1.3 Les r´ esultats principaux de cette th` ese
1.3.2 Ondes planes tordues en pr´ esence d’un ensemble capt´ e hyperbolique
Hypoth`ese de transversalit´e Les propri´et´es de l’onde plane tordue Eh(x; ω) sont
reli´ees aux propri´et´es de la vari´et´e lagrangienne
Λω := {(x, ω); x ∈ Rd\X00} ∼= {(x, ω); x ∈ X\X0} ⊂ E. (1.17)
Nous aurons besoin de faire l’hypoth`ese que Λω est transverse aux vari´et´es stables, dans
le sens suivant. L’ensemble capt´e K ´etant un ensemble hyperbolique, chaque point ρ ∈ K admet une ()-vari´et´e fortement stable locale W−(ρ), tangente `a Eρ−, d´efinie par
W−(ρ) = {ρ0 ∈ E; d(Φt(ρ), Φt(ρ0)) < pour tout t ≥ 0 et lim
t→+∞d(Φ t(ρ0
), Φt(ρ)) = 0}, o`u > 0 est un petit param`etre.
On demande que ω soit telle que, pour tout ρ ∈ K, pour tout ρ0 ∈ Λω, pour tout t ≥ 0, et pour suffisamment petit, on a
(Φt(ρ0) ∈ W−(ρ)) =⇒ W−(ρ) et Φt(Λω) s’intersectent transversalement en Φt(ρ0),
(1.18) c’est-`a-dire que
TΦt(ρ0)Λω⊕ TΦt(ρ0)W−(ρ) = TΦt(ρ0)E. (1.19)
Remarquons que (1.19) ´equivaut `a TΦt(ρ0)Λω∩ TΦt(ρ0)W−(ρ) = {0}.
Ondes planes tordues Notre r´esultat principal peut se r´esumer ainsi : en supposant que l’ensemble capt´e K est hyperbolique, que la pression topologique P(1/2) que nous d´efinirons dans la section 3.5 est strictement n´egative et que Λω v´erifie la condition de
transversalit´e ci-dessus, alors au voisinage de tout point ρ de K, l’onde plane tordue E(·; ω) peut s’´ecrire, `a un reste n´egligeable pr`es, comme une somme infinie, mais convergente, d’´etats lagrangiens. Ces ´etats lagrangiens sont associ´es `a des lagrangiennes qui peuvent toutes se projeter sans caustiques sur la vari´et´e instable en ρ. De plus, les symboles des ´etats lagrangiens intervenant dans la somme d´ecrivant Eh(·; ω) voient leur norme L2 d´ecroitre
exponentiellement avec l’indice de sommation.
Sous les hypoth`eses sus-mentionn´ees, ce r´esultat donne donc une description explicite des ondes planes tordues dans la limite semi-classique, ce qui est beaucoup plus pr´ecis que la description des mesures semi-classiques associ´ees comme dans [DG14].
Plus rigoureusement, tout ceci s’´ecrit :
Th´eor`eme 1.19 ([Ing15a]). Supposons que K est un ensemble hyperbolique, v´erifiant P(1/2) < 0, et que ω ∈ Sd−1 est tel que (1.18) soit v´erifi´ee. On peut alors construire :
— une famille (Πb)b∈B1 d’op´erateurs pseudo-diff´erentiels microlocalement support´es
dans des petits voisinages des ρb, tels que
P
b∈B1Πb = I microlocalement dans un
voisinage de K dans T∗X ;
— pour tout b ∈ B1, un syst`eme de coordonn´ees symplectiques (yρb, ηρb) dans un voi-
sinage de ρb;
— une famille (Ub)b∈B1 d’op´erateurs int´egraux de Fourier quantifiant la changement
de coordonn´ees symplectiques κb : (x, ξ) 7→ (yρb, ηρb), tels que le r´esultat suivant soit
vrai.
Pour tous r > 0, ` > 0, il existe Mr,`> 0 tel que l’on ait lorsque h → 0 :
UbΠbEh(·; ω)(yρb) = bMr,`| log h|c X n=0 X β∈ ˜Bn eiφβ,b(yρb;ω)/ha β,b(yρb; ω, h) + Rr, (1.20)
o`u φβ,b appartient `a Cc∞(Rd), et o`u aβ,b∈ Scomp(T∗Y ) est un symbole classique au sens de
la d´efinition A.1. Chaque φβ,b est d´efini dans un voisinage du support de aβ,b. L’ensemble
˜
Bn sera construit comme un ensemble de mots de longueur environ n sur un alphabet fini, de sorte que son cardinal croit exponentiellement avec n.
Quand h → 0, on a
kRrkC` = O(hr).
Pour tous ` ∈ N, > 0, il existe C`, telle que
X
β∈Bn
kaβ,bkC`≤ C`,en(P(1/2)+). (1.21)
Remarquons que l’hypoth`ese sur P(1/2) nous assure que le terme de gauche dans (1.21) d´ecroit exponentiellement quand n −→ ∞. On peut utiliser cette propri´et´e pour d´eduire le corollaire suivant.
