Rapide état de l’art de la modélisation de SC

Etant donnée notre faible expérience en termes de modélisation dynamique de supercondensateurs, et au regard du temps imparti, nous ne pouvons pas nous permettre de choisir un modèle trop complexe ou un modèle nécessitant une caractérisation avec du matériel que nous n’avons pas.

175 Le modèle théorique (donné dans [CON-99]) possède une infinité de branches RC (à valeurs non linéaires) en série et parallèle, c’est pourquoi des simplifications sont requises. Il est

Les sections qui suivent s’attacheront à décrire brièvement une partie (non exhaustive bien sûr) de ces modèles. Nous nous attacherons à en dégager quelques avantages/inconvénients au regard de la modélisation recherchée pour notre application. Nous invitons fortement le lecteur à se référer aux documents cités s’il désire plus d’informations sur les modèles présentés.

4.2.2.1 Modèle de SC à branches capacitives

Le groupe des modèles à branches capacitives peut se diviser en deux : les modèles dont les capacités sont indépendantes de la tension (modèles linéaires), et les modèles où celle-ci varie (modèles non linéaires).

Un autre modèle classique est issu de la modélisation précédente en ajoutant une résistance en parallèle à la capacité idéale. Ceci permet d’ajouter l’effet d’autodécharge au sein du supercondensateur.

Ces deux modèles (R-C et R-(C//R)) sont très utiles car ils sont peu demandeur en puissance de calcul pour simuler le comportement d’un supercondensateur. En revanche, la simplicité évidente de ces modèles ne permet pas de faire correspondre expérimentation et simulation sur des profils fortement dynamiques.

Un autre modèle linéaire proposé et très largement employé dans la littérature (cf.

[DOU-03], [ATC-06], [WAN-08]) est le modèle à 5 branches issu des travaux de J.R. Miller et A.F. Burke [MIL-94]. Ce modèle décrit le comportement d’un supercondensateur au moyen de 5 branches RC à valeurs linéaires.

Ensuite repris par plusieurs personnes, on trouve notamment ce modèle dans les travaux de [DOU-03] où des simplifications sont proposées (modèles 4 branches, 3 branches et 2 branches) ainsi que les domaines de validité de ces simplifications. Mais, bien que ce modèle imite physiquement la nature distribuée des électrodes du supercondensateur, il ne rend pas compte de la variation de la valeur de la capacité

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Comme on peut le constater, entre autres dans [AYA-04], [BEL-01], [FAR-07] et [DIA-08], bien souvent ce modèle est repris dans la littérature et simplifié par un modèle à deux branches. Cette simplification permet de reposer la partition de l’énergie électrostatique suivant deux échelles de temps : une rapide et une lente. L’avantage de ce modèle est que l’extraction des paramètres ne requiert pas de processus d’optimisation. La caractérisation fait appel à des mesures à courant constant et suit une logique précise conduisant à un circuit équivalent unique (détaillée dans [BEL-01])

4.2.2.2 Modèles de SC par ligne de transmission

4.2.2.2.1 Modèle de F. Belhachemi

[BEL-01] a amélioré le modèle précédent en remplaçant la première branche qui est désormais linéaire par une ligne de transmission (qui pourra être discrétisée en un nombre fini d’éléments). De plus, il a ajouté quelques cellules RC non linéaires après cette ligne pour modéliser plus finement les différentes constantes de temps, en particulier les redistributions lentes. L’ordre de la ligne de transmission est à choisir en fonction du degré de précision souhaité et de la puissance de calcul disponible. Par exemple [AYA-04] emploie dans ses travaux l’ordre 1, c'est-à-dire une simple représentation RC série, tandis que [BEL-01] se limite à 10 banches RC pour cette ligne de transmission. [BEL-01] atteint les limites du modèle au voisinage d’une fréquence de fonctionnement de 1kHz due à l’absence de terme inductif série.

4.2.2.2.2 Modèle de W. Lajnef

Selon les auteurs de [LAJ-04] et de [LAJ1-04], les modèles précédemment présentés ne sont pas totalement satisfaisants, pour une application aux véhicules électriques par exemple, pour les raisons qui suivent :

 Ils reprochent au modèle de R. Bonert et L. Zubieta [BON-97], [ZUB-00] (modèle non-linéaire à 3 branches) de décrire le comportement du supercondensateur pour des temps longs uniquement. Selon les auteurs, les paramètres du modèle sont obtenus avec des essais à courant constant. De ce fait, la constante de temps de chaque branche est choisie arbitrairement et sans connaissance préalable du supercondensateur ou du comportement de celui-ci.

 En ce qui concerne le modèle de J. R. Miller [MIL-94] (modèle linéaire à 5 branches), ce modèle est une représentation physique de la nature distribuée des électrodes d’un

177 supercondensateur. Cependant, il ne prend pas en compte la dépendance de la valeur des capacités avec le niveau de tension.

 A propos du modèle de F. Balhachemi [BEL-01] (modèle non-linéaire par ligne de transmission), il prend en compte autant les dynamiques rapides que les phénomènes lents. Cependant, il lui est reproché que la ligne de transmission possède une expression analytique nécessitant une discrétisation pour permettre une simulation en circuit électriques équivalents. De plus comme pour le modèle de R. Bonert et L.

Zubieta [BON-97], [ZUB-00] (modèle non-linéaire à 3 branches), les paramètres sont extraits à partir d’essais à courant constant.

En revanche, le modèle par ligne de transmission semble approprié puisqu’il n’est pas nécessaire de prendre en compte les temps longs (>10min) pour une application aux véhicules électriques. Ainsi, les auteurs de [LAJ-04] et de [LAJ1-04] ont souhaité proposer un autre modèle, destiné à leur application. C’est pourquoi W. Lajnef & al. proposent un modèle constitué d’une branche RC associée à une ligne de transmission à capacité variable d’ordre 4.

La particularité de ce modèle est que la dépendance de la valeur des capacités avec le niveau de tension est effectuée sur la ligne de transmission. L’extraction des paramètres s’effectuent par spectroscopie d’impédance et essais à courant constant.

4.2.2.3 Modèles fréquentiels de SC

Beaucoup de travaux basent leur modélisation sur des spectroscopies d’impédance à tension donnée et à courant moyen nul. Cette méthode de caractérisation permet de décrire correctement les comportements fréquentiels d’un supercondensateur. Cependant on leur reproche souvent de ne pas assez décrire les comportements sur des échelles de temps très longues. De plus, l’extraction des paramètres exige une optimisation différente et souvent plus complexe que dans le cas d’essais à courants constants.

On peut penser qu’en descendant très bas en fréquence avec une spectroscopie d’impédance, le modèle issu peut décrire aussi bien les hautes fréquences que les basses.

C’est dans ce sens que [BUL-02] propose une représentation d’un supercondensateur par une association série d’un terme inductif, résistif et d’une impédance complexe des électrodes poreuses (Zp). L’expression de cette dernière impédance est donnée en Equation (IV.6). Elle est responsable de la pente à 45° dans le plan de Nyquist normalisé et approche une capacité idéale pour les très basses fréquences. F. Rafik [RAF-06]. Il trouve son originalité dans le nombre limité de composants permettant de prendre en compte la dépendance de la capacité du supercondensateur, de la résistance série et de la redistribution des charges électriques aux aspects suivants : fréquence, tension et température. Ce modèle est basé sur celui proposé par R. Bonert et L. Zubieta ([BON-97], [ZUB-00]) qui donne une description de la dépendance de la tension aux basses fréquences. En

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revanche, des circuits sont greffés à ce modèle pour rendre compte des différentes dépendances citées.