1.2 Th´ eorie de la diffusion dans la limite semi-classique
1.2.3 Op´ erateur de diffusion dans la limite semi-classique
Les propri´et´es de l’op´erateur de diffusion dans la limite semi-classique sont tr`es li´ees `a la relation de diffusion, que nous introduisons maintenant.
Relation de diffusion Puisqu’en dehors de X0, les trajectoires de Φt sont simplement
des lignes droites, on a que pour tous ω ∈ Sd−1, et η ∈ ω⊥ ⊂ Rd, il existe un unique
ρω,η ∈ E tel que
πX Φt(ρω,η) = tω + η pour t suffisamment petit. (1.10)
Ici, ω est la direction entrante, et η est le param`etre d’impact. Dans la suite, nous identifierons
{(ω, η); ω ∈ Sd−1, η ∈ ω⊥} ∼
= T∗Sd−1.
On rappelle que le compact X0 ⊂ X a ´et´e introduit dans la d´efinition 1.1, et que V est
support´e dans X0. On d´efinit la r´egion d’interaction par
Figure 1.2 – La relation de diffusion κ. Par compacit´e de X0, I est compact.
Si ρω,η ∈ Γ/ −, alors il existe ω0 ∈ Sd−1, η0 ∈ (ω0) ⊥⊂ Rd et t0 ∈ R tels que pour tout t
suffisamment grand, on a
πX Φt(ρω,η) = ω0(t − t0) + η0.
La relation de diffusion, ou application de diffusion est alors d´efinie par κ(ω, η) = (ω0, η0), comme repr´esent´e sur la Figure 1.2.
On d´efinit l’ensemble entrant `a l’infini par ˜
Γ−:= {(ω, η) ∈ T∗(Sd−1); ρω,η ∈ Γ−}.
De mˆeme, on d´efinit l’ensemble sortant `a l’infini ˜Γ+ ⊂ T∗(Sd−1) par :
(ω0, η0) ∈ ˜Γ+⇔ ∃(x, ξ) ∈ Γ+; Φt(x, ξ) = tω0+ η0 pour t assez grand.
Remarquons que ˜Γ± sont des ensembles compacts de T∗Sd−1, car si η est suffisam- ment grand, une trajectoire ayant pour param`etre d’impact η ne rencontrera pas la r´egion d’interactions, et ne pourra donc pas ˆetre pi´eg´ee.
La relation de diffusion peut alors ˆetre vue comme une application κ : T∗Sd−1\˜Γ− −→ T∗Sd−1\˜Γ+.
On peut montrer que c’est un symplectomorphisme pour la forme symplectique canonique de T∗Sd−1 (voir par exemple [Gui77]).
L’op´erateur de diffusion comme un op´erateur int´egral de Fourier semi-classique La d´efinition et les propri´et´es des op´erateurs int´egraux de Fourier seront rappel´ees dans l’annexe A.2 : nous invitons le lecteur `a s’y r´ef´erer pour comprendre les notations que nous utilisons.
Le th´eor`eme suivant, dˆu `a Alexandrova ([Ale05, Theorem 5]), affirme que microlocale- ment en dehors de ˜Γ−, l’op´erateur de diffusion peut ˆetre vu comme un op´erateur int´egral de Fourier associ´e `a κ. On peut aussi trouver un r´esultat analogue dans [HW08] dans un cadre g´eom´etrique plus g´en´eral, mais sous l’hypoth`ese que K = ∅.
Th´eor`eme 1.14 (Alexandrova 2005). (i) Soit (ω, η) ∈ T∗Sd−1\˜Γ−. Si U est un voisi- nage ouvert de (ω, η) dans T∗Sd−1 n’intersectant pas ˜Γ−, et soit A ∈ Ψcomph (Sd−1) tel que
W Fh(A) ⊂ U . On a alors ShA ∈ Icomp(κ|U).
(ii) Sh est microlocalement ´egal `a l’identit´e en dehors de la r´egion d’interactions au
sens suivant. Si a ∈ Scomp(Sd−1) est tel que a ≡ 1 pr`es de I, on a alors
k(Sh− Id)(Id − Oph(a))kL2(Sd−1)→L2(Sd−1) = O(h∞). (1.11)
Le spectre de l’op´erateur de diffusion Nous avons vu pr´ec´edemment que pour tout h > 0, Sh − Id ´etait un op´erateur `a trace, et que Sh ´etait un op´erateur unitaire. En
particulier, le spectre de Sh est constitu´e de valeurs propres situ´ees sur le cercle unit´e, et
ne s’accumulant qu’en 1. On peut donc identifier le spectre de Sh `a une suite2 (eiβh,n)n∈N
convergeant vers 1. Ces valeurs propres sont parfois appel´ees les d´ecalages de phase. Pour ´etudier le comportement du spectre de Sh dans la limite semi-classique, il est
naturel d’introduire une mesure µh sur S1 d´efinie par
hµh, f i := (2πh)d−1X
n∈N
f (eiβh,n),
pour toute fonction continue f : S1 −→ C. Cette mesure n’est pas finie, mais hµh, f i est
finie d`es que 1 n’est pas dans le support de f .
