5.3.1
Longueurs des g´eod´esiques
Une g´eod´esique (poly´edrale) est une courbe sur une surface poly´edrale correspondant `a une g´eod´esique pour la m´etrique induite — en particulier sa restriction `a chaque face de la surface poly´edrale est un segment de g´eod´esique de l’espace ambiant.
Proposition 5.17 ([RH93, 3.6],[Sch96]). Soit S une surface (strictement) convexe de type espace de l’es- pace de Sitter (lisse ou poly´edrale). Alors toutes les g´eod´esiques ferm´ees sur S sont de longueur strictement sup´erieure `a 2π.
CHAPITRE 5. ENSEMBLES DE M ´ETRIQUES 86
L’´enonc´e de Rivin et Hodgson (pour le cas poly´edral) concerne les poly`edres compacts, mais la preuve ne fait pas intervenir cette condition.
Avec le r´esultat sur les cˆones convexes dans les espaces lorentziens (proposition 3.51 page 57), on voit que la m´etrique induite sur une surface poly´edrale convexe de l’espace de Sitter a des singularit´es coniques de courbure singuli`ere n´egative et la longueur de ses g´eod´esiques ferm´ees est strictement plus grande que 2π. De telles m´etriques sont parfois dites larges.
Avec le lemme 3.48 page 55, cela peut se formuler comme :
Proposition 5.18. La m´etrique duale d’une surface poly´edrale convexe de l’espace hyperbolique de di- mension 3 est large.
Ce r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e en toute dimension par R. Charney et M. Davis [CD95, CD96].
La proposition 5.17 se traduit en un ´enonc´e sur les g´eod´esiques contractiles pour les quotients de surfaces de l’espace de Sitter, puisque une g´eod´esique γ sur une surface Σ est contractile si et seulement si elle se rel`eve en une g´eod´esique ferm´ee de ˜Σ de mˆeme longueur.
On devra donc consid´erer le sous-ensemble de Cone−1(g; n) constitu´e des m´etriques dont la longueur
des g´eod´esiques contractiles est strictement sup´erieure `a 2π. On note Cone−,>2π1 (g; n) cet ensemble et on
le munit de la topologie induite par celle de l’ensemble des m´etriques sur S \ {x1, . . . , xn}.
L’ensemble Cone−1(g; n) \ Cone −,>2π
1 (g; n) n’est pas vide. En effet, on peut reprendre l’exemple lisse
des deux sph`eres reli´ees par un long tube fin, qui avait une g´eod´esique ferm´ee simple (contractile) de longueur < 2π.
On prend un nombre suffisant de points sur cette surface et on la triangule avec des triangles g´eod´e- siques dont les points choisis sont les sommets. Si les triangles sont suffisament petits (c’est-`a-dire si le nombre de sommets est suffisant), alors on remplace les triangles par des triangles sph´eriques ayant les mˆemes longueurs d’arˆetes. Les angles de ces triangles sont plus grands que ceux des triangles d’origine, donc la somme des angles autour de chaque sommet est > 2π, et la m´etrique `a singularit´e conique ainsi obtenue est “proche” de la m´etrique de d´epart, en particulier il y a toujours des g´eod´esiques contractibles de longueur < 2π (voir par exemple [RH93, Lemma 9.15]).
5.3.2
Poly`edres id´eaux
On retrouve un r´esultat standard [RH93, Riv96, Scha].
M´etrique duale d’un poly`edre id´eal. Dans le mod`ele projectif de Klein de l’espace hyperbolique, un sommet id´eal d’une surface poly´edrale de l’espace hyperbolique est un sommet qui est sur la sph`ere `a l’infini.
Le link d’un tel sommet est le polygone euclidien intersection de la surface poly´edrale et de l’horosph`ere centr´ee au sommet. Comme toutes les horosph`eres sont isom´etriques, le link ne d´epend pas du choix de celle-ci. On v´erifie que
Lemme 5.19. Consid`erons une suite de cˆones convexes de l’espace hyperbolique qui converge vers un cˆone convexe de sommet id´eal. Alors la suite des links de chaque sommet de chaque cˆone tend vers le link du sommet id´eal.
D´emonstration. Le link de chaque sommet est donn´e par l’intersection de la surface poly´edrale avec une petite sph`ere centr´ee en ce sommet. Il suffit de v´erifier que ces sph`eres tendent vers l’horosph`ere quand leur centre tend vers le bord `a l’infini. On peut le voir par exemple dans l’espace de Minkowski de dimension 4. Une sph`ere centr´ee en un point x est l’intersection de l’espace hyperbolique avec un hyperplan affine de type espace orthogonal au vecteur x (car les g´eod´esiques partant de x sont donn´ees par les plans vectoriels de type temps contenant le vecteur x, qui sont tous orthogonaux `a ces plans affines de type espace).
