3.6 Hypoth` eses sur les fonctions propres g´ en´ eralis´ ees
4.1.4 Propagation durant des temps courts
Fixons un ν1 ∈ (ν, 1), o`u ν a ´et´e d´efini dans (4.5). Rappelons que p a ´et´e d´efini dans
(4.10) comme l’exposant de H¨older des directions stables et instables. `A partir de mainte- nant, on fixe un > 0 suffisamment petit pour que
ν + C0p ν−1− C 0p < ν1, et C0p ν−1− 2C 0p < γuns(1 − ν1) 8 . (4.12) 1 −(1 + ν1)γuns 1 + 2C0p) C0p −1 γuns (1 + ν1)(1 + C0p) 2 + 4C0p + C0p < γuns 1 + 2C0p . (4.13)
Ceci est possible, car 1+ν1
2 < 1. On demande aussi que C0
p< 1/2. Remarquons que, bien
que la condition (4.13) semble terriblement compliqu´ee, elle est faite pour bien se combiner avec le lemme 4.4.
Introduisons une premi`ere d´ecomposition de la couche d’´energie. Rappelons que nous avons d´efini W0 dans (3.1) comme la partie ext´erieure de la couche d’´energie. On d´efinit
W1 := {ρ ∈ E \W0 ; d(ρ, K) < /2)} comme la partie de la couche d’´energie proche de
l’ensemble capt´e, et W2 := {ρ ∈ E \W0 ; d(ρ, K) ≥ /2)} comme la r´egion d’interaction.
On pourra se r´ef´erer `a la figure 4.1 pour une repr´esentation de ces diff´erents ensembles. Remarquons que l’on introduira plus loin un recouvrement ouvert de la couche d’´energie plus fin, en utilisant les ensembles Wa apparaissant dans l’´enonc´e du th´eor`eme.
Le lemme suivant nous dit que l’ensemble W2 est un ensemble transitoire, c’est-`a-dire,
Figure 4.1 – Une repr´esentation de certains des ensembles apparaissant dans la preuve du th´eor`eme 3.19, intersect´es avec la section de Poincar´e.
Lemme 4.5. Il existe un entier N∈ N tel que ∀ρ ∈ W2, on a ΦN(ρ) ∈ W0 ou Φ−N(ρ) ∈
W0.
D´emonstration. Ce r´esultat vient de la transversalit´e uniforme des vari´et´es stables et in- stables (qui est une cons´equence directe de la compacit´e de K).
Celle-ci nous donne l’existence d’un d1() > 0 tel que, pour tout ρ ∈ W2∪ W1,
d(ρ, Γ+) + d(ρ, Γ−) ≤ 2d1⇒ d(ρ, K) ≤ /2.
On peut donc ´ecrire
W2 = {ρ ∈ W2; d(ρ, Γ−) > d1} ∪ {ρ ∈ W2; d(ρ, Γ−) > d1}.
Un point dans le premier ensemble quittera la r´egion d’interaction au bout d’un temps fini quand on le propage dans le futur, tandis qu’un point dans le second ensemble quittera la r´egion d’interaction au bout d’un temps fini quand on le propage dans le pass´e. Par compacit´e, on peut trouver un N uniforme comme dans l’´enonc´e du lemme.
La remarque suivante sera utile dans le chapitre prochain.
Remarque 4.6. Dans le chapitre prochain, nous utiliserons les ensembles Vb introduits
que, quitte `a augmenter Nuns0 , on peut supposer que pour tout b ∈ B2, pour tout ρ ∈ Vb, on a ΦNuns0 (ρ) ∈ V0\ S b∈B2Vb ou Φ −N0 uns(ρ) ∈ V0\ S b∈B2Vb.
Le lemme suivant nous garantit que la transversalit´e de L0 avec les vari´et´es stables fait
que l’on peut ´ecrire Φt(L0) comme une union de vari´et´es instables, dans les coordonn´ees
alternatives.
