R´ esultats num´ eriques

    (2π)²R0r si r²  A_r, (2π)²R0A^1/2r si r² . Ar. (4.46)

Pratiquement, la propagation est d´ecrite en utilisant la relation de dispersion du plasma froid, alors que l’´evaluation de l’absorption et du coefficient de diffusion quasilin´eaire inclut les effets de plasma chaud. Il est important de noter que dans le code utilis´e au cours de ce travail [91], la partie anti-hermitienne du tenseur di´electrique est ´evalu´ee `a partir de la fonction de distribution effective et non de la maxwellienne ce qui, de fait, se r´ev`ele indispensable pour une description pr´ecise de l’absorption [53].

4.2.3 R´esultats num´eriques

Dans cette section, le coefficient de diffusion quasilin´eaire li´e `a l’onde cyclotronique ´

electronique est utilis´e dans l’´equation de Fokker-Planck moyenn´ee, incluant simplement l’effet des collisions coulombiennes et de l’onde radiofr´equence

∂f

∂t ^{= h ˆCf i + h ˆDecf i (4.47)}

La r´esolution num´erique de cette ´equation est effectu´ee par le code cin´etique pr´esent´e dans la section 4.1.2. On obtient ainsi la fonction de distribution perturb´ee sous l’effet de la puissance ondulatoire.

On consid´erera des conditions de plasma typiques du tokamak Tore Supra [7] avec, de mani`ere `a s´eparer les diff´erents effets, une tension par tour suppos´ee nulle (Le champ ´

electrique n’intervient pas dans (4.47)).

R₀ = 232cm, a₀ = 75cm,

ne(r) = ne0(1 − r²/a²₀), Te(r) = Te0(1 − r²/a²₀)², n_e0 = 4 × 10¹³cm⁻³, T_e0= 4keV,

B0(0) = 3.8T, ω = 118GHz

Dans cette partie, on illustrera les deux principales possibilit´es d’absorption des ondes cyclotroniques ´electroniques par le plasma, upshift (nωce/ω < 1) et downshift (nωce/ω > 1) (voir section 2.2.2). Ce point am`ene une remarque importante. En effet, ´etant donn´ee la d´ecroissance du champ magn´etique avec R, la situation est tr`es diff´erente selon que l’onde est inject´ee du cˆot´e bas champ ou du cˆot´e haut champ du tokamak. Dans un plasma chaud et suffisamment dense, l’absorption est tr`es localis´ee et du fait de l’effet Doppler induit par l’angle entre le champ magn´etique et le vecteur d’onde, la puissance est g´en´eralement totalement absorb´ee avant d’atteindre la position o`u ω = nωce [33]. Par cons´equent, si

l’onde est envoy´ee depuis le cˆot´e haut champ de la machine avec un angle toro¨ıdal, il est probable qu’elle sera totalement absorb´ee pour ω < nω_ce (downshift). A l’inverse, une injection du cˆot´e bas champ se traduit par ω > nωce dans la r´egion d’absorption. Toutefois, dans les grands tokamaks actuels (grand rapport d’aspect), pour des raisons d’encombrement autour de la machine, il est tr`es difficile de placer l’antenne du cˆot´e haut champ et par cons´equent, l’absorption en “downshift” est pratiquement peu exploitable10. Pour les cas “downshift” pr´esent´es dans cette section, on a suppos´e une situation fictive o`u l’antenne est situ´ee du cˆot´e haut champ, ce qui ne correspond toutefois pas `a la situation r´eelle sur le tokamak Tore Supra [14].

Sur la figure 4.1, certains iso-contours de la fonction de distribution ont ´et´e repr´esent´e dans le plan (uk, u⊥). Les deux situations discut´ees ci-dessus sont illustr´ees : en (a) r/a0≈ 0.1 et nω_ce/ω ≈ 0.9 ; en (b) r/a₀ ≈ 0.5 et nω_ce/ω ≈ 1.1. Dans les deux cas, l’onde est envoy´ee avec un angle toro¨ıdal φ_t = 20^◦ et le faisceau est suppos´e faiblement divergent (∆φt = 1^◦), avec une largeur `a l’antenne ∆r ≈ 4cm. Sur ces figures, on a ´egalement fait figurer l’ellipse de r´esonance pour le rayon central et le cˆone de pi´egeage.

