4.2 Applications de Pogorelov infinit´esimales
5.1.1 Rappels sur l’espace de Teichm¨ uller
On rappelle quelques r´esultats sur l’espace de Teichm¨uller qui seront utiles `a divers endroits dans la suite.
D´efinition 5.1. Soit S une surface et g1et g2deux m´etriques riemanniennes sur S. On dit que g1et g2
sont conformes s’il existe u : S → R telle que g2= e2ug1.
Une structure conforme sur S est une classe d’´equivalences de m´etriques modulo la relation d’´equiva- lence “est conforme `a”.
Si on note ∇1 et ∇2 les connexions compatibles avec respectivement g
1 et g2, un calcul montre que
([GHL90, 2.55,c)], [Bes87, p. 58]) ∇2
XY = ∇1XY + du(X)Y + du(Y )X − g1(X, Y )∇u (5.1)
o`u ∇u est le gradient de u pour la m´etrique g1. Ainsi, en calculant simplement en suivant la d´efinition
(ou [Tay96, app. C, prop. 3.6]), on peut exprimer la courbure K2 de g
2 en fonction de la courbure K1de
g1 :
K2= e−2u(K1− ∆u) (5.2)
o`u ∆u est le laplacien de u pour la m´etrique g1 (on trouve dans [Bes87, p. 58] une formule pour les
vari´et´es de dimension n).
On peut introduire l’espace de Teichm¨uller de plusieurs fa¸cons diff´erentes [Nag88, Bus92, IT92, Tro92]. Nous nous contenterons de la d´efinition suivante : on note S une surface compacte de genre g. L’espace de Teichm¨uller de S, not´e Tg, est l’ensemble des structures conformes (ou complexes, ce qui est ´equivalent
en dimension 2) sur S, modulo les isotopies de S, c’est-`a-dire les hom´eomorphismes isotopes `a l’identit´e. Plus pr´ecisement, l’espace de Teichm¨uller de S est d´efini comme l’ensemble des couples (F, f ), o`u F est une surface compacte de genre g et f est un hom´eomorphisme de S vers f , avec la relation d’´equivalence suivante : (F1, f1) et (F2, f2) sont en relation si il existe un hom´eomorphisme h entre F1 et F2 tel que
f2−1◦ h ◦ f1 soit homotope `a l’identit´e.
Th´eor`eme 5.2. L’espace de Teichm¨uller Tg est en bijection analytique avec un point pour g = 0, le
demi-plan sup´erieur pour g = 1 et une boule ouverte de dimension (6g − 6) pour g > 1.
Par le th´eor`eme d’uniformisation, on sait qu’il existe une unique m´etrique hyperbolique dans une classe conforme de S, pour g > 1.
Corollaire 5.3. L’ensemble des m´etriques hyperboliques sur une surface de genre > 1 est connexe et simplement connexe.
D´emonstration. L’ensemble des m´etriques hyperboliques sur S est par d´efinition un fibr´e sur l’espace de Teichm¨uller de S, dont les fibres sont l’ensemble des isotopies de S. Cet ensemble est connexe (c’est par d´efinition la composante connexe de l’ensemble des hom´eomorphismes de S) et simplement connexe (il est en fait contractile [Gra73]).
Coordonn´ees de Fenchel–Nielsen de l’espace de Teichm¨uller. Une surface hyperbolique com- pacte peut-ˆetre d´ecrite comme un recollement de pantalons hyperboliques. Le choix des longueurs des g´eod´esiques le long desquelles on recolle les pantalons, et le choix de l’angle de la torsion quand on les recolle (le param`etre de twist) donnent (6g − 6) nombres r´eels qui d´ecrivent l’espace de Teichm¨uller : ce sont les coordonn´ees de Fenchel–Nielsen, voir [Bus92]. On note l(x) la longueur de la courbe x. Il est possible de calculer les param`etres de twists en fonction de la longueur de certaines g´eod´esiques : Proposition 5.4 ([Bus92, 3.3.12]). Soit γ la g´eod´esique le long de laquelle sont recoll´es deux pantalons. On note δ la g´eod´esique librement homotope aux courbes ferm´ees simples orthogonales `a γ. On effectue un twist de param`etre α autour de γ, et on note δα la g´eod´esique image de δ par le twist. Alors il existe
des fonctions u et v > 0 `a valeurs r´eelles d´ependant analytiquement de l(γ) telles que cosh1
2l(δ
α) = u + v cosh(αl(γ)). (5.3)
Convergence dans l’espace de Teichm¨uller. On fixe une surface compacte S de genre > 1. On note (Sk, gk)k une suite de (classes d’´equivalences de) m´etriques hyperboliques dans l’espace de Teichm¨uller
— chaque Sk est une surface compacte de genre > 1. On note fk l’hom´eomorphisme entre S et Sk, et
lk(γ) est la longueur de la g´eod´esique correspondant `a l’´el´ement (fk)∗(γ) du groupe fondamental de Sk
(γ ∈ π1(S)) pour la m´etrique gk.
