Espace de Teichm¨uller d’une surface `a points marqu´es. On s’int´eressera surtout `a l’espace de Teichm¨uller de S avec n point marqu´es, not´e Tg(n). Si on note x1, . . . , xn les points marqu´es, Tg(n) est
l’ensemble des structures conformes sur S \ {x1, . . . , xn} modulo les isotopies - ou, de fa¸con ´equivalente,
l’ensemble des structures conformes sur S modulo les isotopies qui fixent les points marqu´es, c’est-`a-dire que si (ht)test une isotopie de la surface, alors pour tout t, ht fixe les points marqu´es.
On a :
Th´eor`eme 5.12 ([Nag88, p. 150]). Pour 2g − 2 + n > 0, Tg(n) est en bijection analytique avec la boule
ouverte de R6g−6+2n.
5.2.1
D´efinition
On rappelle que MK+ est l’espace mod`ele riemannien de dimension 3 de courbure K et que MK− est l’espace lorentzien mod`ele de dimension 3 de courbure K, et que la courbure singuli`ere d’un cˆone convexe est positive dans MK+ et n´egative dans MK− (proposition 1.30 page 24 et proposition 3.51 page 57). On introduit ε ∈ {−, +}.
Une m´etrique de courbure K `a singularit´es coniques de courbure singuli`ere de signe ε sur une surface compacte S est la donn´ee de
– n points (x1, . . . , xn) de S
– d’une m´etrique de courbure K sur S \ {x1, . . . , xn}
telle que le voisinage de chaque xisoit isom´etrique au voisinage du sommet d’un cˆone convexe dans MKε.
(Dans le cas ε = +, ces m´etriques sont parfois appel´ees m´etriques poly´edrales (convexes) ).
Les points xi sont les points singuliers, l’angle αi autour du sommet xi est appel´e le cˆone-angle en xi
et le nombre (2π −αi) est la courbure (singuli`ere) en xi, not´ee ki. On dit que la m´etrique a une singularit´e
CHAPITRE 5. ENSEMBLES DE M ´ETRIQUES 84
Comme sur un cˆone le voisinage d’un point autre que le sommet est isom´etrique `a un ouvert de Mε K,
alors le nombre de points singuliers d’une m´etrique `a singularit´es coniques est discret, et comme la surface est suppos´ee compacte, il est fini.
5.2.2
Existence
Les conditions du type Gauss–Bonnet pour l’existence de telles m´etriques sont donn´ees par les th´eo- r`emes de Picard–Mc Owen–Troyanov.
On note Coneε
K(g; n) l’ensemble des m´etriques de courbure K `a n singularit´es coniques de courbure
singuli`ere de signe ε sur une surface compacte de genre g, modulo les isotopies de la surfaces qui fixent les points marqu´es.
M´etriques plates.
Th´eor`eme 5.13 (Troyanov, [Tro91]). Soit S une surface de Riemann compacte. Soient (x1, . . . , xn) des
points de S et (α1, . . . , αn) des nombres positifs. Si
2πχ(S) +
n
X
i=1
(αi− 2π) = 0 (5.21)
alors il existe une m´etrique conforme plate sur S avec des singularit´es coniques d’angles αi aux xi. Elle
est unique modulo homoth´eties.
Nous utilisons cet ´enonc´e avec la fonction constante ´egale `a 0 :
• Pour le genre g = 0, on a χ(S) = 2, et la formule (5.21) donne Pni=1αi = 2(n − 2)π. Comme
la sph`ere a une unique structure conforme, Cone+0(0; n) est en bijection avec le produit de l’ensemble
des configurations de points sur la sph`ere et de ]0, 2π[n−1×R
+ (le coefficient r´eel param´etre le choix de
l’homoth´etie). Quand `a Cone−0(0; n), il est vide.
• Pour le genre g = 1, on a χ(S) = 0, la formule (5.21) donnePni=1ki= 0, qui n’a pas de solution si
le signe des ki est constant : Cone+0(1; n) et Cone −
0(1; n) sont vides.
• Pour le genre g > 1, on a χ(S) = (2−2g) et la formule (5.21) donnePni=1ki= 2πχ(S) < 0, qui n’a de
solution que si les courbures sont n´egatives : Cone−0(> 1; n) est en bijection avec Tg(n)×]2π, ∞[n−1×R+
et Cone+0(> 1; n) est vide.
M´etriques hyperboliques.