Ces deux figures font apparaˆıtre la principale diff´erence li´ee `a la g´eom´etrie de l’ellipse de r´esonance dans l’espace des vitesses. En effet, dans le cas d’une fonction de distribution rapidement d´ecroissante avec la vitesse (par exemple proche de la maxwellienne), l’ab-sorption est principalement localis´ee autour de l’extr´emit´e basse vitesse p− de l’ellipse, pour p⊥≈ 0. Or, on peut voir que ce point est situ´e du cˆot´e p<sub>k</sub> > 0 (resp. p<sub>k</sub>) dans le cas upshift (resp. downshift). Ceci a pour cons´equence de changer le sens du courant g´en´er´e par l’onde. Du point de vue physique, ces deux situations sont donc tr`es diff´erentes

Afin d’obtenir une vision plus globale de la modification de la queue suprathermique, on peut observer des grandeurs int´egr´ees de la fonction de distribution. Par exemple, les diagnostics d’´emission et de transmission cyclotronique (ECE et ECA) [108] ont plutˆot acc`es `a la fonction de distribution parall`ele et `a la temp´erature perpendiculaire qu’`a la fonc-tion de distribufonc-tion elle-mˆeme. Ces deux grandeurs permettent respectivement de pr´eciser la structure de la queue suprathermique cr´e´ee par l’onde, et l’augmentation d’´energie per-pendiculaire associ´ee `a la diffusion en angle d’attaque.

Leurs d´efinitions respectives sont

Fk(uk) ≡ 2π Z ∞ 0 du⊥u⊥f (uk, u⊥) (4.48) et T⊥(u_k) ≡ 2πT_e Z ∞ 0 du⊥u⊥  u2 ⊥ 2 f (u_k, u⊥) F_k(u_k) ^(4.49)

o`u Te= Te(r) est la temp´erature locale. 10

On peut signaler toutefois qu’une possibilit´e existe, consistant, par un choix judicieux du champ magn´etique, `a placer la couche de r´esonance cyclotronique ´electronique juste en dehors de la machine, du cˆot´e bas champ. Si le plasma est tr`es chaud, l’´epaisseur optique sera alors encore suffisante pour obtenir une absorption r´esiduelle de l’onde pour ω > nωce. Exp´erimentalement, une telle id´ee est assez d´elicate `a mettre en œuvre.

4.2. Description de l’onde cyclotronique ´electronique 99 −10⁰ −5 0 5 10 2 4 6 8 10 u // u ⊥ (a) −10⁰ −5 0 5 10 2 4 6 8 10 u_// u ⊥ (b)

Fig. 4.1 – Contours de la fonction de distribution en pr´esence d’onde cyclotronique ´

electronique (P_ec = 3MW). Les droites en trait plein d´elimitent le cˆone de perte local. L’el-lipse de r´esonance pour le rayon central figure ´egalement. (a) Cas upshift : nωce/ω ≈ 0.9 (r/a₀ ≈ 0.1). (b) Cas downshift : nω_ce/ω ≈ 1.1 (r/a₀ ≈ 0.5).

La figure 4.2 illustre la fonction de distribution parall`ele associ´ee aux deux cas pr´esent´es sur la figure 4.1 en fonction de l’´energie parall`ele¹¹. La maxwellienne est repr´esent´ee en pointill´es. L’effet de l’onde cyclotronique ´electronique apparaˆıt tr`es nettement : la fonc-tion de distribufonc-tion parall`ele est asym´etrique et un courant est g´en´er´e dans la direction toro¨ıdale.

La temp´erature perpendiculaire normalis´ee `a la temp´erature locale, associ´ee aux deux cas de la figure 4.1 est repr´esent´ee sur la figure 4.3. Les figures 4.2 et 4.3 permettent ´

egalement de mettre en ´evidence un effet tr`es important : la modification de la fonction de distribution s’´etend au del`a de l’ellipse de r´esonance. Ceci provient de l’effet de la diffusion en angle d’attaque induite par les collisions coulombiennes, qui a tendance `a rendre la modification de la fonction de distribution isotrope. Par exemple, dans le cas upshift, ceci explique que l’effet des ondes soit visible pour p<sub>k</sub> > 0, mais ´egalement pour p<sub>k</sub> < 0, r´egion de l’espace des vitesses non directement concern´ee par l’interaction. Les descriptions cin´etiques `a une dimension dans l’espace des vitesses n´egligeant cet effet, elles 11εk est en r´ealit´e l’´energie associ´ee au mouvement parall`ele, multipli´ee par le signe de la quantit´e de mouvement parall`ele, ce qui explique qu’il s’agit d’une quantit´e sign´ee.

−150 −50 50 150 ε_// (keV) −15 −10 −5 0 ln(F // ) (a) −100 0 100 ε_// (keV) −25 −15 −5 ln(F // ) (b)

Fig. 4.2 – Fonction de distribution parall`ele en pr´esence d’onde cyclotronique ´electronique, en fonction de l’´energie parall`ele des ´electrons pour (a) nωce/ω ≈ 0.9 (upshift) et (b) nω_ce/ω ≈ 1.1 (downshift).

conduisent souvent `a une mauvaise estimation du courant g´en´er´e, comme dans le cas du mod`ele 1D de description de l’onde hybride basse [10, 109, 110].