Lemme 5.5. Si lk(γ) est uniform´ement born´ee pour tout γ ∈ π1(S), alors (gk)k converge (quitte `a
extraire une sous-suite).
D´emonstration. L’hypoth`ese du lemme indique que les coordonn´ees de Fenchel–Nielsen sont born´ees : la suite de m´etriques est contenue dans un compact de l’espace de Teichm¨uller. En effet, les longueurs des g´eod´esiques le long desquelles on d´ecoupe la surface pour obtenir des pantalons sont born´ees de fa¸con ´evidente. Les param`etres de twists sont aussi born´es, sinon d’apr`es (5.3) il existerait une g´eod´esique de longueur arbitrairement grande.
Lemme 5.6. Si il existe une constante c > 0 telle que, pour tout γ ∈ π1(S), lk(γ) ≥ 1cl0(γ), alors (gk)k
converge (quitte `a extraire une sous-suite).
D´emonstration. On va encore montrer que dans ce cas (gk)k est contenue dans un compact de l’espace
de Teichm¨uller en utilisant les coordonn´ees de Fenchel–Nielsen.
D’abord, les longueurs des g´eod´esiques le long desquelles on coupe pour obtenir des pantalons sont born´ees sup´erieurement : si elles ne l’´etaient pas, `a cause de la formule de Gauss–Bonnet, il devrait exister une autre g´eod´esique dont la longueur devrait d´ecroitre (sinon l’aire de la surface deviendrait arbitrairement grande), ce qui est impossible puisque les longueurs sont born´ees inf´erieurement.
Il reste `a prouver que les param`etres de twist sont born´es sup´erieurement. Prenons une g´eod´esique γ le long de laquelle un twist est fait. On suppose maintenant que le param`etre de twist αk autour de γ
devient arbitrairement grand (quitte `a prendre un k suffisament grand, on peut supposer que la longueur de γ ne varie pas). On consid`ere la g´eod´esique ferm´ee simple orthogonale `a γ pour la m´etrique gk, qui
correspond `a un ´el´ement δ de π1(S). Si on refait les twist `a l’envers pour revenir de la m´etrique gk `a la
m´etrique g0 (ce qui revient `a faire un twist de param`etre −αk), alors par (5.3), l0(δ) est arbitrairement
plus grand que lk(δ).
Coordonn´ees Z-V-C de l’espace de Teichm¨uller. Pour plus de d´etails sur les coordonn´ees de Z-V-C (Z-V-C pour Zieschang–Vogt–Coldewey, [ZVC80]) on renvoie `a [Bus92, 6.7].
CHAPITRE 5. ENSEMBLES DE M ´ETRIQUES 80
D´efinition 5.7. Soit g ≥ 2. Un polygone (g´eod´esiquement convexe) de l’espace hyperbolique d’arˆetes (ordonn´ees dans le sens direct) b1, b2, b1, b2, b3, b4, . . . , b2g et d’angles int´erieurs θ1, θ1, . . . , θ2g, θ2g est dit
canonique (normal) si, en notant l(c) la longueur de la g´eod´esique c, i) l(bk) = l(bk), ∀k ;
ii) θ1+ . . . + θ2g= 2π ;
iii) θ1+ θ2= θ1+ θ2= π.
Deux polygones P et P′ d’arˆetes b
1, . . . , b2g et b′1, . . . , b ′
2g sont dits ´equivalent si il existe une isom´etrie
de P `a P′ telle que b
1 soit envoy´ee sur b′1 et b2 sur b′2.
Si on identifie les arˆetes bi avec les arˆetes bi, on obtient une surface hyperbolique compacte de genre
g. Cette surface peut aussi s’´ecrire H2/F , o`u F est un sous-groupe de P SL(2, R) = Isom+(H2) engendr´e
par les translations le long des bi (la distance de la translation est la longueur de bi). L’int´erieur du
polygone est un domaine fondamental pour l’action de F . Ceci am`ene `a une description de l’espace de Teichm¨uller Tg :
Proposition 5.8 ([Bus92, 6.7.7]). Soit Pgl’ensemble des classes d’´equivalence des polygones canoniques.
Un ´el´ement de Pg est d´ecrit par les (6g − 6) r´eels (les coordonn´ees de Z-V-C) :
(b3, . . . , b2g, θ3, θ3, . . . , θ2g, θ2g). (5.4)
Muni de cette topologie, Pg est en bijection analytique avec Tg.