Un point sur le bord `a l’infini correspond `a un vecteur du cˆone de lumi`ere et les horosph`eres centr´ees en ce point sont les hyperplans affines de type lumi`ere parall`eles `a l’hyperplan vectoriel de type lumi`ere contenant le vecteur du cˆone de lumi`ere.
Pour chaque point, on peut choisir comme sph`ere centr´ee en ce point l’hyperplan passant par le point de coordonn´ee (0, 0, 0, t) pour un t fix´e. Si les vecteurs qui d´efinissent les centres tendent vers un vecteur du cˆone de lumi`ere, les hyperplans de type espace tendent vers un hyperplan de type lumi`ere.
Le dual d’un polygone euclidien est d´efini de la mˆeme fa¸con que pour les autres espaces : c’est l’ensemble des vecteurs normaux unitaires du polygone. Le dual d’un polygone convexe euclidien est donc le cercle unit´e (marqu´e de n points o`u n est le nombre d’arˆetes du polygone euclidien). On peut donc d´efinir la m´etrique duale d’une surface poly´edrale ayant des sommets id´eaux : en effet, le cercle fournit un h´emisph`ere qu’il est possible de recoller avec les links des autres sommets, puisque la distance entre deux points marqu´es sur le cercle est donn´ee par un angle di`edre entre deux faces de la surface poly´edrales ayant pour sommet le sommet id´eal.
On a donc que, pour toute suite (Pn)n de surfaces poly´edrales convexes convergeant vers une surface
poly´edrale convexe P ayant des sommets id´eaux, les m´etriques duales des Pnconvergent vers la m´etrique
duale de P .
Dual d’un poly`edre id´eal. On se place toujours dans le mod`ele projectif de Klein. Le dual d’un sommet id´eal est un plan tangent `a la sph`ere en ce point, soit un plan de type lumi`ere de l’espace de Sitter (puisqu’un vecteur de type lumi`ere est orthogonal `a lui-mˆeme).
La proposition 5.18, le lemme 3.48 page 55 (i.e. la m´etrique du dual d’un poly`edre hyperbolique est la m´etrique sur le dual) et le lemme pr´ec´edent impliquent que
Lemme 5.20. Soit (Pn)n une suite de surfaces poly´edrales convexes de type espace de l’espace de Sitter
convergeant vers une surface poly´edrale P convexe de type espace sauf en n faces de type lumi`ere. Alors la suite des m´etriques induites sur les (Pn)n tend vers une m´etrique sph´erique `a singularit´es
coniques de courbure singuli`ere n´egative dont la longueur des g´eod´esiques contractiles est > 2π, sauf pour n g´eod´esiques contractiles de longueur 2π bordant un h´emisph`ere ne contenant pas de points singuliers. D´emonstration [Scha]. On note Q le polygone qui correspond `a une face de type lumi`ere de P . On sait d´ej`a que la restriction `a Q de la m´etrique induite limite h est isom´etrique `a un h´emisph`ere. Il reste `a montrer que le bord ∂Q de Q est une g´eod´esique pour h.
On va montrer que ∂Q est concave des deux cˆot´es pour h. Du cˆot´e de Q, comme la m´etrique induite limite est celle d’un h´emisph`ere, son bord est une g´eod´esique et donc en particulier concave.
Pour l’autre cˆot´e, la m´etrique induite sur n’importe quel Pn a des singularit´es coniques de courbure
singuli`ere n´egative sur la courbe poly´edrale qui converge vers ∂Q. En particulier, l’angle autour des limites de ces points pour h est au moins 2π. Comme la restriction de h `a Q est isom´etrique `a un h´emisph`ere, du cˆot´e de Q l’angle entre deux segments concourants en un mˆeme sommet est π, ce qui signifie que de l’autre cˆot´e cet angle est au moins ´egal `a π, et que donc ce cˆot´e est concave pour h.
Comme la m´etrique induite sur le dual d’une surface poly´edrale de l’espace hyperbolique ayant un sommet id´eal a une face munie d’une m´etrique d´eg´en´er´ee, dans le cas id´eal la m´etrique duale d’une surface poly´edrale dans l’espace hyperbolique n’est pas la m´etrique induite sur le dual.