Op´erations sur les s´eries enti`eres

Commen¸cons par un rappel. ´Etant donn´ees deux s´eries num´eriques P

u_n et P

v_n deux s´eries num´eriques absolument convergentes ; la s´erie produitP

wn, de terme g´en´eralwn =Pn

i=0uiv_n−i est absolument convergente. De plus, si on pose U = P_+∞

On peut appliquer ceci aux s´eries enti`eres, dont on sait qu’elles sont absolument convergentes `a l’int´erieur du disque de convergence. On remarque d’abord que la s´erie produit P

w_n de deux s´eries enti`eres P

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ est encore une s´erie enti`ere, wn = (a0bn+a1b_n−1+· · ·+anb0)zⁿ.

Proposition 2.2.1. Soient P

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ deux s´eries enti`eres de rayon de conver-gence R et R⁰ respectivement ; posons cn =Pn

i=0aib_n−i. Alors les s´eries enti`eres X(a_n+b_n)zⁿ, X

c_nzⁿ

sont de rayon de convergence≥min(R,R⁰). De plus, si pour tout nombre complexe z de module |z|<min(R,R⁰) on pose f(z) =P_+∞

Remarque. Il est possible que le rayon de la somme ou celui du produit soit strictement plus grand que min(R,R⁰). Pour donner un exemple dans le cas de la somme il suffit de prendre an = −bn = 1 pour tout n; alors R = R⁰ = 1, mais la s´erie somme est la s´erie nulle, de rayon de convergence +∞. Pour un exemple avec le produit, prenons encore an = 1 pour tout n, maisg(z) = 1−z. Alors R = 1,f(z) = (1−z)⁻¹mais la s´erie produit se r´eduit au premier termec0= 1, et son rayon de convergence est +∞.

D´erivation des s´eries enti`eres Etant donn´ee une s´erie enti`ere´ P

anzⁿ, la s´erie d´eriv´ee est une nouvelle s´erie enti`ere

d´efinie par X

n>1

na_nzⁿ⁻¹.

Proposition 2.2.2.La s´erie enti`ere P

a_nzⁿ et sa s´erie d´eriv´eeP

n>1na_nzⁿ⁻¹ ont mˆeme rayon de convergence.

D´emonstration. Posonsb_n =na_n; on rappelle que n^1/n tend vers 1 lorsque n tend vers +∞, ce qui implique que les suites (|a_n|^1/n) et (|b_n|^1/n) = (n^1/n|a_n|^1/n) sont ´equivalentes.

Il en r´esulte que

lim sup

n |a_n|^1/n = lim sup

n |b_n|^1/n,

ce qui donne l’´egalit´e des rayons de convergence des s´eries enti`eresP

a_nzⁿ et P

na_nzⁿ. Le r´esultat voulu en d´ecoule.

Remarque. En utilisant la transformation d’Abel, on montre que si la s´erieP

n>1nanzⁿ⁻¹ converge au pointz, alors la s´erie P

anzⁿ converge au mˆeme pointz.

Proposition 2.2.3. Soit R le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

a_nzⁿ; sur l’intervalle ]−R,R [ la fonction f d´efinie par

f(x) = X+∞

n=0

a_nxⁿ est d´erivable, et de d´eriv´ee

f⁰(x) =

+∞X

n=1

nanxⁿ⁻¹.

D´emonstration. Il suffit de constater que sur tout intervalle ]−r, r[, avec 0≤r < R la s´erie d´eriv´ee P

n>1nanxⁿ⁻¹ est normalement convergente, et la s´erie P

anxⁿ convergente ; d’apr`es le th´eor`eme1.3.2de d´erivation des s´eries de fonctions, la fonctionf sera d´erivable sur ]−r, r[, de d´eriv´ee donn´ee par la somme de la s´erie d´eriv´ee. Puisque ces intervalles recouvrent ]−R,R [ la fonction f sera d´erivable sur ]−R,R [.