Corollaire 1.20. On fait les mˆemes hypoth`eses que dans le th´eor`eme 1.19. Soit χ ∈ Cc∞(X). Il existe alors une constante Cχ ind´ependante de h telle que pour tout h > 0, on
a
kχEh(·; ω)kL2 ≤ Cχ.
Mesures semi-classiques Il est possible d’utiliser le th´eor`eme 1.19 pour d´ecrire la me- sure semi-classiques associ´ees `a la famille Eh(·, ω). Dans le corollaire suivant, πb d´esigne le
symbole principal de l’op´erateur Πb introduit dans le th´eor`eme 1.19.
Corollaire 1.21. On fait les mˆemes hypoth`eses que dans le th´eor`eme 1.19. Il existe une constante 0 < c ≤ 1 telle que pour tout fonction χ ∈ Cc∞(X), il existe des fonctions eβ,b,χ
pour n ∈ N, β ∈ ˜Bn et b ∈ B1 telles que pour tout a ∈ Cc∞(T∗X), on a
hOph(π2ba)χEh, χEhi =
Z
T∗X
o`u dµω,b,χ(κ−1b (yρb, ηρb)) = ∞ X n=0 X β∈Bn fβ,b,χ(yρb)δ{ηρb=∂φj,n(yρb)}dyρb,
Les fonctions fβ,b,χ v´erifient une estim´ee de d´ecroissance exponentielle analogue `a (1.21).
Nous donnerons une preuve de ce corollaire dans le chapitre 6 Nous verrons alors que les fonctions en,β,b peuvent ˆetre construites `a partir des a0β,b(yρb), c’est-`a-dire des symboles
principaux des aβ,b(yρb) (au sens de la d´efinition A.1).
Les mesures µω,b,χ sont reli´ees aux mesures µω apparaissant dans le th´eor`eme 1.13 : on
a
dµω,b,χ(x, v) = χ2(x)πb2(x, v)dµω(x, v).
On a vu dans la section 1.2.2 que l’on avait dµω = lim t→∞(Φ
t)
∗(|1 − χ(x)|2dxδ{ξ=ω}). Dans
le contexte de la section 1.2.2, cette convergence n’avait lieu que pour presque tout ω ∈ Sd−1. Ici, la convergence a lieu pour tout ω ∈ Sd−1v´erifiant l’hypoth`ese de transversalit´e : ceci provient du fait que quand l’ensemble capt´e est hyperbolique, on a toujours P(1) < 0 (cf. [Non11, §2.2]).
1.3.3 Ondes planes tordues en courbure n´egative
Les r´esultats de la section pr´ec´edente peuvent ˆetre am´elior´es si l’on suppose que V ≡ 0, de sorte que Φtest le flot g´eod´esique, et que (X, g) est de courbure sectionnelle n´egative ou nulle. Par exemple, on peut montre que l’hypoth`ese de transversalit´e est toujours v´erifi´ee sous ces conditions :
Proposition 1.22. Soit (X, g) une vari´et´e euclidienne pr`es de l’infini, de courbure sec- tionnelle ≤ 0. On suppose que le flot g´eod´esique sur (X, g) poss`ede un ensemble capt´e hyperbolique. Alors pour tout ω ∈ Sd−1, (1.18) est v´erifi´ee.
´
Enon¸cons maintenant notre r´esultat principal sur les ondes planes tordues en courbure n´egative. Ce th´eor`eme est analogue au th´eor`eme 1.19. La principale diff´erence est que les ´
etats lagrangiens obtenus dans la d´ecomposition de Eh correspondent `a des lagrangiennes
qui peuvent toutes se projeter sans caustique sur la vari´et´e de base X. Ceci peut sembler une am´elioration assez anecdotique du th´eor`eme , mais elle permet de montrer de meilleures estim´ees sur les ondes planes tordues (Corollaire 1.24), un ph´enom`ene d’´equidistribution, et une estim´ee sur la mesure de Hausdorff des ensembles nodaux (voir les corollaires suivant le th´eor`eme).
Th´eor`eme 1.23. [Ing15b] Supposons que (X, g) soit une vari´et´e euclidienne pr`es de l’in- fini, de courbure sectionnelle ≤ 0. Supposons que K soit un ensemble hyperbolique pour (Φt), et que P(1/2) < 0.
Soit K ⊂ X un compact. Il existe alors εK > 0 tel que pour tout χ ∈ Cc∞(X) ayant
existe un ensemble ˜Bχ et une fonction ˜n : ˜Bχ → N telle que le nombre d’´el´ements dans
{ ˜β ∈ ˜Bχ; ˜n( ˜β) ≤ N } croˆıt au plus exponentiellement avec N , et telle que le r´esultat suivant
soit v´erifi´e.
Pour tous r > 0, ` > 0, il existe Mr,`> 0 tel que l’on ait quand h → 0 :
χEh(x) = X β∈ ˜Bχ ˜ n( ˜β)≤ ˜Mr,`| log h| eiϕβ˜(x)/ha ˜ β,χ(x; h) + Rr, (1.22)
o`u aβ˜∈ Scomp(X), et chaque ϕβ˜ est une fonction lisse d´efinie dans un voisinage du support
de aβ˜. On a
kRrkC` = O(hr).