L’un des principaux r´esultat sur le comportement de µh dans la limite h −→ 0, est dˆu
`
a Gell-Redman, Hassell et Zelditch ([GRHZ15]). Les auteurs font l’hypoth`ese que
Γ±= ∅. (1.12)
Sous cette hypoth`ese, κ : T∗Sd−17→ T∗Sd−1 est un diff´eomorphisme, et on peut d´efinir κl pour tout l ∈ Z.
Pour tout l ∈ N\{0}, l’ensemble suivant est alors bien d´efini Fl := {(ω, η) ∈ I; κl(ω, η) = (ω, η)}.
2. Le choix de cette suite n’est pas canonique, et ne jouera pas d’autre rˆole par la suite que de simplifier un peu quelques notations.
La seconde hypoth`ese de [GRHZ15] est une hypoth`ese de d´eviation, qui affirme que
∀l ∈ N\{0}, Vol Fl = 0, (1.13)
o`u Vol d´esigne la mesure de Liouville sur T∗Sd−1.
Cette hypoth`ese dit que la plupart des trajectoires classiques qui interagissent avec le potentiel ou la perturbation m´etrique sont effectivement d´evi´ees. Dans [GRHZ15], les auteurs travaillent dans le cas o`u (X, g) ≡ (Rd, gEucl), et o`u X0 = supp(V ), et ils font la
conjecture que cette hypoth`ese est v´erifi´ee pour un potentiel V g´en´erique. Remarquons que pour que cette ´equation soit v´erifi´ee, il faut choisir X0 soigneusement dans la d´efinition
1.1 : si X0 est choisi un peu plus gros, cette condition ne sera plus v´erifi´ee.
Nous faisons la conjecture que si V ≡ 0 et si (
◦
X0, g) est de courbure strictement
n´egative, alors cette hypoth`ese est v´erifi´ee, o`u
◦
X0 d´esigne l’int´erieur de X0.
Th´eor`eme 1.15 ([GRHZ15]). Supposons que la vari´et´e (X, g) et le potentiel V sont tels que (1.12) et (1.13) sont v´erifi´ees. Soit f : S1 −→ C une fonction continue telle que 1 /∈ suppf . On a alors lim h→0hµh, f i = Vol(I) 2π Z 2π 0 f (eiθ)dθ.
Ce th´eor`eme a le corollaire suivant, qui d´ecrit l’´equidistribution des d´ecalages de phase Corollaire 1.16. Soient 0 < φ1 < φ2 < 2π deux angles, et soit Nh(φ1, φ2) le nombre de
valeurs propres eiβh,n de S
h avec φ1≤ βh,n≤ φ2 modulo 2π. On a alors, sous les hypoth`eses
du th´eor`eme pr´ec´edent : lim h→0(2πh) d−1N h(φ1, φ2) = Vol(I) φ2− φ1 2π .
Pour prouver ce corollaire, il suffit d’approcher la fonction indicatrice 1[φ1,φ2] par des
fonctions continues, et d’utiliser le th´eor`eme pr´ec´edent.
Remarque 1.17. La constante Vol(I) apparaissant dans le th´eor`eme semble d´ependre du choix de X0, qui est arbitraire. En fait, la condition (1.13) nous impose de prendre X0 le
plus petit possible. Par exemple, si (X, g) ≡ (Rd, geucl), alors il faut prendre X0= Vol(I).
Si V est radial, de sorte que supp(V ) = B(0, R) ⊂ Rd, alors pour chaque ω, (ω, η) sera dans I si et seulement |η| ≤ R. La constante Vol(I) est alors ´egale au volume de la boule de dimension d − 1 et de rayon R, que multiplie le volume de la sph`ere de rayon d − 1 et de rayon 1, soit 2·(2π)(d−1)!d−1. Si V n’est pas radial, il n’est en g´en´eral pas facile d’obtenir une expression pour Vol(I).
L’´etude de la distribution des valeurs propres de l’op´erateur de diffusion remonte aux ann´ees 80 ([BY82], [BY84], [SY85]). Plus r´ecemment, dans le r´egime (non semi-classique)
des hautes ´energies, la distribution des d´ecalages de phase a ´et´e ´etudi´ee dans [BP12], puis dans [BP13] et [Nak14] pour des hamiltoniens plus g´en´eraux. Dans la litt´erature physique, voir aussi [DS92] pour le cas de la diffusion par des obstacles.
Dans un cadre semi-classique, l’´equidistribution des d´ecalages de phase a ´et´e prouv´ee pour la premi`ere fois dans [DGRHH14] pour les potentiels `a sym´etrie sph´erique. Elle a aussi ´et´e ´etudi´ee dans [GRH15] pour les potentiels `a longue port´ee, sans hypoth`eses sur la dynamique classique sous-jacente. Dans [ZZ99], les auteurs obtiennent des r´esultats beaucoup plus fins sur la distribution des d´ecalages de phases dans la limite semi-classique pour une famille de surfaces de r´evolution.
Ce r´esutat est semblable au r´esultat d’´equidistribution des valeurs propres de la trans- form´ee de Cayley de l’op´erateur Dirichlet-Neumann obtenu par Hassell et Ivrii dans [HI15].