Calcul des d´eriv´ees successives

Calculons les d´eriv´ees successives de la somme f(x) =P_+∞

n=0a_nxⁿ d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R>0 ; pour tout entier k ≥1, on aura en it´erant l’application de la proposition pr´ec´edente

∀x∈]−R,R[, f^(k)(x) =

+∞X

n=k

n(n−1). . .(n−k+ 1)a_nx^n−k. On en d´eduit

Corollaire 2.2.4.SoitR le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

a_nzⁿ; la fonction f d´efinie sur l’intervalle ]−R,R [ par f(x) = P_+∞

n=0anxⁿ est ind´efiniment d´erivable, et on a pour tout entiern≥0

f⁽ⁿ⁾(0) =n!a_n.

Exemple. Si on se donne r >0 et |x|< r, g(x) = 1 + x

r +· · ·+ xⁿ

rⁿ +· · ·= r r−x, et pour tout k ≥0,

g^(k)(x) = r k!

(r−x)^k+1 =

+∞X

n=k

n(n−1). . .(n−k+ 1)x^n−k rⁿ .

28

Application : prolongement `a C d’´egalit´es obtenues dans le cas r´eel. Supposons que f1(z) et f2(z) soient deux fonctions sommes de s´eries enti`eres de rayon de convergence ≥R>0, et que l’on ait pu d´emontrer quef(x) =g(x) pour tout x∈]−R,R[. Il en r´esulte alors quef(z) =g(z) pour tout z ∈C tel que |z|< R. En effet, l’´egalit´e de f et g sur l’intervalle ]−R,R[ implique l’´egalit´e de toutes les fonctions d´eriv´ees f₁^(k) et f₂^(k) sur le mˆeme intervalle, donc l’´egalit´e de tous les coefficients des deux s´eries enti`eres, obtenus `a partir des valeursf₁^(k)(0) =f₂^(k)(0).

Pour donner un tout petit exemple, la formule ci-dessus donne le d´eveloppement de la fonctionx →(1−x)^−k, obtenu par d´erivation. Mais on sait aussi que (1−z)^−k se repr´esente par une s´erie enti`ere pour tout |z| < 1, en faisant k fois le produit de la s´erie de (1−z)<sup>−1</sup> par elle-mˆeme. Cette deuxi`eme m´ethode est plus compliqu´ee, mais la remarque pr´ec´edente nous garantit que les coefficients trouv´es seront les mˆemes.

Proposition 2.2.5. Soit g(z) = P

bnzⁿ une s´erie enti`ere `a coefficients bn ≥ 0, de rayon de convergence R>0et soit d’autre partf(z) =P

anzⁿ une s´erie enti`ere telle que |an| ≤bn pour tout n≥0; on a alors pour tout k≥0et pour tout z∈Ctel que |z|<R

|f^(k)(z)| ≤g^(k)(|z|).

D´emonstration. Prenons d’abordk= 0. On aura

|f(z)|=

On remarque ensuite que les s´eries d´eriv´eesf⁰(z) =P

nanzⁿ⁻¹etg⁰(z) =P

nbnzⁿ⁻¹ v´erifient la mˆeme hypoth`ese de majoration des coefficients, puisqu’on a encore |nan| ≤ nbn pour tout n≥1, et ainsi de suite pour toutes les d´eriv´ees successives, ce qui donne le r´esultat.

On va en d´eduire une majoration des d´eriv´ees de la somme d’une s´erie enti`ere f(x) = P_+∞

n=0anxⁿ, de rayon de convergence R > 0. Si on se donne r tel que 0 < r < R, on sait que la suite (anrⁿ) est born´ee, et il en r´esulte qu’il existe une constante M telle que pour tout n≥0 on ait |an| ≤M/rⁿ, donc on pourra appliquer le r´esultat pr´ec´edent avec la s´erie enti`ere On retiendra le r´esultat sous la forme suivante : sif(x) =P

anxⁿ pour tout x∈]−R,R[, alors

Ces arguments montrent que les d´eriv´ees des fonctions d´efinies par une s´erie enti`ere v´erifient des in´egalit´es particuli`eres. Les r´esultats de ce paragraphe doivent servir `a expliquer les conditions que nous donnerons plus loin pour garantir qu’une fonctionf soit d´eveloppable en s´erie enti`ere (proposition2.3.2).

