jacobienneJRCM0 la rend inconsistante pour assurer la contrainte du RCM dans l’espace opérationnel dans une approche de commande dynamique.
Dans la section suivante, nous proposons une nouvelle formulation de la contrainte du RCM, dans laquelle la nouvelle matrice jacobienne est définie de telle sorte que la mise en œuvre dans une approche de commande dynamique est possible, i.e. qu’il y aura seulement une dépendance du vecteur des positions articulaires q.