3.6 Hypoth` eses sur les fonctions propres g´ en´ eralis´ ees
3.7.3 R´ esum´ e des hypoth` eses et r´ esultats principaux
Le tableau suivant r´esume quand nos principaux r´esultats s’appliquent.
OPTE OPTE OCT OCT OPTH OPTH
K hyp κ < 0 K hyp κ < 0 K hyp κ < 0 Th 3.37 Oui si T Oui Oui si T Oui si T Oui si T Oui
Cor 3.44 Non Oui Non Oui Non Oui
Th 7.1 Non Oui Non Non Non Oui
Th 1.28 Non Non Non Non Non ?
Les diff´erentes lignes correspondent aux quatre r´esultats principaux que nous avons obtenu sur les ondes planes tordues, `a savoir
— Le r´esultat de d´ecomposition de Eh en somme convergente d’´etats lagrangiens
— La borne C` sur Eh (corollaire 1.24 et corollaire 3.44 ;
— Les bornes sup´erieure et inf´erieure sur le volume des ensembles nodaux de <(Eh)
(th´eor`eme 1.27 et th´eor`eme 7.1) ;
— La borne inf´erieure sur le nombre de domaines nodaux de la somme de deux ondes planes tordues pour une m´etrique g´en´erique (th´eor`eme 1.28).
Les diff´erentes colonnes correspondent aux principales familles d’exemples de fonc- tions propres que nous avons donn´ees :
— OPTE correspond aux ondes planes tordues sur les vari´et´es `a infinis euclidiens, comme d´efinies dans la section 3.6.1 ;
— OCT correspond aux ondes circulaires tordues comme d´efinies dans la section 3.6.2 ; — OPTH correspond aux ondes planes tordues sur les vari´et´es hyperboliques pr`es de
l’infini, comme d´efinies dans la section 3.6.3.
K hyp correspond `a l’hypoth`ese 3.9 que K est un ensemble hyperbolique. κ < 0 cor- respond `a l’hypoth`ese suppl´ementaire 3.6 (i) que la courbure sectionnelle est n´egative ou nulle, et que le potentiel V est nul. Nous supposons de plus toujours que l’hypoth`ese 3.24 concernant la pression topologique est v´erifi´ee.
Voici comment lire les diff´erentes cases du tableau :
— Oui si T : le r´esultat s’applique dans ce cas, si l’hypoth`ese de transversalit´e 3.15 est v´erifi´ee.
— Oui : l’hypoth`ese de transversalit´e 3.15 est automatiquement v´erifi´ee dans ce cas, et le r´esultat s’applique.
— Non : le r´esultat ne s’applique pas sans hypoth`ese suppl´ementaire.
— ? : pour la derni`ere case, il est probable que le r´esultat soit vrai, mais nous n’avons pas ´ecrit la preuve dans ce cadre.
Preuve des r´esultats concernant la
propagation de L
0
Le but de ce chapitre, qui suit [Ing15a] et [Ing15b] est de prouver les r´esultats de la section 3.4.
4.1
Preuve du th´eor`eme 3.19
Le but de cet section est de prouver le th´eor`eme 3.19, dont nous rappelons l’´enonc´e. Th´eor`eme. Supposons que la vari´et´e (X, g) v´erifie l’hypoth`ese 3.1 `a l’infini, que le flot hamiltonien (Φt) v´erifie l’hypoth`ese 3.9 d’hyperbolicit´e, et que la vari´et´e lagrangienne L
0
v´erifie l’hypoth`ese d’invariance 3.12 ainsi que l’hypoth`ese de transversalit´e 3.15.
Fixons un γuns> 0 arbitrairement petit. Il existe alors ε0> 0 tel que le r´esultat suivant
soit vrai. Soit (Wa)a∈A1 un recouvrement ouvert de K dans T
∗X de diam`etre < ε 0, tel
qu’il existe des points ρa∈ Wa∩ K, et tel que les coordonn´ees adapt´ees (ya, ηa) centr´ees en
ρa soient bien d´efinies sur Wa pour tout a ∈ A1. On peut alors compl´eter ce recouvrement
ouvert en un recouvrement ouvert (Wa)a∈A de E dans T∗X o`u A = A1t A2 t {0} (avec
W0 d´efini comme dans (3.1)) tel que les propri´et´es suivantes soient v´erifi´ees.