D´eriv´ee complexe Soit f(z) = P+∞

n=0anzⁿ la somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R > 0 ; si

|z|+|h| ≤r <R, on a la majoration

^(z+h)

n−zⁿ

h −nzⁿ⁻¹

^{≤ n(n}₂^{−1)rn−2|h|,} qui permet de montrer que

f⁰(z) = lim

h∈h→0C\{0}

f(z+h)−f(z) h existe, et est ´egale `a la somme de la s´erie d´eriv´ee.

Int´egration des s´eries enti`eres

Proposition 2.2.6.La s´erie enti`ere P

a_nzⁿ et la s´erie enti`ere a₀z+ a₁

2 z² + a₂

3 z³ +· · ·+ a_n

n+ 1zⁿ⁺¹+· · ·

ont mˆeme rayon de convergenceR. Si R>0, la fonctionf d´efinie sur l’intervalle]−R,R [ par la formule

f(x) = X+∞

n=0

a_nxⁿ admet pour primitive nulle en z´ero la fonction

F(x) =

+∞X

n=0

an

n+ 1xⁿ⁺¹. D´emonstration. La s´erie donn´eeP

a_nzⁿ est la s´erie d´eriv´ee de la deuxi`eme s´erie. Toutes les affirmations d´ecoulent donc du th´eor`eme sur la d´erivation.

Exemples

La s´erie enti`ereP

(−1)ⁿxⁿ a pour rayon de convergence 1 et pour |x|<1 on a 1

1 +x =

+∞X

n=0

(−1)ⁿxⁿ. La s´erie enti`ereP

(−1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+ 1) a aussi 1 pour rayon de convergence, et sa somme est la primitive de la fonctionx 7→1/(1 +x) qui s’annule pour x = 0. Ainsi, sur ]−1,1 [ on a

ln(1 +x) =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ xⁿ⁺¹ n+ 1. De mˆeme, on a pour |x|<1

Arctanx = X+∞

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ 2n+ 1.

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Exponentielle complexe : rappels On a pos´e pour toutz ∈C

e^z =

+∞X

n=0

zⁿ n!. et on a vu que pour tous u et v∈C, on a e^u+v = e^ue^v. Proposition 2.2.7.Soit z un nombre complexe quelconque ;

– le nombre e^z est toujours non nul, et son inverse est e^−z;

– si z = x + iy, avec x et y r´eels, on a e^z = e^x(cosy + i siny). En particulier,

|e^z|= e^x.

– SoitZun nombre complexe non nul, de moduleρ, d’argumentθ, avec 0≤θ <2π; alors l’´equation

e^z = Z

a une infinit´e de solutions, donn´ees par z = lnρ+ iθ+ 2ikπ, avec k entier relatif quel-conque.

D´emonstration. Les deux premiers points sont des rappels ; pour v´erifier le troisi`eme, notons que le nombre complexe Z s’´ecrit Z = ρ(cosθ + i sinθ), de sorte que l’´equation ci-dessus est ´equivalente au syst`eme d’´equations

e^x =ρ

cosy= cosθ , siny= sinθ ce qui ´equivaut `a x= lnρ et y=θ+ 2kπ. D’o`u le r´esultat.

Exercice Montrer que la fonction complexe d´efinie sur R par t →e^tz est d´erivable, de d´eriv´ee ´egale `a ze^tz.