Th´eor`eme 5.14 (Picard–Mc Owen–Troyanov, [McO88][Tro91, Theorem A]). Soit S une surface de Rie- mann compacte. Soient (x1, . . . , xn) des points de S et (α1, . . . , αn) des nombres positifs. Supposons que
2πχ(S) +
n
X
i=1
(αi− 2π) < 0. (5.22)
Alors chaque fonction lisse n´egative sur S est la courbure d’une unique m´etrique conforme sur S ayant en xi une singularit´e conique d’angle αi.
Nous utilisons cet ´enonc´e avec la fonction constante ´egale `a −1 :
• Pour le genre g = 0, χ(S) = 2, et la formule (5.22) donnePni=1(ki) > 4π : Cone−−1(0; n) est vide
et Cone+−1(0; n) est en bijection avec le produit de l’ensemble des configurations de points sur la sph`ere
avec ]0, 2π[n.
• Pour le genre g = 1, χ(S) = 0, la formule (5.22) donnePni=1ki > 0 : Cone −
−1(1; n) est vide et
Cone+−1(1; n) est en bijection avec le produit de T1(n) avec ]0, 2π[n.
• Pour le genre g > 1, on a χ(S) = (2 − 2g) et la formule (5.22) donne Pni=1ki > 4π(1 − g) :
Cone+−1(> 1; n) est en bijection avec Tg(n)×]0, 2π[n et Cone−−1(> 1; n) est en bijection avec Tg(n) × An,
On en d´eduit, en munissant les espaces de la topologie qui fait des bijections d´ecrites au-dessus des diff´eomorphismes :
Proposition 5.15. Les espaces Coneε
K(g; n) sont des vari´et´es contractiles de dimension (6g − 6 + 3n)
pour les triplets (g, K, ε) suivants :
(0, 0, +), (0, −1, +), (1, −1, +), (> 1, 0, −), (> 1, −1, +), (> 1, −1, −). (5.23) Les choses ne sont malheureusement pas aussi simples dans le cas des m´etriques sph´eriques.
M´etriques sph´eriques.
Th´eor`eme 5.16 ([Tro91, Theorem C]). Soit S une surface de Riemann compacte. Soient (x1, . . . , xn)
des points de S et α1≤ α2≤ . . . ≤ αn des nombres positifs. Si
0 < 2πχ(S) +
n
X
i=1
(αi− 2π) < min(4π, 2αi), (5.24)
alors toute fonction lisse sur S, positive en certains points, est la courbure d’une m´etrique conforme ayant en xi une singularit´e conique d’angle αi.
Le probl`eme est qu’il n’y a pas de r´esultat d’unicit´e de la m´etrique. En effet, prenons deux copies de la sph`ere standard et coupons-les le long d’une g´eod´esique de longueur t ∈]0, π[, et recollons-les le long des bords des disques obtenus. Pour chaque t les m´etriques sph´eriques obtenues ne sont pas isom´etriques, mais ce sont toutes des m´etriques avec deux singularit´es coniques au mˆeme endroit et de mˆeme angle 4π. En fait, il y a unicit´e dans le cas de courbure positive [LT92](dans cet article, les auteurs donnent une preuve analytique du th´eor`eme d’Alexandrov dans le cas sph´erique). Toujours dans le cas de la sph`ere, des conditions n´ecessaires et suffisantes sont connues si la m´etrique admet trois singularit´es coniques dont le signe de la courbure est quelconque [Ere04] — voir [UY00] pour un r´esultat partiel.
Consid`erons l’´enonc´e du th´eor`eme dans la cas o`u la fonction est constante ´egale `a 1. Pour n’importe quelle surface de genre g, χ(S) = (2 − 2g) et on obtient comme condition de Gauss–Bonnet 0 < 4π(1 − g) −Pni=1ki< min(4π, 2αi).
Si les courbures singuli`eres sont n´egatives, les αisont plus grands que 2π et min(4π, 2αi) = 4π. Ainsi
la condition de Gauss–Bonnet devient
4π(g − 1) <X|ki| < 4πg, (5.25)
et l’ensemble des solutions est non vide : les ensembles Cone−1(g; n) sont en surjection sur le produit
Tg(n) × Bn, o`u Bn= {(x1, . . . , xn) ∈ (R+\ {0})n|(g − 1) <Pxi< g} est un morceau d’un simplexe.
Si les courbures sont positives, on remarque que Cone+1(g; n) est vide si g > 1.