Rayon de convergence

1. La s´erie enti`ere P

2ⁿzⁿ converge pour |z| < ¹₂ et a pour somme (1−2z)⁻¹; elle diverge pour tout z ∈C tel que |z| ≥ ¹₂.

2. La s´erie enti`ere P

n!zⁿ ne converge que pour z = 0. En effet, quand z 6= 0, le terme g´en´eral n!zⁿ ne tend pas vers 0 (en fait son module tend vers +∞).

3. La s´erie enti`ere P

zⁿ/n! converge pour tout z ∈ C. Rappelons que la somme de cette s´erie s’appelle l’exponentielle complexe :

e^z =

+∞X

n=0

zⁿ n!.

Lorsque z est r´eel, on retrouve bien sˆur l’exponentielle au sens habituel.

Proposition 2.1.1.Supposons donn´ee une s´erie enti`ereP

a_nzⁿ. On suppose quer₀ >0 est donn´e et que la suite (a_nr₀ⁿ) est born´ee. Pour tout z ∈ C tel que |z| < r₀, la s´erie num´erique P

anzⁿ est (absolument) convergente. De plus, pour tout r1 tel que 0 ≤ r₁ < r₀, la s´erie de fonctions P

a_nzⁿ est normalement convergente dans le disque {z ∈C : |z| ≤ r1}. Il en r´esulte que la fonction somme z →f(z) = P_+∞

n=0anzⁿ est une fonction continue dans le disque ouvert {z ∈C:|z|< r₀}.

D´emonstration. Il suffit de d´emontrer la deuxi`eme partie de l’´enonc´e, qui implique en particulier que P

anzⁿ est absolument convergente pour tout z tel que |z| < r0 (poser simplement r₁ =|z|, et appliquer la suite de l’´enonc´e) ; soit M un majorant de la suite (|an|r₀ⁿ) et soit r1 tel que 0 ≤ r1 < r0; pour tout z ∈ C tel que |z| ≤ r1 on a la majoration

|a_nzⁿ| =

a_nrⁿ₀ z r₀

n

≤Mr1

r₀ n

=v_n, et la s´erie majorante P

v_n est convergente puisque 0 ≤ r₁/r₀ < 1. Le reste de l’´enonc´e provient des r´esultats du chapitre1.

Indiquons une cons´equence importante de l’´enonc´e pr´ec´edent. Si la s´erie P a_nz₀ⁿ converge pour un certain z₀ ∈ C non nul, la s´erie P

a_nzⁿ converge absolument pour tout z ∈ C tel que |z| < |z₀|. En effet, la convergence de la s´erie P

a_nzⁿ₀ implique que la suite (|a_n||z₀|ⁿ) est born´ee, ce qui permet d’appliquer la proposition pr´ec´edente avec r₀ =|z₀|.

Passons maintenant `a la notion de rayon de convergence. Consid´erons l’ensemble B des nombres r´eelsr≥ 0 tels que la suite (anr<sup>n</sup>) soit born´ee. On a bien sˆur 0∈B (et on a vu dans l’exemple (2) ci-dessus qu’il est possible que B ={0}). Si B contient le nombre r ≥ 0, il est clair qu’il contient aussi tout le segment [0, r], donc B est un intervalle, de la forme [0, a] ou bien [0, a[, ou bien [0,+∞[. Dans le cas o`u l’ensemble B est major´e, d´esignons par R la borne sup´erieure de B, et dans le cas o`u B n’est pas major´e posons R = +∞.

Le nombre R, peut ˆetre ´egal `a +∞, a la propri´et´e que la s´erieP

anzⁿ converge dans le disque ouvert {z ∈C: |z|<R} et ne converge pour aucun z ∈ C tel que |z| >R. En effet, si |z|< R il existe r0 ∈ B tel que |z|< r0 (parce que R est le plus petit majorant de B) et la s´erie P

a_nzⁿ est convergente d’apr`es la proposition 2.1.1 (puisque la suite (anr₀ⁿ) est born´ee et que |z|< r0). Si|z|>R, on en d´eduit que |z|∈/ B (parce que R est un majorant de B) donc la s´erie ne peut pas converger au pointz puisque |a_n||z|ⁿ n’est pas born´ee.

