R´etroprojections filtr´ees en absence de bruit

6.5.3.1 Comparaison des reconstructions avec les filtres de RamLak et k0

Nous allons comparer les r´etroprojections filtr´ees en absence de bruit pour une g´eom´etrie Mojette et une g´eom´etrie classique en utilisant les filtres de RamLak (Table 6.2) et k0 (Table 6.3). Pour le

cas Mojette, le projecteur est le projecteur spline 0.

Le fantˆome reconstruit est le fantˆome carr´e 128 × 128 avec un fond nul. Les images reconstruites sont normalis´ees, ainsi que les images d’erreur. La MSE est calcul´ee sur toute l’image.

Les images reconstruites sont de meilleure qualit´e en terme de MSE avec le sch´ema Mojette que ce soit pour un filtrage RamLak ou un filtrage k0. Il n’y a pas de diff´erence notable en terme de MSE

lorsqu’on compare les images reconstruites avec le filtre k0 ou le filtre RamLak.

L’utilisation de filtres dans le cas Mojette permet d’ˆoter l’anisotropie de la reconstruction `a l’ext´erieur de l’objet comme c’´etait le cas sans filtre (figure 6.10).

Pour la reconstruction en g´eom´etrie classique, les projections sont de 128 bins. Les bords du carr´e ne sont pas bien reconstruits car la condition de Dirichlet n’est pas satisfaite sans sur´echantillonnage sur les projections [38].

Ce probl`eme de non sur´echantillonnage est le mˆeme en g´eom´etrie Mojette pour les projections (1, 0) et (0, 1). Ces projections n’ont que 128 bins, la condition de Dirichlet n’est pas satisfaite et il y a des artefacts en dehors de l’objet dans ces directions.

6.5.3.2 Comparaison des reconstructions avec des fantˆomes `a fond non nul

Nous nous sommes int´eress´e `a la reconstruction de fantˆomes `a fond non nul pour mettre en ´evidence d’autres types d’artefacts dus au fond.

La premi`ere image de test est `a nouveau un fantˆome carr´e 128 × 128 avec un objet 17 × 17 en son centre. La partie centrale 15 × 15 du carr´e est `a la valeur 1, les bords sont `a la valeur 58 et les

coins `a 7

16 (figure 6.11a). Le fond est fix´e `a 1

4. Ce fantˆome respecte une condition de Dirichlet.

Le second fantˆome est un disque de 21 pixels de diam`etre et la valeur des pixels sur les bords d´epend de la surface intercept´ee entre le pixel et le disque. Les pixels enti`erement compris dans le disque sont fix´es `a 1 et le fond est fix´e `a 1

4 (figure 6.11b).

Les coins du carr´e sont des objets plutˆot rares dans des images m´edicales, mˆeme si ce genre de forme peut apparaˆıtre avec des os, mais ils provoquent des hautes fr´equences dans le domaine de Fourier. C’est utile pour tester la lin´earit´e et l’invariance par translation de l’algorithme.

Les artefacts de reconstruction avec un fond non nul sont diff´erents sur le fantˆome carr´e de ceux obtenus sur le fantˆome `a fond nul. Ils sont beaucoup moins marqu´es dans les directions (0, 1) et (1, 0) mais on les voit apparaˆıtre pour d’autres directions de projection, notamment sur les images d’erreur. N´eanmoins, ce sont toujours des artefacts en strie que nous retrouvons pour les deux fantˆomes.

Sur le fantˆome rond, les artefacts de reconstruction sont isotropes contrairement au fantˆome carr´e. La g´eom´etrie du fantˆome n’induit pas d’artefacts particuliers dans les directions obliques.

Tab. 6.2 – R´etroprojection filtr´ee avec le filtre de RamLak. Les r´etroprojections sont mises en œuvre avec 16, 32, 64 et 128 projections uniform´ements r´eparties sur [0, π[. (a) Images r´esultats de r´etroprojection filtr´ee classique avec un filtrage RamLak, (b) Images d’erreur entre le r´esultat de la r´etroprojection filtr´ee classique et l’image originale, (b) Images r´esultats de r´etroprojection filtr´ee Mojette avec un filtrage RamLak, (d) Images d’erreur entre le r´esultat de la r´etroprojection filtr´ee Mojette et l’image originale

I = 16 I = 32 I = 64 I = 128

(a)

MSE = 0.00332 MSE = 0.00112 MSE = 0.00029 MSE = 0.00023

(b)

(c)

MSE = 0.00250 MSE = 0.00056 MSE = 0.00013 MSE = 0.00007

6.5 Comparaison de la r´etroprojection filtr´e Mojette et de la r´etroprojection filtr´ee classique

Tab.6.3 – R´etroprojection filtr´ee avec le filtre k0. Les r´etroprojections sont mises en œuvre avec 16,