Il existe Nuns ∈ N tel que pour tout N ∈ N, pour tout α ∈ AN et tout a ∈ A1, alors
Wa∩ ΦNα(L0) est soit vide, soit une vari´et´e lagrangienne dans un cˆone instable dans les
coordonn´ees (ya, ηa).
De plus, si N − τ (α) ≥ Nuns, alors Wa∩ ΦNα(L0) est une vari´et´e lagrangienne γuns-
instable dans les coordonn´ees (ya, ηa).
Remarque 4.1. La constante ε0 et les ensembles (Wa)a∈A2 d´ependent de la vari´et´e lagran-
gienne L0. Si on consid`ere toute une famille de vari´et´es lagrangiennes (Lz)z∈Z v´erifiant
les hypoth`eses 3.12 et 3.15, alors nous aurons besoin de conditions additionnelles sur la fa- mille pour pouvoir trouver un choix commun de ε0 et (Wa)a∈A2 ind´ependant de z ∈ Z. Par
exemples, les ´equations (4.17) et (4.18) que nous ´ecrirons plus loin donnent une condition suffisante pour qu’une telle construction soir possible. Remarquons que ces ´equations sont automatiquement v´erifi´ees si Z est fini.
D´emonstration. A partir de maintenant, on fixe un γuns> 0.
Soit ρ0 ∈ K, et consid´erons le syst`eme de coordonn´ees adapt´ees dans un voisinage de
ρ0 construites dans le lemme 3.10. Rappelons que l’ensemble Uρ0() a ´et´e introduit dans
l’´equation (3.11). On d´efinit une section de Poincar´e par Σρ0 = Σρ0() = {(yρ0, ηρ0) ∈ Uρ0(); yρ0
1 = η ρ0 1 = 0}.
Remarquons que les espaces Eρ±0 sont tangents `a Σρ0, et que les coordonn´ees (uρ0, sρ0)
introduites dans (3.10) forment un syst`eme de coordonn´ees symplectiques (ou coordonn´ees de Darboux) sur Σρ0.
En fait, on aura souvent besoin d’un syst`eme de coordonn´ees non symplectiques, cons- truit `a partir des coordonn´ees (yρ, ηρ).
Avant de construire ce syst`eme de coordonn´ees non symplectique, expliquons pourquoi il est indispensable `a notre preuve. L’outil principal pour prouver le th´eor`eme 3.19 est le lemme d’inclinaison , qui dit en gros qu’une vari´et´e lagrangienne qui intersecte
transversalement la vari´et´e stable s’approchera de plus en plus de la vari´et´e instable quand on la propage dans le futur. Ceci est un r´esultat tr`es simple dans le cas d’un diff´eomorphisme hyperbolique lin´eaire, mais il nous faut ajouter des quantificateurs pour obtenir un r´esultat rigoureux dans le cas de diff´eomorphismes non-lin´eaires. Par exemple, on peut dire, comme dans [NZ09, Proposition 5.1], que, ´etant donn´e un γ > 0, il existe γ > 0 tel que si Λ est une
vari´et´e lagrangienne γ-instable incluse dans un Uρ(γ), alors pour tous ρ0, Φ1(Λ) ∩ Uρ 0
(γ)
est encore γ-instable.
Toutefois, on ne peut pas utiliser ce r´esultat directement ici, pour la raison suivante. Plus on prend petit, plus les points de la vari´et´e lagrangienne L0 peuvent passer de
temps dans la partie de la r´egion d’interaction qui n’est pas affect´ee par la dynamique hyperbolique avant d’entrer dans l’un des Uρ() pour un ρ ∈ K. Cependant, si un morceau
de L0 passe beaucoup de temps dans cette r´egion interm´ediaire , il est possible qu’elle
devienne tr`es proche de la direction stable, car nous n’avons fait aucune hypoth`ese sur ce qui se passe dans la r´egion interm´ediaire. Pour ´eviter un tel raisonnement circulaire, il nous faut introduire un autre syst`eme de coordonn´ees, dans lequel la description de la propagation de vari´et´es lagrangiennes dans la r´egion interm´ediaire est plus simple.