Pour tous ` ∈ N, > 0, il existe C`, tel que
X
β∈ ˜Bχ ˜ n( ˜β)=n
kaβ,χ˜ kC` ≤ C`,en(P (1/2)+). (1.23)
De plus, il existe une constante C1 telle que pour tous ˜β, ˜β0 ∈ ˜Bχ avec ˜β 6= ˜β0, on a
|∂ϕβ˜(x) − ∂ϕβ˜0(x)| ≥ C1e− √
b0max(˜n( ˜β),˜n( ˜β0)), (1.24)
o`u −b0 est la valeur minimale prise par la courbure sectionnelle sur X.
Comme corollaire du th´eor`eme 1.23, on peut d´eduire le r´esultat suivant
Corollaire 1.24. On fait les mˆemes hypoth`eses que dans le th´eor`eme 1.23. Soit ` ∈ N et χ ∈ Cc∞(X). Il existe alors C`,χ> 0 telle que, pour tout h > 0, on a
kχEhkC` ≤
C`,χ
h` .
En particulier, la suite (Eh)h est born´ee ind´ependamment de h dans L∞loc. Ce r´esultat
est donc bien meilleur que les bornes (3), (ou mˆeme que la conjecture de Sarnak) dans le cas des vari´et´es compactes. Ceci est du au fait que le syst`eme est tr`es ouvert, en raison de la condition de pression topologique. Il n’est pas du tout clair qu’une telle estim´ee puisse encore ˆetre vraie sans cette condition de pression topologique.
Mesures semi-classiques L`a encore, on peut utiliser le th´eor`eme 1.23 pour d´ecrire les mesures semi-classiques associ´ees `a la famille des Eh(·; ω), de fa¸con un peu plus pr´ecise que
Corollaire 1.25. On fait les mˆemes hypoth`eses que dans le th´eor`eme 1.23. Soit χ ∈ Cc∞(X) et soit > 0. Il existe alors une mesure finie µω,χ sur S∗X telle que l’on a, pour
tout a ∈ Cc∞(T∗X) :
hOph(a)χEh, χEhi =
Z T∗X a(x, ξ)dµω,χ(x, ξ) + O hmin 1, |P (1/2)| 2√b0 − , o`u −b0 est la valeur minimale prise par la courbure sectionnelle sur X.
Si K ⊂ X est un compact et si le support de χ est dans K et est de diam`etre inf´erieur ` a εK, on a dµω,χ(x, ξ) = X ˜ β∈ ˜Bχ |a0 ˜ β| 2(x)δ {ξ=∂ϕβ˜(x)}dx, o`u a0˜
β est le symbole principal de aβ˜ comme d´efini dans l’annexe A.1.
De plus, pour tout N ∈ N, il existe cN > 0 telle que pour tout x ∈ X tel que χ(x) = 1,
on a X ˜ β∈ ˜Bχ ˜ n( ˜β)≥N |a0˜ β| 2(x) ≥ c N. (1.25)
Ce corollaire sera prouv´e dans le chapitre 6. L’´equation (1.25) peut-ˆetre vue comme une forme faible d’´equidistribution des ondes planes tordues. On a en fait mieux : on a une forme faible de la conjecture 0.4 d’´equidistribution `a petite ´echelle.
Corollaire 1.26. Supposons que les hypoth`eses du th´eor`eme 1.23 soient v´erifi´ees. Soit χ ∈ Cc∞(X). Il existe alors des constantes C0, C1, C2 > 0 telles que pour tout x0 ∈ X tel
que χ(x0) = 1, pour toute suite rh telle que 1 >> rh > C0h, on a pour h assez petit :
C1rdh ≤
Z
B(x0,rh)
|Eh|2(x)dx ≤ C2rdh. (1.26)
Lignes nodales Fixons un ouvert born´e O ⊂ X et un ω ∈ Sd−1, et consid´erons
NO,h := {x ∈ O; <(Eh)(x, ω) = 0}.
On a alors l’encadrement suivant, qui est l’analogue de la conjecture 0.1.
Th´eor`eme 1.27. On fait les mˆemes hypoth`eses que pour le th´eor`eme 1.23. Il existe alors CO, CO0 > 0 ind´ependantes de h telles que
CO
h ≤ Hausd−1(NO,h) ≤ CO0
h ,
On a bien entendu le mˆeme r´esultat en consid´erant la partie imaginaire d’ondes planes tordues plutˆot que la partie r´eelle.
La borne inf´erieure ci-dessus peut ˆetre d´eduite de [Log16b], mais notre preuve a ´et´e mise en ligne dans [Ing15b] avant celle de Logunov, utilise des m´ethodes tr`es diff´erentes, et se d´eduit assez facilement du th´eor`eme 1.23. Quant `a la borne sup´erieure, elle est une cons´equence directe du r´esultat principal de [Hez16] et du corollaire 1.26.
1.3.4 Nombre de domaines nodaux de la somme de deux ondes planes