Une ´etude compl`ete de cette distance a ´et´e faite dans [Sch98b]. Bien sˆur tous les r´esultats de cette partie sont vrais en toute dimension.
Distance dans l’espace hyperbolique. On note h., .i la forme bilin´eaire sur l’espace de Minkowski de dimension 4 dans lequel on consid`ere les pseudo-sph`eres qui donnent l’espace hyperbolique H3 et l’espace
de Sitter dS3.
Proposition 3.39 ([Thu97, 2.4.5]). Soient deux points x et y norm´es de l’espace de Minkowski (i.e. la norme vaut 1 ou i). Alors
CHAPITRE 3. G ´EOM ´ETRIES HYPERBOLIQUE ET LORENTZIENNE 50
1) soit (x, y) ∈ H3× H3et alors hx, yi = − cosh d
H3(x, y) ;
2) soit (x, y) ∈ H3× dS3
et alors hx, yi = ± sinh dH3(x, y⊥) (l’ind´etermination est lev´ee par le choix
d’une signature pour la distance) ; 3) soit (x, y) ∈ dS3× dS3 et alors
a) soit le plan engendr´e par x et y est de type espace, et les g´eod´esiques de H3 donn´ees par x⊥ et
y⊥ sont s´ecantes et hx, yi = − cos ∠(x⊥, y⊥) ;
b) soit le plan engendr´e par x et y est de type lumi`ere, et les g´eod´esiques de H3donn´ees par x⊥ et
y⊥ sont ultraparall´eles et hx, yi = 1 ;
c) soit le plan engendr´e par x et y est de type temps, et les g´eod´esiques de H3 donn´ees par x⊥ et
y⊥ sont parall`eles et hx, yi = cosh d
H3(x⊥, y⊥).
Distance dans l’espace de Sitter. Comme par d´efinition la m´etrique induite sur un plan de type espace est riemannienne, et que l’espace de Sitter est l’ensemble des points de norme 1 on a imm´ediatement Lemme 3.40. Si (x, y) ∈ dS3× dS3 engendrent un plan de type espace, alors hx, yi = cos ddS3(x, y).
En mettant ce r´esultat en parall´ele avec le cas 3.a de la proposition pr´ec´edente, on voit d´ej`a apparaitre une dualit´e entre les distances d’un espace et les angles de l’autre.
Lemme 3.41. Si (x, y) ∈ dS3× dS3 engendrent un plan de type temps, alors hx, yi = cosh ddS3(x, y).
Si (x, y) ∈ dS3× dS3 engendrent un plan de type lumi`ere, alors ddS3(x, y) = 0.
D´emonstration. Comme on le fait habituellement pour le cas hyperbolique, on peut voir que la g´eod´esique reliant x et y est donn´ee par x cosh t + v sinh t (avec v un vecteur tangent). La distance entre x et y est donn´ee par un t fix´e et ainsi
hx, yi = hx, x cosh t + v sinh ti = cosh t = cosh ddS3(x, y). (3.67)
Dans le cas lumi`ere, la proposition pr´ec´edente indique que hx, yi = 1, et la distance est donn´ee comme cas limite des deux autres.
Rappel sur la distance de Hilbert de la boule. On note B la boule unit´e ouverte de R3, et on
note x et y deux points de B. On note ∆(x, y) la droite reliant x et y, et qui coupe la sph`ere unit´e en deux points a et b. On les choisit de telle mani`ere que, si on prend un point p ∈ ∆(x, y) qui n’est ni dans [a, b] ni dans [x, y] alors soit a et x sont plus pr`es de p que b et y respectivement, soit le contraire.
On note br(x, y; a, b) le birapport (cross-ratio) des quatre points, `a savoir : br(x, y; a, b) = ax
ay yb
xb. (3.68)
On appelle distance de Hilbert l’application dH(x, y) = −1
2log(br(x, y; a, b)). (3.69)
Et on a le r´esultat standard :
Lemme 3.42. La distance de Hilbert correspond `a la distance induite par la m´etrique hyperbolique du mod`ele projectif de Klein.
D´emonstration. Comme le birapport est projectivement invariant et que les transformations projectives laissant la sph`ere invariante agissent transitivement sur les droites, il suffit de montrer que les deux distances pour deux points sur une droite passant par 0 sont ´egales.
