Reconstruction d’image

Il est possible de calculer des sinogrammes pour les projections discr`etes R(k, θ) [51].

La reconstruction d’images `a partir de projections continues en utilisant la transform´ee de Radon discr`ete n´ecessite une mise en correspondance inverse de celle obtenue pour le sinogramme R(k, θ). Cela peut ˆetre fait par mise en correspondance des transform´ees de Fourier discr`etes et continues des donn´ees. Pour cela toutes les donn´ees obtenues par transform´ee de Fourier discr`ete de toutes les projections sont utilis´ees pour obtenir les fr´equences de chaque projection discr`ete. L’erreur d’inter- polation est plus grande `a haute fr´equence. L’utilisation dans le domaine de Fourier de projections proches de θ + π

2 permet une meilleure approximation de l’image `a l’angle θ.

3.4

Conclusion

Nous venons de d´ecrire les algorithmes g´en´eraux de la reconstruction tomographique. Ces algo- rithmes se fondent sur une repr´esentation soit continue, soit discr`ete des donn´ees.

Nous allons utiliser cette repr´esentation discr`ete des donn´ees pour d´eriver de nouveaux algo- rithmes de reconstruction. Ces algorithmes vont mettre en œuvre tout d’abord une approche totale- ment discr`ete du probl`eme de reconstruction tomographique dans le Chapitre 4. Cette mise en œuvre a des points communs avec la reconstruction d´ecrite par Kingston et Svalbe [51]. Puis nous allons utiliser une g´eom´etrie et une repr´esentation discr`ete pour revisiter les algorithmes traditionnels de

3.4 Conclusion

Deuxi`eme partie

´

Enorm´ement de travaux ont ´et´e r´ealis´es pour la mise en place d’algorithmes performants pour la reconstruction d’images et de volumes comme nous l’avons d´ecrit dans la premi`ere partie. Il existe plusieurs g´eom´etries, plusieurs types de capteurs, plusieurs dimensions suivant lesquelles aborder le probl`eme, et aussi d’algorithmes incorporant ces contraintes. Dans ce m´emoire de th`ese, nous al- lons nous concentrer sur l’utilisation d’une g´eom´etrie particuli`ere d’acquisition angulaire avec une discr´etisation idoine donn´ee par la g´eom´etrie de la transform´ee Mojette. Cette version de la trans- form´ee de Radon est discr`ete et exacte pour un nombre fini d’angles. Par contre, l’ajout de bruit dans les donn´ees conduit `a un probl`eme mal pos´e n’ayant pas de solutions ´evidentes. En fait, cette derni`ere propri´et´e a ´et´e utilis´ee pour faire du tatouage dans les images [5]. Le but de ce travail de doctorat est donc de poser les fondations pour rechercher des solutions algorithmiques ´evitant le probl`eme mal pos´e de la g´eom´etrie Mojette. Pour cela, nous allons montrer dans le chapitre quatre comment obtenir une solution exacte en augmentant tout d’abord le nombre d’angles discrets (vis-`a- vis de la solution Mojette inverse classique) avant de r´eduire ce nombre tout en essayant de contrˆoler les fantˆomes de l’espace nul. Cette nouvelle formulation poss`ede des caract´eristiques math´ematiques int´eressantes lorsque l’on exprime les choses sous forme matricielle puisque l’on voit apparaˆıtre des matrices Toeplitz bloc Toeplitz lorsque l’on ins`ere cette nouvelle formule dans un algorithme de gradient conjugu´e. Dans le chapitre 5, nous revisiterons les algorithmes de r´etroprojections de pro- jections filtr´ees utilisant la g´eom´etrie Mojette pour exprimer les angles acquis. Nous ´eluciderons alors les liens entre l’op´erateur Mojette et les deux versions du filtre : celle obtenue dans le chapitre 4 et celle obtenue par d´erivation du mod`ele continu-discret de pixel [38] dans le cas d’angles Mojette. Ces sch´emas seront valid´es par des tests sur des fantˆomes num´eriques dans le chapitre six afin de donner une vue objective de la qualit´e des algorithmes d´evelopp´es mais aussi afin de pouvoir dessi- ner les grands traits de futures exp´erimentations r´eelles bas´ees sur des acquisitions tomographiques v´eritables.

Chapitre 4

Tomographie discr`ete Mojette

Sommaire

4.1 Introduction . . . 76 4.2 G´eom´etrie Mojette et rebinnage . . . 76 4.2.1 G´eom´etrie Mojette de projection . . . 76 4.2.1.1 De Radon `a la Mojette . . . 76 4.2.1.2 Obtention des projections Mojette Dirac . . . 79 4.2.1.2.1 Projections en 2D . . . 79 4.2.1.2.2 Projections en 3D . . . 79 4.2.1.3 Obtention de l’ensemble des directions de projection . . . 80 4.2.1.3.1 Suites de Farey en 1D . . . 80 4.2.1.3.2 Suites de Farey en 2D . . . 81 4.2.1.4 Obtention d’une base d’un hyperplan de dimension n − 1 dans un

espace de dimension n . . . 82 4.2.2 Reconstruction Mojette exacte . . . 84 4.2.3 R´etroprojection Mojette . . . 85 4.3 Algorithme de r´etroprojection filtr´ee discr`ete exacte . . . 86 4.3.1 Algorithme . . . 86 4.3.2 R´esultats . . . 88 4.4 Approximations . . . 89 4.4.1 Utilisation d’un nombre r´eduit de projections . . . 89 4.4.2 Obtention de projections par interpolation angulaire . . . 89 4.4.2.1 Principe de l’interpolation . . . 89 4.4.2.2 R´esultats . . . 92 4.5 Algorithme du Gradient Conjugu´e Mojette . . . 93 4.5.1 Propri´et´es de M∗_{M . . . . 93} 4.5.1.1 Expression de M∗_{M . . . . 94} 4.5.1.2 M∗_{M est une matrice Toeplitz Bloc Toeplitz . . . . 95}

4.5.2 Conditionnement de M∗_{M . . . . 96} 4.5.3 Algorithme du gradient conjugu´e . . . 96 4.5.4 R´esultats de reconstruction . . . 97 4.6 Conclusion . . . 97

4.1

Introduction

Il existe des m´ethodes de reconstruction tomographique discr`ete qui s’appuient sur la trans- form´ee de Radon discr`ete (section 3.3.3). Nous allons pr´esenter une autre transformation de Radon discr`ete, la transformation Mojette. Elle a ´et´e mise au point dans l’´equipe IVC (Image et Vid´eo- Communication) du laboratoire IRCCyN en 1995 par JeanPierre Gu´edon [40] et a d´ej`a trouv´e des applications en g´eom´etrie discr`ete [63], en r´eseaux [39] et en protection des images m´edicales [5, 6]. Du fait de sa forte relation avec la transform´ee de Radon, nous avons appliqu´e cette trans- formation `a la tomographie. Nous allons d’abord rappeler les propri´et´es de la Mojette, puis nous allons d´eriver un nouveau sch´ema de reconstruction tomographique discret exact `a partir de cette transformation et nous l’´evaluerons.

Les propri´et´es de la transform´ee Mojette nous permettent aussi de d´eriver un sch´ema de recons- truction par gradient conjugu´e.