Lemme 4.7. Soit N ∈ N. Il existe NN ∈ N, ˜%N > 0 et ˜γN > 0 tels que ∀0 < % ≤ ˜%N,
∀ρ ∈ K, ∀1 ≤ t ≤ N , Φt(L
0) ∩ ˜Uρ(, %) peut ˆetre ´ecrit dans les coordonn´ees (˜yρ, ˜ηρ) comme
l’union d’au plus NN vari´et´es lagrangiennes disjointes, qui sont toutes ˜γN-instables :
Φt(L0) ∩ ˜Uρ(, %) ≡ l(%) [ l=0 ˆ Λl, avec l(%) ≤ NN et ˆ Λl= {(˜y1ρ, ˜uρ; 0, fl(˜yρ)), ˜uρ∈ D%},
pour des fonctions lisses fl avec kdfl(˜yρ)k C0(D
%)≤ ˜γN.
D´emonstration. Soit 1 ≤ t ≤ N . Tout d’abord, Φt ´etant un symplectomorphisme, elle
transforme les vari´et´es lagrangiennes en vari´et´es lagrangiennes. Rappelons que la restriction d’une vari´et´e lagrangienne `a un ouvert de T∗X est une r´eunion de vari´et´es lagrangiennes. Montrons maintenant que, si on prend % suffisamment petit, ces vari´et´es lagrangiennes sont toutes ˜γN-instables, pour un ˜γN > 0 ind´ependant de ρ.
Soit ρ ∈ K. Par hypoth`ese, Wloc−(ρ) et Φt(L0) s’intersectent transversalement.
Par cons´equent, dans un petit voisinage de la vari´et´e stable {˜uρ = 0}, chaque com- posante connexe de Φt(L0) se projette sans caustique sur la vari´et´e instable {˜sρ = 0}.
Plus pr´ecis´ement, il existe un % > 0 et un γ > 0 tels que chaque composante connexe de Φt(L0) ∩ ˜Uρ(, %) est γ-instable dans les coordonn´ees alternatives autour de ρ, pour un
γ > 0. ´
Etant donn´e que les changements de coordonn´ees entre coordonn´ees alternatives sont continus, on peut utiliser la compacit´e de K pour trouver des constantes uniformes % > 0 et γ > 0 telles que chaque composante connexe de Φt(L0) ∩ ˜Uρ(, %) est γ-instable dans les
coordonn´ees alternatives autour de ρ, ind´ependamment de ρ ∈ K et de 1 ≤ t ≤ N .
Par compacit´e de ˜Uρ(, %), le nombre de vari´et´es lagrangiennes composant Φt(L0) ∩
˜
Uρ(, %) est fini. Ceci conclut la preuve du lemme.
En appliquant ce lemme `a N = N+ 2, on d´efinit les constantes suivantes, qui joueront
un rˆole un peu plus loin dans la preuve du th´eor`eme 3.19. (Rappelons que γunsa ´et´e fix´e.)
(γ0, %0) := (˜γN+2, ˜%N+2) (4.14) N1:= j log(γuns/4γ0) log (1 + ν1)/2 k + 1, (4.15)
Nuns:= N1+ N+ 2, %1 := min 2γ0 , %0, %2:= min C + C0p−Nuns %1, ˜%Nuns (4.16) o`u C vient de la remarque 4.2, et C0 vient de l’´equation (4.8).
Remarque 4.8. Comme expliqu´e dans le lemme 4.5, N est le temps maximal pass´e par
une trajectoire dans la r´egion interm´ediaire W2. Le temps N1 sera le temps n´ecessaire pour
incliner une lagrangienne γ0-instable en une lagrangienne γuns-instable, comme expliqu´e
dans le proposition 4.12. Quant `a la constante %2, elle a ´et´e choisie suffisamment petite
pour qu’`a chaque ´etape de la propagation durant un temps N1, les vari´et´es lagrangiennes
que l’on consid`ere sont contenues dans une unique carte locale, comme expliqu´e dans la proposition 4.12.