Si x et y sont `a distance η et ν (η < ν) de l’origine dans R3, alors ils sont `a distance tanh−1(η) et
entre x et y est tanh−1(ν) − tanh−1(η), et il reste simplement `a calculer : dH(x, y) = − 1 2log(br(η, ν; −1, 1)) (3.70) = −1 2log( η + 1 ν + 1. ν − 1 η − 1) (3.71) = −12log(η − 1 η + 1) + 1 2log( ν − 1 ν + 1) (3.72) = tanh−1(ν) − tanh−1(η). (3.73)
Extension de la d´efinition. On veut pouvoir ´etendre la distance dH pour des couples de points qui
sont hors de la boule. Le probl`eme est que l’intersection de la droite ∆ avec la boule peut ˆetre vide. On consid`ere alors la droite complexe ∆(x, y) de C3 dont l’intersection avec R3 est ∆(x, y). Il est facile de
v´erifier qu’il existe une unique quadrique S de C3telle que son intersection avec l’espace euclidien r´eel soit
la sph`ere unit´e, et que ∆(x, y) rencontre toujours S en deux points, qui sont confondus si et seulement si ∆(x, y) est tangente `a la sph`ere unit´e. On ordonne les points d’intersection a et b de la fa¸con suivante : soit ils sont r´eels et on les ordonne comme indiqu´e au-dessus, soit ils sont complexes conjugu´es, et alors i(a − b) est parall`ele `a ∆(x, y), et on choisit a et b de mani`ere `a ce que i(a − b) soit orient´e comme y − x. On peut alors d´efinir la distance de Hilbert (ou distance hyperbolique-de Sitter ) sur tout R3priv´e de
la sph`ere :
dHS(x, y) = −1
2log(br(x, y; a, b)). (3.74)
Dans cette formule (qui correspond exactement `a la distance de Hilbert usuelle quand on la restreind `a la boule) le logarithme est complexe, donc cette “distance” est un nombre complexe d´efini modulo iπ si x et y sont en-dehors de la boule. Et, de fa¸con analogue au cas hyperbolique, on a :
Lemme 3.43. i) Si ∆(x, y) rencontre la sph`ere en deux points non confondus qui ne s´eparent pas x et y, alors la g´eod´esique reliant x `a y est de type temps (si x et y sont s´epar´es, il n’y a pas de g´eod´esique qui les relie) ;
ii) si ∆(x, y) est tangent `a la sph`ere, alors la g´eod´esique reliant x `a y est de type lumi`ere ; iii) si ∆(x, y) ne rencontre pas la sph`ere, alors la g´eod´esique reliant x `a y est de type espace. Dans tous les cas la restriction de dHS `a R3\ B donne la distance entre les points correspondants dans
l’espace de Sitter, `a multiplication par −i pr`es.
D´emonstration. Dans chaque cas la g´eod´esique est bien sˆur l’intersection de R3\ B et de ∆(x, y), et
la description dans l’´enonc´e du lemme des diff´erents types de g´eod´esiques est juste une propri´et´e de la projection. Il reste `a v´erifier que dans chaque cas la distance est bien la mˆeme que celle de l’espace de Sitter.
Soit c la g´eod´esique (param´etr´ee par la longueur d’arc) de l’espace de Sitter entre x et y. Modulo une isom´etrie, on consid`ere qu’elle passe par le point (1, 0, 0, 0) et on la param`etre de telle fa¸con que c(0) = (1, 0, 0, 0). On note c(η) = x et c(ν) = y (η < ν).
i) Le plan qui rencontre l’espace de Sitter a une direction positive et une direction n´egative. On consid`ere qu’il s’agit du plan form´e par les coordonn´ees (x1, x4) ((+, −)). La g´eod´esique dans l’espace de
Sitter est projet´ee sur la droite d’´equation {x4 = 1} dans le plan de projection, et on cherche les points
d’intersection avec la quadrique {−x2
4+ x21= 0} (le cˆone de lumi`ere qui se projette sur la sph`ere), soient
les points d’abscisse v´erifiant −1 + x2
1= 0 : a et b valent respectivement 1 et −1.
CHAPITRE 3. G ´EOM ´ETRIES HYPERBOLIQUE ET LORENTZIENNE 52
l’origine et y sur un point `a distance coth(ν) de l’origine. On calcule dHS(x, y) = − 1 2log(br(coth(η), coth(ν); 1, −1)) (3.75) = −12log(coth(η) − 1 coth(ν) − 1. coth(ν) + 1 coth(η) + 1) (3.76) = −12log(coth(η) + 1 coth(η) − 1) + 1 2log( coth(ν) + 1 coth(ν) − 1) (3.77) = ν − η (3.78)
qui est bien −i fois la distance entre x et y pour la m´etrique de Sitter.
ii) Dans le cas o`u la droite est tangente `a la sph`ere, a et b sont confondus et donc la distance est nulle. iii) Le plan qui rencontre l’espace de Sitter a deux directions positives, on consid`ere qu’il s’agit du plan form´e par les deux premi`eres coordonn´ees x1 et x2.
Comme le birapport est un invariant projectif, on va utiliser la projection sur la premi`ere coordonn´ee. La g´eod´esique dans l’espace de Sitter est projet´ee sur la droite d’´equation {x1 = 1} dans le plan de
projection, et on cherche les points d’intersection avec la quadrique {x2
1+ x22= 0} (le cˆone de lumi`ere qui
se projette sur la sph`ere), soient les points d’abscisse v´erifiant 1 + x22= 0 : a et b valent respectivement i
et −i. D’apr`es le lemme 3.28, x est envoy´e sur un point `a distance tan(η) de l’origine, et y sur un point `a distance tan(ν) de l’origine.
Il ne reste qu’`a calculer
dHS(x, y) = −
1
2log(br(tan(η), tan(ν); i, −i)) (3.79)
= −12log(tan(η) − i ν − i . tan(ν) + i tan(η) + i) (3.80) = −1 2log( tan(η) + i tan(η) − i) + 1 2log( tan(ν) + i tan(ν) − i) (3.81)
= coth−1(i tan(ν)) − coth−1(i tan(η)) (3.82)
= −i(ν − η) (3.83)
qui est bien −i fois la distance entre x et y pour la m´etrique de Sitter.
De plus cette “distance” indique la distance entre un point `a l’int´erieur de la boule et un point `a l’ext´erieur : dans ce cas on v´erifie facilement que le birapport est un r´eel n´egatif, donc dHS est de la
forme iπ
2 + r o`u r est un r´eel. On peut aussi continuer `a parler de g´eod´esique entre deux tels points en consid´erant les g´eod´esiques de R3.
L’espace “m´etrique” (R3\ S2, dHS) est appel´e l’espace hyperbolique-de Sitter , not´e HS.