D´efinition 2.1.2. Le nombre R ainsi d´etermin´e (´eventuellement ´egal `a +∞) s’appelle lerayon de convergence de la s´erie enti`ere P

a_nzⁿ. Le disque {z ∈C:|z|<R}s’appelle disque (ouvert) de convergence. Dans le cas o`u R < +∞, le cercle {z ∈ C : |z| = R} s’appelle cercle de convergence de la s´erie enti`ere.

On ne sait pas en g´en´eral si la s´erie converge pour les points du cercle de convergence.

Elle peut converger pour certains points de ce cercle, ou bien pour tous les points du cercle ou encore pour aucun point du cercle de convergence.

Exemples

1. La s´erie g´eom´etrique P

zⁿ est une s´erie enti`ere de rayon de convergence R = 1 : elle est en effet convergente pour tout nombre complexez de module <1, et divergente pour tout nombre complexez tel que|z| ≥1. C’est un exemple o`u il y a divergence pour tout point du cercle de convergence.

2. La s´erie enti`ere P

n>1zⁿ/n converge pour z = −1, et elle diverge pour z = 1.

Par cons´equent, son rayon de convergence est R = 1. Sur le cercle |z| = 1 il y a en fait convergence pour toutz = e^ix 6= 1 (o`u x∈R). On a vu en effet au chapitre sur les s´eries num´eriques (en utilisant la transformation d’Abel) que la s´erie

X

n>1

e^inx n

est convergente pour tout x r´eel diff´erent des nombres 2kπ.

3. La s´erie enti`ere P

n>1zⁿ/n² est de rayon de convergence R = 1, et elle converge pour tout point z du cercle de convergence. La s´erie enti`ere P

nzⁿ est de rayon de convergence R = 1, et elle ne converge pour aucun point z du cercle de convergence.

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R´esum´e Soit P

a_nzⁿ une s´erie enti`ere ; il existe un nombre fini ou infini R ∈ [0,+∞], appel´e rayon de convergence de la s´erie enti`ere, tel que

– pour tout z ∈C tel que |z|>R, la s´erie P

a_nzⁿ diverge – pour toutr tel que 0≤r <R, la s´erie num´erique P

|a_n|rⁿ converge, donc la s´erie Pa_nzⁿ converge normalement dans le disque {z ∈ C : |z| ≤ r}. La somme de la s´erie est une fonction continue dans le disque ouvert de convergence {z ∈C:|z|<R}.

Rappelons que le comportement sur le cercle de rayon R d´epend de l’exemple con-sid´er´e. Dans le cas R = 0, la s´erie enti`ere converge pourz = 0 et seulement pour z = 0.

Calcul du rayon de convergence

Lemme. Consid´erons une s´erie enti`ere P

anzⁿ, et d´esignons par R son rayon de con-vergence.

– Si on a r > R, il existe une infinit´e d’indices n tels que r|a_n|^1/n >1. Autrement dit, si r≥0 et si on a r|a_n|^1/n ≤1 pour tout n assez grand, alors r≤R.

– Si on a0≤r < R, on a r|a_n|^1/n <1 pour tout n assez grand.

– On a R>0 si et seulement si la suite (|a_n|^1/n) (d´efinie pour n≥1) est born´ee.

D´emonstration. Supposons r > R ; on sait alors que r /∈ B, donc la suite (anrⁿ) n’est pas born´ee ; il existe alors par exemple une infinit´e d’indices n tels que |a_n|rⁿ ≥ 2 et pour ces indices on a r|an|^1/n ≥2^1/n >1.

Soit 0 ≤ r < R ; on sait que la s´erie P

anrⁿ est convergente, par cons´equent on a lim_n→+∞a_nrⁿ = 0. Il existe donc un entier N tel que pour n ≥ N on ait |a_nrⁿ| < 1.

Ainsi, pour toutn≥N, on a

|an|^1/nr < 1.

On voit en particulier que si R>0, la suite (|a_n|^1/n) est born´ee (prendre r= R/2 dans l’argument pr´ec´edent). Inversement, si la suite (|a_n|^1/n) est born´ee par M et si on prend r = 1/M >0 on aura r|a_n|^1/n ≤ 1 pour tout n, donc la suite (a_nrⁿ) est born´ee par 1, donc r∈B et R≥r >0. On a ainsi montr´e que le rayon de convergence R est nul si et seulement si la suite (|a_n|^1/n) n’est pas born´ee.

