Etude de l’espace nul lors d’une reconstruction M ´ ∗

δ

K

M

Pour obtenir une repr´esentation de l’espace nul, nous effectuons une r´etroprojection tomogra- phique Mojette spline 0 sur deux fantˆomes num´eriques simples. Le premier est une image Dirac et le deuxi`eme est une image de taille 128 × 128 avec un carr´e de taille 17 × 17 centr´e dans l’image. Le fond de l’image est `a 0. Nous avons utilis´e une condition de Dirichlet sur les bords du carr´e [36]. La partie centrale du carr´e de taille 15 × 15 est `a 1, les bords ont la valeur 12 et les coins ont la valeur

1

4 (Figure 5.11). Les images reconstruites sont normalis´ees. La valeur maximum est ramen´ee `a 1 `a

l’aide d’un facteur de normalisation, le z´ero n’est pas modifi´e et les autres valeurs sont obtenues par interpolation lin´eaire.

Nous allons ´etudier l’espace nul de la r´etroprojection filtr´ee Mojette spline 0 en calculant les diff´erences entre les images originales et reconstruites.

Les deux fantˆomes sont test´es avec 64, 128 et 256 projections et la figure 5.12 montre les r´esultats pour le fantˆome Dirac et la figure 5.13 pour le fantˆome carr´e.

Comme montr´e par les images de diff´erence, d`es que le nombre de projections est ´egal `a la taille de l’image, les d´egradations de l’image se r´eduisent.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (a) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (b) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (c) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (d) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (e) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (f)

Fig.5.10 – Ligne d’une image Dirac reconstruite avec une r´etroprojection filtr´ee Mojette. (a) Image reconstruite avec 64 projections et un sch´ema M∗

δK0Mδ. (b) Image reconstruite avec 64 projections et

un sch´ema M∗

δK0M0. (c) Image reconstruite avec 128 projections et un sch´ema Mδ∗K0Mδ. (d) Image

reconstruite avec 128 projections et un sch´ema M∗

δK0M0. (e) Image reconstruite avec 256 projections

et un sch´ema M∗

5.4 Conclusion

Fig.5.11 – Fantˆome carr´e de taille 128 × 128.

(a) (b) (c) (d)

Fig.5.12 – Reconstruction d’une image Dirac avec un sch´ema M∗

δK0M0. (a) Image originale. (b)

Diff´erence normalis´ee entre l’image reconstruite et l’image originale pour 64 projections (facteur de normalisation _0.0461 ). (c) Diff´erence normalis´ee entre l’image reconstruite et l’image originale pour 128 projections (facteur de normalisation 1

0.036). (d) Diff´erence normalis´ee entre l’image reconstruite

et l’image originale pour 256 projections (facteur de normalisation _0.0231 ).

L’int´erˆet du deuxi`eme fantˆome est de montrer les d´egradations sur les bordures. La figure 5.14 repr´esente une coupe du fantˆome carr´e reconstruit. Plus le nombre de projections est grand, meilleure est la reconstruction des bords du carr´e.

5.4

Conclusion

Nous avons d´efini dans ce chapitre un op´erateur Mojette g´en´eralis´e d´ependant d’un mod`ele de pixel. `A l’aide de ces op´erateurs et de filtres d´ependants de la g´eom´etrie du probl`eme, nous avons r´e´ecrit en g´eom´etrie discr`ete Mojette un algorithme de reconstruction tomographique classique, l’al- gorithme de r´etroprojection filtr´ee.

(a) (b) (c) (d)

Fig. 5.13 – Reconstruction du fantˆome carr´e avec un sch´ema M∗

δK0M0. (a) Image originale. (b)

Diff´erence normalis´ee entre l’image reconstruite et l’image originale pour 64 projections (facteur de normalisation _0.0981 ). (c) Diff´erence normalis´ee entre l’image reconstruite et l’image originale pour 128 projections (facteur de normalisation 1

0.070). (d) Diff´erence normalis´ee entre l’image reconstruite

et l’image originale pour 256 projections (facteur de normalisation _0.0501 ).