Logarithme complexe La s´erie enti`ere

z− z² 2 + z³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹zⁿ n +· · ·

a un rayon de convergence ´egal `a 1, et on sait que pour z=x r´eel, |x|<1, sa somme est ´egale

`

a ln(1 +x). Posons pour tout nombre complexe z tel que|z|<1 ln(1 +z) =z−z²

2 + z³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹zⁿ n +· · ·

Nous allons calculer cette fonction. On suppose donc|z|<1, et on pose u= 1 +z=re^iθ. On peut choisir un argumentθtel que |θ|< π/2 (faire un petit dessin ou bien noter que Reu >0).

Posons d = |z| = |u−1| < 1 et posons u(t) = re^itθ pour tout t ∈ [0,1]. On a u(0) = r et u(1) =u, et pour tout t∈[0,1],

|u(t)−1|²=r²+ 1−2rcos(tθ)≤r²+ 1−2rcos(θ) =|u−1|²=d².

Cela montre que |u(t)−1| ≤ d < 1 pour tout t ∈ [0,1], ce qui permet de calculer, en posant z(t) =u(t)−1

f(t) = ln(u(t)) = ln(1 + (u(t)−1)) = ln(1 +z(t)) au moyen de la s´erie pr´ec´edente,

f(t) =z(t)− z(t)²

2 +z(t)³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹z(t)ⁿ n +· · ·

On obtient une s´erie de fonctions P

un(), o`u u0 = 0 et un(t) = (−1)ⁿ⁻¹z(t)ⁿ/n pour tout n≥ 1. Nous allons montrer que la s´erie d´eriv´ee de cette s´erie de fonctions de la variable t est normalement convergente sur [0,1]. La s´erie d´eriv´ee est donn´ee par

z⁰(t)−z(t)z⁰(t) +z(t)²z⁰(t) +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹z(t)ⁿ⁻¹z⁰(t) +· · ·= z⁰(t) 1 +z(t). On remarque quez⁰(t) =riθe^itθ, donc |z⁰(t)|=r|θ|, et on a pour tout t∈[0,1]

|u⁰_n(t)|=r|θ| |z(t)|ⁿ⁻¹≤r|θ|dⁿ⁻¹=vn, ce qui nous donne une s´erie majorante convergente P

vn pour la s´erie de fonctions P u⁰_n() (parce que d < 1). Il en r´esulte que la somme de la s´erie d´eriv´ee est bien la d´eriv´ee de la fonctionf,

f⁰(t) = z⁰(t)

1 +z(t) = riθe^itθ re^itθ = iθ.

On voit donc que la d´eriv´ee def est constante, ´egale `a iθ. Il en r´esulte que ln(re^iθ) = ln(u) =f(1) =f(0) + iθ= ln(r) + iθ.

Cela sugg`ere une extension de la d´efinition de ln(z) au moyen de la formule ci-dessus, ln(z) = ln|z|+ i Argz,

o`u on aura choisi pour z /∈]− ∞,0] l’argument tel que −π < Argz < π. `A partir de cette formule on voit que e^ln(z) =z et ln(e^z) =z+ 2ikπlorsque tous les termes sont d´efinis.

S´eries enti`eres et d´eveloppements limit´es (en abr´eg´e : DL) On a vu que pour tout x tel que |x|<1

−ln(1−x) =x+x²

2 +· · ·+ xⁿ n +· · ·

Cette information a un sens pour tout x fix´e tel que |x|<1, par exemple

−ln(0,9) = 1

10 +· · ·+ 1

n10ⁿ +· · · D’un autre cˆot´e, l’information DL est par exemple du type suivant

−ln(1−x) =x+ x²

2 +x²ε(x).

Cette information de DL n’a pas de sens int´eressant pour une valeur fix´ee de x, par exemple si x= 0,9 ´ecrire

−ln(0,9) = 1 10 + 1

200 + 1

100ε(1/10)

n’a aucun int´erˆet, car sous cette forme on ne sait rien deε(1/10). L’information donn´ee par l’´ecriture DL est que lim_x→0ε(x) = 0. Une information de DL est donc une informa-tion de type ^hhglobalⁱⁱ, ou bien de type ^hhfonctionⁱⁱ, par opposition `a une information ponctuelle. C’est ce qui rend son utilisation un petit peu d´elicate.