Interpr´etons le lemme pr´ec´edent avec la notion de limite sup´erieure, d’abord dans le cas 0< R <+∞. Soit y > 1/R ; alors r = 1/y < R, donc r|a_n|^1/n < 1 pour n assez grand, donc il n’y a qu’un nombre fini d’indicesntels que y <|a_n|^1/n. Inversement, soit x tel que 0 < x < 1/R ; alors r = 1/x > R, donc d’apr`es la premi`ere partie du lemme il existe une infinit´e d’indices n tels que r|a_n|^1/n > 1, ou encore d’indices n tels que x <|a_n|^1/n. On voit donc que 1/R est le point de coupure qui d´efinit la limite sup´erieure de la suite (|a_n|^1/n). On a donc

1

R = lim sup

n |a_n|^1/n.

Etant donn´ee une suite (x´ _n) non major´ee de nombres r´eels, on conviendra de poser lim sup_nx_n= +∞. On a vu que R = 0 si et seulement si la suite|a_n|^1/n n’est pas born´ee ; si on interpr`ete 1/R = 1/0 = +∞, on aura encore 1/R = lim sup_n|a_n|^1/n dans ce cas.

Finalement, si R = +∞ on voit que lim sup_n|a_n|^1/n = 0 = 1/(+∞). On obtient donc :

Proposition 2.1.3.Le rayon de convergence Rde la s´erie enti`ere P

a_nzⁿ est d´etermin´e par la formule

1

R = lim sup

n |a_n|^1/n.

Si la limite sup´erieure ci-dessus est+∞, le rayon est nul. Si la limite sup´erieure est nulle, on a R = +∞.

D´etermination pratique du rayon de convergence

Corollaire 2.1.4. Si la limite ` = lim<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|<sup>1/n</sup> existe (limite finie ou infinie), le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

anzⁿ est ´egal `a 1/` (avec les conventions naturelles 1/0 = +∞ et 1/(+∞) = 0).

Exemples. Consid´erons les deux s´eries P

2ⁿzⁿ, P

nzⁿ : on trouve `= 2 pour le premier exemple et` = 1 pour le second. Les rayons de convergence sont donc 1/2 pour le premier exemple et 1 pour le second.

Proposition 2.1.5. Soit P

anzⁿ une s´erie enti`ere ; on suppose qu’il existe deux r´eels ρ₁, ρ₂>0 tels que l’on ait pour tout nassez grand

ρ₁ ≤ a_n+1

a_n ≤ρ₂. Alors

1

ρ₂ ≤R≤ 1 ρ₁.

En particulier, silim_n→+∞|an+1/an|=`, le rayon de convergence de la s´erie enti`ere est

´egal `a R = 1/` (avec les mˆemes conventions que pr´ec´edemment).

D´emonstration. Supposons que n0 soit assez grand pour que l’encadrement donn´e ci-dessus pour|a_m+1/a_m| soit vrai pour toutm≥n₀. On aura pour n > n₀

|a_n0|ρⁿ⁻ⁿ₁ ⁰ ≤ |a_n|= a_n

a_n−1 . . .a_n0+1

an⁰

|a_n0| ≤ |a_n0|ρⁿ⁻ⁿ₂ ⁰,

donc |an|ρ⁻ⁿ₁ ≥ |an⁰|ρ⁻ⁿ₁ ⁰ > 0 pour tout n > n0; ainsi la suite (anρ⁻ⁿ₁ ) ne tend pas vers 0, donc la s´erie P

a_nρ⁻ⁿ₁ diverge et on en d´eduit que R ≤ρ⁻¹₁ . De l’autre cˆot´e, la suite (anρ⁻ⁿ₂ ) est born´ee, donc ρ⁻¹₂ ≤R.

Exemples.

1. Pour la s´erie exponentielle P

zⁿ/n! on voit que a_n+1/a_n → 0, ce qui confirme que le rayon de convergence est ´egal `a +∞.

2. La s´erie enti`ere P

nzⁿ a pour rayon de convergence 1. En effet, on a

n→+∞lim n+ 1

n = 1.

Bien souvent, le rapporta_n+1/a_nn’a pas de sens, et il est alors n´ecessaire de revenir

`a la d´efinition du rayon de convergence et d’encadrer le terme |a<sub>n</sub>|r<sup>n</sup> par des termes g´en´eraux de s´eries dont on connaˆıt d´ej`a la nature.

Exercice. Si n⁻¹ ≤ |a_n| ≤n pour tout entier n≥1, montrer que la s´erie enti`ere P a_nzⁿ a pour rayon de convergence R = 1.

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