Remarque 4.9. La constante ε0 dans le th´eor`eme 3.19 ne d´ependra que de γ0 et de %0.
Par cons´equent, la preuve du lemme 4.7 nous dit que si on consid`ere toute une famille de vari´et´es lagrangiennes (Lz)z∈Z v´erifiant l’hypoth`ese 3.12 et l’hypoth`ese 3.15, on pourra
trouver une constante ε0 > 0 uniforme en z ∈ Z du moment qu’on a la condition de
transversalit´e uniforme suivante :
∀t ∈ N, ∀ρ ∈ K, ∃δ, γ > 0 tel que ∀z ∈ Z, Φt(L
z) ∩ ˜Uρ(, δ) est γ − instable. (4.17)
Pour ´etudier la propagation de Φt(L0) `a des temps sup´erieurs `a Nuns, nous devons
maintenant introduire un recouvrement d’un voisinage de Γ−∩ W1.
Lemme 4.10. Il existe un voisinage W3 de Γ−∩ W1 dans E , un ensemble fini de points
(ρi)i∈I ⊂ K et 0 < 1< %1, tel que l’on ait les r´esultats suivants.
(i) Les ensembles U˜i
i∈I := U˜ ρi(, %
2)
i∈I forment un recouvrement ouvert de W3.
(ii) ρ ∈W1\W3 ∪ {ρ0∈ W2; d(ρ0, Γ−) > d1} =⇒ ∀t ≥ 0, d(Φt(ρ)), K) ≥ 1.
(iii) Pour tout ouvert W de diam`etre < 1 inclus dans W3, il existe un i ∈ I tel que
W ⊂ ˜Ui.
D´emonstration. Les ensembles U˜ρ(, %2)
ρ∈K forment un recouvrement ouvert de (Γ −∩
W1).
Par compacit´e, on peut en extraire un recouvrement ouvert fini ˜Ui
i∈I := U˜ ρi(, % 2) i∈I,
qui v´erifie encore (i). Notons W3 un tel voisinage.
Comme W3 est un voisinage de Γ−∩ W1, il existe une constante %02 > 0 telle que l’on
ait :
∀ρ ∈ W1\W3, on a d(ρ, Γ−) > %02. Par cons´equent, il existe 0 < 1< min(%1, ) tel que
ce qui nous donne (ii). Finalement, comme les ensembles ˜Uisont ouverts, on peut diminuer
1 de sorte que (iii) soit v´erifi´e.
Remarque 4.11. La constante ε0 qui apparait dans le th´eor`eme 3.19 sera plus petite
que 1 (voir le lemme 4.15), donc chacun des ensembles (Wa)a∈A1 sera contenu dans l’un
des ˜Ui. De plus, on aura Wa ⊂ {ρ ∈ E; d(ρ, K) < ε0}. Par cons´equent, un point ρ ∈
W1\W3 ∪ {ρ0 ∈ W2; d(ρ0, Γ−) ≥ d1} ne sera contenu dans aucun des ensembles (Wa)a∈A1
quand on le propage dans le futur. Le lemme 4.7 nous dit que ΦN(L
0) ∩ ˜Ui est compos´e d’un nombre fini de vari´et´es la-
grangiennes γ0-instables. Notre but sera maintenant de consid´erer une vari´et´e lagrangienne
incluse dans l’un des ˜Ui1, de la propager pendant un temps N ≥ N1, puis de la restreindre
`
a un ˜Ui2, avec i1, i2 ∈ I. La partie restante de la lagrangienne, qui est dans W1\W3, ne
rencontrera aucun des ensembles (Wa)a∈A1 quand elle sera propag´ee dans le futur, comme
expliqu´e dans la remarque 4.11.