Implantation du modèle dynamique fort signal d’une cellule PAC

Nous avons implanté notre modèle de simulation dans le logiciel PSIM^®. Tous les paramètres statiques et dynamiques constants, à l’exception des puissances non-entières, sont directement implantés à l’issue des deux étapes d’identification paramétrique précédentes.

En revanche la complexité du modèle ainsi défini nous amène à effectuer quelques simplifications supplémentaires sur les paramètres dépendants du courant. Ces simplifications (qui seront détaillées dans les paragraphes suivants) permettent de réaliser le modèle avec des éléments relativement usuels du logiciel de simulation de circuits électriques :

 Certaines puissances non-entières ont été fixées à 1.

 La résistance électrique est représentée par la plus petite des résistances identifiées par la méthode multispectre.

 Les densités de courants limites sont représentées par la moyenne des valeurs identifiées par la méthode multispectre.

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4.1.6.1 Traitement des puissances non entière

Il est impossible de représenter une impédance à puissance non-entière par un circuit électrique avec un nombre fini d'éléments discrets. Par exemple, nous savons qu'une puissance 1/2 correspond à une ligne de transmission : c'est-à-dire une cascade infinie de dipôles RC, ou une imbrication infinie de dipôles élémentaires. Les puissances non entières très inférieures à l’unité sont pne_act et pne_{diff H+}. Nous essayons de nous approcher de l'impédance théorique de la pile en distribuant les impédances d'activation et de diffusion protonique sur plusieurs couches.

Il est inutile de tenter de distribuer les impédances de diffusion lente et rapide étant donné leur facteur de puissance obtenu très proche de l’unité ; de plus elles sont négligeables comparé aux autres mécanismes de pertes pour ces cellules.

Les valeurs des éléments R et C sont divisées par le nombre de couches retenu, comme illustré sur la Figure IV.10. Il ne faut pas perdre de vue que ce sont bien des sources de courant qui sont codées dans le modèle de simulation, et non pas de simples résistances. Il ne suffit donc pas de diviser les expressions I=f(V) par le nombre de couches m, mais il faut les modifier de la manière suivante:

: Equation (IV.3) : Equation

(IV.4)

Figure IV.10 : Impédance d'activation distribuée [RAL1-11].

La distribution des couches complexifie rapidement le modèle. Ainsi le compromis qui a été choisi est de distribuer en deux boucles imbriquées les phénomènes d’activation et les phénomènes de diffusion protonique.

4.1.6.2 Résistance électrique retenue

La résistance électrique est variable avec la densité de courant puisqu'elle est principalement déterminée par la résistance de la membrane. Cette résistance est fonction du taux d'hydratation de la membrane. A forte densité de courant, plus d'eau est produite donc le taux d'hydratation de la membrane augmente et sa résistance diminue. Comme la résistance est à peu près constante à partir de 0,5 A.cm^-2 et la chute de tension associée est égale à relec*J, il semble que nous pouvons approximer relec par une valeur constante sans faire de grandes erreurs.

Si on regarde Figure IV.8.d), on voit immédiatement qu'il ne sert à rien d'essayer d'approximer la résistance électrique variable par sa valeur maximale ; de plus l’influence sur la

171 chute de tension engendrée est plus importante à densité de courant importante. On peut écarter aussi la valeur moyenne qui engendrerait trop d’erreurs. Le choix reste entre approximer la résistance par sa valeur minimale ou médiane. La Figure IV.11 résume les résultats pour une des deux cellules.

a) Erreur absolue b) Erreur relative pour la perte considérée Figure IV.11 : Quantification de l’erreur commise pour les deux approches visant à fixer Rélec

par rapport au modèle dépendant du courant.

L’erreur commise sur la tension étant très faible (<2mV) et équivalente quelle que soit la méthode employée, nous avons choisi arbitrairement la valeur minimale

4.1.6.3 Densités de courants limites retenues

Concernant, les courants de diffusion lente et rapide illustrés en Figure IV.8.a) et c) , ceux-ci sont pratiquement constant (hormis pour le point à valeur anormale qui a été écarté). Ainsi, on conçoit aisément que ces courants puissent être approximés par leur valeur moyenne sans provoquer d’erreur importante.

Cependant le cas n’est pas aussi évident pour le courant de diffusion protonique illustré en Figure IV.8.b). Il est tout à fait normal que la densité de courant limite de diffusion protonique change en fonction du point de fonctionnement, puisque la production des ions H+

est aussi fonction du point de fonctionnement. Nous n'avons pas essayé de modéliser le mécanisme et nous n'essaierons pas d'expliquer l'allure de la courbe observée. Ce qui est important ici c'est que nous cherchons à simplifier notre modèle en considérant ce courant limite constant.

Il y a quatre possibilités pour obtenir un courant limite constant qui viennent immédiatement à l'esprit : on peut prendre la moyenne, la médiane, le maximum ou le minimum des courants limites. La Figure IV.12 compare les quatre approches pour une des deux piles. Bien sûr d'autres possibilités existent : par exemple le choix du courant limite associé au courant maximal.

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a) Erreur absolue b) Erreur relative pour la perte considérée Figure IV.12 : Quantification de l’erreur commise pour les deux approches visant à fixer le

courant de diffusion protonique par rapport au modèle dépendant du courant.

Il est clair que les approches « minimum » et « maximum » ne sont pas du tout adaptées.

Les deux autres approches sont très proches en termes de performance. Nous avons choisi arbitrairement la valeur moyenne.

4.1.7 Application de la troisième étape de la procédure