32, 64 et 128 projections uniform´ements r´eparties sur [0, π[. (a) Images r´esultats de r´etroprojection filtr´ee classique avec un filtrage k0, (b) Images d’erreur entre le r´esultat de la r´etroprojection filtr´ee

classique et l’image originale, (b) Images r´esultats de r´etroprojection filtr´ee Mojette avec un filtrage k0, (d) Images d’erreur entre le r´esultat de la r´etroprojection filtr´ee Mojette et l’image originale

I = 16 I = 32 I = 64 I = 128

(a)

MSE = 0.00310 MSE = 0.00092 MSE = 0.00036 MSE = 0.00024

(b)

(c)

MSE = 0.00277 MSE = 0.00063 MSE = 0.00012 MSE = 0.00004

Tab. 6.4 – R´etroprojection filtr´ee avec une projection Mojette spline 0, un filtrage k0 et une

r´etroprojection Mojette Dirac. Les r´etroprojections sont mises en œuvre avec 16, 32, 64 et 128 projections uniform´ements r´eparties sur [0, π[.(a) Images r´esultats de r´etroprojection filtr´ee Mojette avec un filtrage k0 sur le fantˆome carr´e avec un fond `a 0, 25,(b) Images d’erreur entre le r´esultat de

la r´etroprojection filtr´ee classique et l’image originale,(b) Images r´esultats de r´etroprojection filtr´ee Mojette avec un filtrage k0 sur le fantˆome rond avec un fond `a 0, 25,(d) Images d’erreur entre le

r´esultat de la r´etroprojection filtr´ee Mojette et l’image originale.

I = 16 I = 32 I = 64 I = 128

(a)

MSE = 0.00697 MSE = 0.00393 MSE = 0.00135 MSE = 0.00040

(b)

(c)

MSE = 0.00872 MSE = 0.00375 MSE = 0.00108 MSE = 0.00024

6.5 Comparaison de la r´etroprojection filtr´e Mojette et de la r´etroprojection filtr´ee classique

(a) Fantˆome carr´e 128 × 128

(b) Fantˆome rond 128 × 128

Fig.6.11 – Images de test

6.5.4

R´etroprojections filtr´ees bruit´ees

Pour simuler une acquisition tomographique, la r´etroprojection filtr´ee Mojette est mise en œuvre sur des donn´ees bruit´ees pour un nombre de projections diff´erent mais avec le mˆeme nombre de photons total [74].

Si T est le nombre de photons total, S la somme totale des densit´es des pixels et I le nombre de projections, nous avons :

a × S × I = T, (6.5)

o`u a est un facteur multiplicatif.

Avant l’ajout de bruit, la somme des bins sur chaque projection est ´egale `a aS. Le nombre de coups sur les projections est modifi´e avec a pour toujours correspondre au mˆeme nombre de photons total, quel que soit le nombre de projections.

Nous avons ajout´e un bruit poissonnien sur les projections.

Les reconstructions sont compar´ees pour une distribution angulaire classique et Mojette. Mˆeme si le nombre de bins par projection est fix´e pour la r´etroprojection filtr´ee classique et varie pour la g´eom´etrie Mojette, ce qui donne des comportements tr`es diff´erents par bins, le r´esultat pour les deux algorithmes est proche (Table 6.5,Table 6.6). Toutes les images reconstruites sont normalis´ees entre 0 et 1. La r´etroprojection filtr´ee est mise en œuvre sur des images 128 × 128 pour 16, 32, 64, 128 et 256 projections. Les r´etroprojections filtr´ees Mojette et classique sont utilis´ees avec le filtre k0puis

avec le filtre k1. Pour le sch´ema Mojette, nous utilisons tout d’abord la projection Mojette spline 0

suivi d’un filtrage par k0et d’une r´etroprojection Mojette Dirac. Ensuite nous faisons une projection

Mojette spline 1, suivi d’un filtrage par un filtre k1 et d’une r´etroprojection Mojette Dirac et nous

obtiendrons une image `a partir des coefficients reconstruits avec la fonction duale de la fonction spline 1 comme expliqu´e pr´ec´edemment.

Nos simulations sont faites avec un nombre de coup total T = 1000000 et une somme de pixels S = 4312, 75 pour le fantˆome carr´e `a fond non nul et S = 4355, 77 pour le fantˆome rond `a fond non nul.

La MSE est calcul´ee sur un carr´e de taille 17 × 17 centr´e sur l’objet pour le fantˆome carr´e et sur un carr´e de taille 24 × 24 sur le fantˆome rond.