L’utilisation de mod`eles de pixel qui sont des bases de Riesz et qui r´epondent aux crit`eres des filtres utilis´es dans la th´eorie g´en´erale d’´echantillonnage d’Unser/Aldroubi nous permet de d´eriver un sch´ema de reconstruction o`u l’´equivalence entre les mod`eles continu et discret est assur´ee `a chaque ´etape.

Cet algorithme donne une bonne reconstruction sans bruit et avec un sch´ema M∗

δK0M0. Nous

allons le comparer `a une reconstruction classique et voir son comportement sur d’autres fantˆomes sans ou avec bruit sur les projections.

5.4 Conclusion -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (a) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (b) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 120 (c)

Fig. 5.14 – Ligne de l’image reconstruite passant par le milieu du carr´e de l’image reconstruite normalis´ee. (a) 64 projections. (b) 128 projections. (c) 256 projections.

Chapitre 6

Validation

Sommaire

6.1 Introduction . . . 122 6.2 Evaluation de la qualit´´ e des images . . . 122 6.2.1 Les objets reconstruits . . . 123 6.2.2 D´etermination des tˆaches servant de r´ef´erences pour la mesure de la qualit´e

d’une image . . . 124 6.2.3 M´etriques significatives de mesure de la qualit´e . . . 124 6.2.4 Courbe ROC . . . 125 6.3 Choix des directions de projection . . . 127 6.3.1 Directions de projections donn´ees selon une suite de Farey Fn . . . 127 6.3.2 Projections uniform´ement r´eparties sur [0, π[ . . . 127 6.3.3 Projections uniform´ement r´eparties sur [0, π[ avec minimisation du nombre

de bins . . . 128 6.3.4 Comparaison des reconstructions selon le choix des angles. . . 129 6.4 Comparaison de la r´etroprojection filtr´ee discr`ete exacte avec la r´etroprojection

filtr´ee Mojette . . . 130 6.5 Comparaison de la r´etroprojection filtr´e Mojette et de la r´etroprojection

filtr´ee classique . . . 131 6.5.1 Mise en œuvre de la r´etroprojection filtr´ee classique . . . 131 6.5.2 Reconstruction sans filtrage et sans bruit . . . 133 6.5.3 R´etroprojections filtr´ees en absence de bruit . . . 135 6.5.3.1 Comparaison des reconstructions avec les filtres de RamLak et k0 135 6.5.3.2 Comparaison des reconstructions avec des fantˆomes `a fond non nul135 6.5.4 R´etroprojections filtr´ees bruit´ees . . . 139 6.5.5 Discussion . . . 140 6.6 Comparaison de la reconstruction gradient conjugu´e Mojette avec la

6.7 Conclusion . . . 144

6.1

Introduction

Pour ´evaluer l’algorithme de reconstruction de r´etroprojection filtr´ee Mojette nous l’avons mis en œuvre sur des fantˆomes num´eriques simples.

Nous rappelons tout d’abord la m´ethode de r´ef´erence d’´evaluation de la qualit´e des images m´edicales et les crit`eres d’´evaluation de la qualit´e. Nous avons utilis´e une m´ethode un peu simplifi´ee pour l’´evaluation de la qualit´e de nos images simul´ees car le type de validation que nous recherchons est un peu en amont d’un changement de caract´eristiques dans un algorithme : ici c’est la nature de l’algorithme que l’on teste pour savoir si la tomographie discr`ete peut ´egaler grossi`erement les m´ethodes usuelles.

Pour utiliser les m´ethodes de reconstruction Mojette, une premi`ere ´etape a ´et´e de choisir les angles de projection. Ces angles choisis, nous comparons les m´ethodes de reconstruction Mojette purement discr`etes puis continues-discr`etes. Ensuite nous avons compar´e notre m´ethode de r´etroprojection filtr´ee Mojette `a une m´ethode classique de reconstruction sans et avec bruit sur les projections et avec diff´erents fantˆomes.

Pour finir nous comparons la m´ethode de r´etroprojection filtr´ee Mojette `a la reconstruction par gradient conjugu´e pour comprendre la meilleure ad´equation logicielle de la tomographie discr`ete.