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Classes O_a(f) (lire ^hhGrand Oⁱⁱ)

Tout d’abord, un peu de vocabulaire : on dit que V est unvoisinage d’un point a ∈Rsi V ⊂R contient un intervalle ouvert de la forme ]a−η, a+η[, pour un certain η >0. On appellevoisinage ´epoint´e de ce mˆeme pointa un ensemble obtenu `a partir d’un voisinage deaen enlevant le pointa, ce qui donne un ensemble de la forme V\{a}. Soita ∈Rfix´e ; soit f une fonction d´efinie sur un voisinage ´epoint´e du point a; on dit qu’une fonctiong d´efinie sur un voisinage ´epoint´e dea appartient `a la classe Oa(f) s’il existeε >0 et une constante M tels que

∀x∈]a−ε, a+ε[, x 6=a⇒ |g(x)| ≤M|f(x)| .

Autrement dit, il existe un voisinage ´epoint´e plus petit W sur lequel on a la majoration

|g| ≤M|f|. En termes un peu trop rapides, cela signifie que g/f est born´ee au voisinage de a.

Exemple. Posons f(x) = 1 pour tout x; on ´ecrit alors O_a(1) plutˆot que O_a(f). Si g(x) = 1/x, on aura g /∈O0(1), mais g∈O1(1) par exemple.

Propri´et´es.

1. f ∈O_a(f)

2. Oa(f) + Oa(f)⊂Oa(f) 3. O_a(f₁).O_a(f₂)⊂O_a(f₁f₂)

4. g∈Oa(f) implique que Oa(g)⊂Oa(f)

5. Si lim_x→af(x) existe (dans R ou C), alors f ∈O_a(1) 6. f ∼a g entraˆıne Oa(f) = Oa(g).

On peut aussi d´efinir des classes O_+∞(f) selon le mˆeme principe.

On va s’int´eresser tout particuli`erement pour les DL au cas o`u a = 0, et o`u les fonctions f sont les fonctions monˆomes p₀, p₁, . . . , p_n, . . . d´efinies sur R par p_n(x) = xⁿ. On notera en fait en suivant la tradition

O(xⁿ) := O₀(p_n).

On a les r`egles suivantes

. . .⊂O(xⁿ⁺¹)⊂O(xⁿ)⊂. . .⊂O(x)⊂O(1) Pour tous entiers m, n≥0,

O(x^m).O(xⁿ)⊂O(x^m+n).

Un DL avec notations O() est par exemple une expression de la forme x+x²+ O(x³).

Il s’agit d’une expression symbolique o`u le dernier terme O(x<sup>3</sup>) repr´esente un ´el´ement ind´etermin´e g de la classe O(x<sup>3</sup>). Il faut savoir simplifier les expressions obtenues apr`es divers calculs, par exemple le carr´e de l’expression pr´ec´edente sera

x²+ 2x³+x⁴+ 2xO(x³) + 2x²O(x³) + O(x³)O(x³) qui se r´eduit simplement `a

x²+ 2x³+ O(x⁴).

Proposition 2.2.8. Si r > 0 et si f(x) =P_+∞

n=0a_nxⁿ pour tout x ∈]−r, r[, on a pour tout n≥0

f −(a₀p₀+· · ·+a_np_n)∈O₀(p_n+1) ce qu’on ´ecrira simplement

f(x) =a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ+ O(xⁿ⁺¹).

La fonctionf admet donc des d´eveloppements limit´es en 0 de tous les ordres.

D´emonstration. Si on choisit 0< t < r on est sˆur que la suite (antⁿ) est born´ee, disons par M. On a alors pour|x|< t

|f(x)−(a₀+· · ·+a_nxⁿ)| ≤MX

k>n

t^−kx^k =xⁿ⁺¹ Mt⁻ⁿ t−x, ce qui donne le r´esultat.

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